寄語假舟楫者，非能水也，而絕江河。假輿馬者，非利足也，而致千里；------旬子1寄語假舟楫者，非能水也，而絕江河。假輿馬者，非利第21章第一節(jié)、二重積分概念

第三節(jié)、格林公式-曲線積分與路線的無關(guān)性重積分第21章本章內(nèi)容：第二節(jié)、直角坐標系下二重積分的計算第四節(jié)、二重積分的變量替換第五節(jié)、三重積分第六節(jié)、重積分的應用第七節(jié)、第八節(jié)、第九節(jié)---N重積分；反常二重積分；變量替換公式證明-----略去2第21章第一節(jié)、二重積分概念第三節(jié)、格林公式-曲線積分與第2節(jié)一、矩形區(qū)域上二重積分的計算二、一般區(qū)域上二重積分的計算直角坐標系下二重積分的計算第21章3第2節(jié)一、矩形區(qū)域上二重積分的計算二、一般區(qū)域上二重積分的計一、矩形區(qū)域上二重積分的計算在定理1也存在,且上可積,且對每個存在,則累次積分證明:直線網(wǎng)T:先用平行于坐標軸的4一、矩形區(qū)域上二重積分的計算在定理1也存在,且上可積,且對每分割D成rs個小矩形:令下面證在可積,且積分值為二重積分.因為在上可積,故必有界(P215).由確界原理及定積分估計式得其中5分割D成rs個小矩形:令下面證在可積,且積分值為二重積分.因由積分區(qū)間的可加性其中由于二重積分存在,故由夾逼準則,6由積分區(qū)間的可加性其中由于二重積分存在,故由夾逼準則,6由于當因此由定積分定義,上式左邊亦可寫為即7由于當因此由定積分定義,上式左邊亦可寫為即7類似可證下面結(jié)論:在定理2也存在,且上可積,且對每個存在,則累次積分特別當在上連續(xù)時,則8類似可證下面結(jié)論:在定理2也存在,且上可積,且對每個存在,則例1.

計算其中D是單位正方形組成的閉區(qū)域.解法1.利用定理1,則解法2.利用定理2,

則9例1.計算其中D是單位正方形組成的閉區(qū)域.解法1.二、一般區(qū)域上二重積分的計算1.D為X–型區(qū)域(如圖)2.D為Y–型區(qū)域(如圖)平面區(qū)域D的兩種簡單類型:10二、一般區(qū)域上二重積分的計算1.D為X–型區(qū)域(如圖)定理3在X–型區(qū)域D上連續(xù),其中上連續(xù),則先y后x積分次序在Y–型區(qū)域D上連續(xù),其中上連續(xù),則先x后y積分次序證明:略!P22011定理3在X–型區(qū)域D上連續(xù),其中上連續(xù),則先y后x積分次說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域(如圖),則12說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則13例1.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x所例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:畫域,易見先x后y積分較簡便,及直線則14例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:畫域,例3

計算其中D是由直線所圍成。解：畫域15例3計算其中D是由直線所圍成。解：畫域15注：本題計算中若先后積分;由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，故本題只能采用先后積分。16注：本題計算中若先后積分;由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例4.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:不能先對x積分,17例4.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)例5計算解:

易知,因此取D為X–型域:不能先x后y積分,須交換積分次序18例5計算解:易知,因此取D為X–型域:不例6.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則19例6.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型例7.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為20例7.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設(shè)例8.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,21例8.計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,21例9:

計算解:先畫D域由:將D域分為D1和D222例9:計算解:先畫D域由:將D域分為D1和D222內(nèi)容小結(jié)(1)直角坐標系下二重積分化為累次積分的方法:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則23內(nèi)容小結(jié)(1)直角坐標系下二重積分化為若積分區(qū)域為則若積(2)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關(guān)于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)利用對稱性應用換元公式（兩邊夾，一線穿）24(2)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?作業(yè)P2221(2),(4);2(2),(4);3;5.

25作業(yè)P2221(2),(4);2(2解：原式備用題1.給定改變積分的次序.（P2232（3））26解：原式備用題1.給定改變積分的次序.（P2232（3例2.解27例2.解27寄語假舟楫者，非能水也，而絕江河。假輿馬者，非利足也，而致千里；------旬子28寄語假舟楫者，非能水也，而絕江河。假輿馬者，非利第21章第一節(jié)、二重積分概念

第三節(jié)、格林公式-曲線積分與路線的無關(guān)性重積分第21章本章內(nèi)容：第二節(jié)、直角坐標系下二重積分的計算第四節(jié)、二重積分的變量替換第五節(jié)、三重積分第六節(jié)、重積分的應用第七節(jié)、第八節(jié)、第九節(jié)---N重積分；反常二重積分；變量替換公式證明-----略去29第21章第一節(jié)、二重積分概念第三節(jié)、格林公式-曲線積分與第2節(jié)一、矩形區(qū)域上二重積分的計算二、一般區(qū)域上二重積分的計算直角坐標系下二重積分的計算第21章30第2節(jié)一、矩形區(qū)域上二重積分的計算二、一般區(qū)域上二重積分的計一、矩形區(qū)域上二重積分的計算在定理1也存在,且上可積,且對每個存在,則累次積分證明:直線網(wǎng)T:先用平行于坐標軸的31一、矩形區(qū)域上二重積分的計算在定理1也存在,且上可積,且對每分割D成rs個小矩形:令下面證在可積,且積分值為二重積分.因為在上可積,故必有界(P215).由確界原理及定積分估計式得其中32分割D成rs個小矩形:令下面證在可積,且積分值為二重積分.因由積分區(qū)間的可加性其中由于二重積分存在,故由夾逼準則,33由積分區(qū)間的可加性其中由于二重積分存在,故由夾逼準則,6由于當因此由定積分定義,上式左邊亦可寫為即34由于當因此由定積分定義,上式左邊亦可寫為即7類似可證下面結(jié)論:在定理2也存在,且上可積,且對每個存在,則累次積分特別當在上連續(xù)時,則35類似可證下面結(jié)論:在定理2也存在,且上可積,且對每個存在,則例1.

計算其中D是單位正方形組成的閉區(qū)域.解法1.利用定理1,則解法2.利用定理2,

則36例1.計算其中D是單位正方形組成的閉區(qū)域.解法1.二、一般區(qū)域上二重積分的計算1.D為X–型區(qū)域(如圖)2.D為Y–型區(qū)域(如圖)平面區(qū)域D的兩種簡單類型:37二、一般區(qū)域上二重積分的計算1.D為X–型區(qū)域(如圖)定理3在X–型區(qū)域D上連續(xù),其中上連續(xù),則先y后x積分次序在Y–型區(qū)域D上連續(xù),其中上連續(xù),則先x后y積分次序證明:略!P22038定理3在X–型區(qū)域D上連續(xù),其中上連續(xù),則先y后x積分次說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域(如圖),則39說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,則解法2.將D看作Y–型區(qū)域,

則40例1.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x所例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:畫域,易見先x后y積分較簡便,及直線則41例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:畫域,例3

計算其中D是由直線所圍成。解：畫域42例3計算其中D是由直線所圍成。解：畫域15注：本題計算中若先后積分;由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，故本題只能采用先后積分。43注：本題計算中若先后積分;由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例4.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:不能先對x積分,44例4.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)例5計算解:

易知,因此取D為X–型域:不能先x后y積分,須交換積分次序45例5計算解:易知,因此取D為X–型域:不例6.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則46例6.交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型例7.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為47例7.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設(shè)例8.

計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,48例8.計算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,21例9:

計算解:先畫D域由:將D域分為D1和D249例9:計算解:先畫D域由:將D域分為D1和D222內(nèi)容小結(jié)(1)直角坐標系下二重積分化為累次積分的方法:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則50內(nèi)容小結(jié)(1)直角坐標系下二重積分化為若積分區(qū)域為則若積(2)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關(guān)于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一