RSSR連桿機構(gòu)的運動分析及其特殊情況下的類型圖摘要通過把連桿看作機械手來分析RSSR機構(gòu)，兩個機械手（運動）產(chǎn)生的工作空間的交叉區(qū)域代表了輸入桿或者數(shù)出來的運動區(qū)域，求解運動區(qū)域的值就是用數(shù)學的方法來求解一個橢圓方程及一個單位圓方程。對于平面四桿，一種的特殊RSSR連桿機構(gòu)，Grashof準則被引入。（Grashof準則）還被推薦為有效判斷簡單偏置四桿機構(gòu)類型的方法。為了可以綜合考慮，我們繪制了平面四桿以及簡單偏置四桿機構(gòu)的類型圖。類型圖的橫坐標和縱坐標分別是輸入連桿和輸出連桿的長度。當組合具有特殊類型連桿機構(gòu)的時候，利用強大類型圖我們可以輕松選擇輸入連桿長度和輸出連桿的長度。1.引言通過考慮一個運動件中任意一個點的運動，連桿機構(gòu)可以是平面，球形，或者空間機構(gòu)。對于四連桿機構(gòu)的每個類型，根據(jù)輸入連桿和輸出連桿是否可以做完整的周轉(zhuǎn)運動，可以分為三種形式，即雙曲柄，曲柄搖桿和雙搖桿機構(gòu)。確定指定的連桿是曲柄還是搖桿是四連桿機構(gòu)分析中的基本問題。通過運用著名的Grashof準則，平面四連桿機構(gòu)的類型可以被確定，。此外，在運動圖[3,4]的幫助下，我們可以設(shè)計四連桿機構(gòu)。對于一個球形的四連桿機構(gòu)，在輔助連桿特性的幫助下，Grashof準則也適用。一些可以推導Grashof準則的判別式也被指定出來，以確定平面和球形四桿機構(gòu)中的一根桿是否是曲柄。RSSR連桿機構(gòu)，一種空間機構(gòu)，在文獻中已經(jīng)得到了極大的關(guān)注，除了簡單的偏置四桿機構(gòu)，定義一個常規(guī)RSSR連桿機構(gòu)需要7個參數(shù)。用相對運動的概念來制定判斷RSSR連桿機構(gòu)類型的準則。根據(jù)輸入輸出方程或者傳動角的方程，一個四次判別式被開發(fā)出來或者一個橢圓及一個圓的方程被提議，以決定一個RSSR連桿機構(gòu)的類型。本論文的研究以考慮RSSR連桿機構(gòu)為閉鏈機構(gòu)，兩個操作手為起點兩個操作手的工作空間分別是一個圓環(huán)面和一個圓，通過兩個工作空間的交叉區(qū)域，可以求解連桿機構(gòu)的的運動區(qū)域。2.常規(guī)RSSR連桿機構(gòu)常規(guī)RSSR連桿機構(gòu)圖Fig.1.所示，A和B是球副，Ao和Bo是轉(zhuǎn)動副，同時也是X–Y–Z和x–y–z兩個坐標系的原點。長度為a輸入桿AoA繞Z軸旋轉(zhuǎn)，長度為a輸出桿BoB繞z軸旋轉(zhuǎn)。線P1P2是Z軸和z軸之間的公垂線，Z軸和z軸之間的的角度和距離是a和d，公共連桿AB的長度是b。偏移的距離是AoP1=g和BoP2=h，Y軸和y軸同時平行于線P1P2。為了分析輸出桿的運動區(qū)域，RSSR連桿機構(gòu)被分解為兩個開式運動鏈或者通過打斷球副B來劃分為兩個操作手。第一個操作手包含輸出連桿以及公共連桿，并且有四個自由度，另一個操作手就是輸出桿，且只有一個自由度，如果所有的運動副都可以做完整的周轉(zhuǎn)運動，兩個操作手的工作空間分別是一個圓環(huán)面和一個圓，以X-Y-Z坐標系為基準的圓環(huán)面方程可以寫為：(X2+Y2+Z這個圓，位于x-y平面或者輸出連桿平面上，可以表示為：x2運動區(qū)域的分析師基于兩個工作空間的交叉區(qū)域，如果圓上的點B，表示為Eq.(2)，也可以滿足不等式，這意味著兩個操所受都可以到達點B，然后RSSR連桿機構(gòu)就被聯(lián)系了起來，相應地，如果圓上的任何一個點存在于圓環(huán)面內(nèi)，輸出桿就可以做完整的周轉(zhuǎn)運動，由于不等式和Eq.(2)的導出是以不同的坐標系為基準，為了做進一步的研究，不等式必須做出修改，X-Y-Z坐標系和x-y-z坐標系也可以通過一個變換算子來聯(lián)系起來，即：（3）通過替換方程（3）到不等式（1），同時設(shè)定z=0，則描述x-y平面上的圓環(huán)面的交叉區(qū)域的方程可以推導為：（4）輸出桿的運動區(qū)域可以通過由不等式確定的區(qū)域和由Eq確定的圓的交叉區(qū)域來求解。方程F=0是序號4，并且包含圓（2），當方程2[Eq.（2）]和F=0組合在一起的（求解）時候，解的最大個數(shù)是8個，然而，其中的4個是圓上的點，相應地，在實平面內(nèi)最多有4個解位于交叉區(qū)域內(nèi)，另外，輸出連桿是搖桿，如果可以得到2個或者4個解，因為只有圓的一部分可以滿足不等式（4），這種方法也被提議用來直接求解輸出角Φ，角Φ，如圖Fig.1所示，可以從x軸正版軸到輸出桿逆時針計算，從方程2[Eq.(2)],我們可以讓x=ccosΦ=cx，y=csinΦ=cy，同時x2+y2=1.不等式（4）然后就可以修改為：（5）或者，（5'）式中：（6）通過分析Eq.(6)[方程（6）]中所描敘的系數(shù)，我們可以推導出：Δ=csc2-4這就解釋了不等式（5）代表了被橢圓所包圍的區(qū)域，因此，求解輸出連桿的運動區(qū)域的問題就是求解由一個橢圓所包圍的區(qū)域的交叉區(qū)域G'=0,同時，一個單位圓，x2+y2=1[18].另一方面，上面所推導出來的結(jié)果也同樣適用于輸入桿的運動分析，僅僅是修改一些參數(shù)，交換a和c，交換g和h，改變d和α通過求解不等式（5）和x2+y2=1來判斷RSSR連桿機構(gòu)的類型的方法對一些特殊情況可以避免，當某些連桿機構(gòu)的參數(shù)為0或者3.平面四桿機構(gòu)及類型圖對于平面四連桿機構(gòu)，系數(shù)Css>0,同時Csc,Ccc和Cc全是0，運動區(qū)域，如果存在的話，由不等式(5')所描述，被兩條平行于x軸的線索包圍，如果整個單位圓可以夾在兩條線之間，那么輸出桿就可以做完整的周轉(zhuǎn)運動，這種情況可以被滿足當且僅當G'(1)≤0，同時G'(-1)≤(a-(a-從不等式（8.1）和（8.2），我們可以得出，c或者d一定是四根桿中最短的那一根，最長桿和最短桿的長度之和小于另外兩根桿的長度之和，另一方面，相似的結(jié)論也可以從輸入桿中得出，根據(jù)預想，結(jié)果和由Grashof準則得出的結(jié)果一致。有利于設(shè)計設(shè)計連桿機構(gòu)組合的類型圖以上面推導出來的結(jié)果或者Grashof準則建立起來，當公共連桿和機架連桿的長度比確立了，同時b>d,那么類型圖就可以繪制出來，如Fig.2所示，橫坐標是a，同時也是輸入桿的長度，同時c，輸出桿的長度，是縱坐標，六條線劃分為九個區(qū)域，六條線是，a+c=b-d,a+c=b+d,a-c=b+d,a-c=b-d,a-c=d-b,c-a=b+d。這些區(qū)域可以分類為補個不同的類型，圖中用不同的樣式標了出來，如果輸入桿和輸出桿的長度選擇“Drag-Link”中的數(shù)值，則以為這輸入桿和輸出桿都能做完整的周轉(zhuǎn)運動，這個連桿機構(gòu)就是一個拖動鏈，“C-R”代表曲柄搖桿，另外，“NC”區(qū)域意味著連桿甚至不能連接起來，“R-C”意思是輸出桿是曲柄，然而，只有當輸出桿直接連接到執(zhí)行結(jié)構(gòu)成為輸入桿的時候這種情況才成立，否則的話，四連桿機構(gòu)的類型就是雙搖桿機構(gòu)，當這個類型圖建立起來的時候，用戶可以選擇特定區(qū)域內(nèi)輸入桿和輸出桿的長度來設(shè)計特定類型的連桿機構(gòu)，另一方面，橫坐標和縱坐標也可以被a/d和c/d來替換來建議相似的類型圖。當公共桿和機架桿的長度相等的時候，即b=d,線a+c=b+d消失，線a+c=b-d,a-c=b-d,a-c=d-b，如圖Fig.2所示，交匯成一條線，即a-c=0，線a-c=0上的任意一點，代表著一個平行四桿機構(gòu)機構(gòu)，同時這個四桿機構(gòu)是一個拖動桿b<d中的類型圖如圖Fig.3所示，拖動鏈的類型是不存在的，因為機架桿式不可能最短的，圖中所示的只有四種類型。4.簡單偏置四桿機構(gòu)的判斷這種特殊情況當兩個偏置都為0的時候出現(xiàn)，如圖Fig.4所示，系數(shù)Csc和Cc現(xiàn)在都是0，不等式(5')變?yōu)?(9)函數(shù)G'=0代表橢圓的一個軸與y軸重合，將x2+y2（10）式中：判斷這種連桿機構(gòu)的分析取決于k2以及k12-4k2≥0，（或者d≥|asinα|），不等式（10）代表了由平行于x軸的兩條線所包圍的區(qū)域，（這種情況下的）分析和平面四桿分析類似，對于y=1和y=-1，如果G'≤0,那么輸出干就可以做完整的周轉(zhuǎn)運動，把y=1和y=-1帶入不等式（10），結(jié)果顯示和不等式組（8.1）、（8.2）的結(jié)果完全一致，相應地，當k2<0,同時k12-4k2k0>0,不等式G'≤0代表了除兩條直線所包圍的區(qū)域之外的整個平面，當y=y*=-k1/(2k2)函數(shù)G'的最大值可以被推倒為-（k12-4k2k0（11）當k2<0,同時k12-4k2k12-4k2k0=0，函數(shù)G'的根據(jù)上面的分析，不等式組（8.1）、（8.2）[G'（1）≤0以及G'（-1）≤0的另外一種表示方法]是主要的類別，如果兩個不等式都滿足的話，k2的符號，即-k1/(2k2（12）相似的分析同樣可以用來分析輸入連桿的類型，通過調(diào)整第二部分指向有關(guān)等式組和不等式組的參數(shù)，和輸入干有關(guān)的不等式組-k1/(2k2)≥1以及k1（11'）（12'）推薦一種可以快速有效判定這種特殊RSSR連桿機構(gòu)的流程圖，如Fig.5所示，Grashof準則，最初是用于平面四桿機構(gòu)的（類型）分析，用來初步檢查查找出可能做完整周轉(zhuǎn)運動的桿件，據(jù)此，k2的符號，即和輸入連桿或者輸出連桿有關(guān)的-k1/(2k2)-1，以及k簡單偏置四桿機構(gòu)的類型圖如Fig.5所示的流程圖可以用來判定所有桿件尺寸有已經(jīng)被定義了的連桿機構(gòu)，對于（四桿機構(gòu)）的設(shè)計以及組合，這張和Fig.2以及Fig.3類似的類型圖很受親睞，而且是很必要的。對于簡單偏置四桿機構(gòu)的類型圖的建議將會以Fig.2以及Fig.3為基礎(chǔ)，同時遵從如圖5（Fig.5）所示的流程圖。在建立流程圖之前，我們首先分析曲線k12-4k2k0=0，描述輸出桿k12-4k2k0≤0的不等式（12）(13)表格1：建立類型圖的店的坐標值：(14)從不等式（12）以及（12'）可以發(fā)現(xiàn)，曲線k12-4k2k0=0，被a=d/|sinα|，a=b/|sinα|，c=d/|sinα|，c=b/|sinα|包圍，同時與這些曲線在點A、B、C、D處相切。這些點的坐標值如表格1所示，從不等式（13）我們可以發(fā)現(xiàn)，當a=c=（b2+d2）/2sin2α,式子k12-4k2k0-cos2α（b2-d2）2*(4c2a2)≤0，因為（b2+d2）/2sin2α在b/|sinα|和d/|sinα|之間，k12-4k2k0的曲線將會是一封閉輪廓，同時k12-4k根據(jù)b=d_1以及D的符號（正或負），四種類型圖將會被歸類，將會在接下來討論。5.1b/d≥1,且ΔG≤0以圖2（Fig.2）所建立的不完整類型圖如圖6（Fig.6）所示，這個類型圖適用于b=2.5d>d同時α=30o(ΔG<0)的情況，繪制對應于輸入桿的線a=d/|sinα|，以及對應于輸出桿的線c=d/|sinα|(k2>0)。進而，曲線k12-4k2k0也會被考慮同時去圖像也被繪制出來，曲線k12-4k2k0的圖像如圖6（Fig.6）所示，外星看起來成“梨”狀，且一次通過點：A、C、E、B、D以及F，這條曲線位于asinα≥d,csinα≥d的條件區(qū)域內(nèi)，滿足Grashof準則，同時機架連桿是最短的。同時，這條曲線內(nèi)的任何一個點都滿足不等式（12），因此，“梨”狀內(nèi)區(qū)域代表拖拉連桿，對于a≤d/|sinα|以及c≤d/|sin與輸出桿所對應的的不等式|-k1/(2k2)|d2（a+c+b+d）（a+c-b-d）（a-c-b+d）(a-c+b-d)+4a（bd-acsin2α）×（abd+a2csin通過觀察不等式（11），曲線|-k1/(2k2)|=1主要有兩條分支，當a=d/|sinα|且-a2-b2+c2+d2=0時，與他們交叉，交叉點恰恰就是點A，從不等式（14）已經(jīng)不等式（15），它揭示兩條曲線|-k1/(2k2)|=1和k12-4k2k0=0在點E處相交，在點E處，有bd-acsin2α=0以及a-c=b-d.，相似地，曲線|-k1/(2k2當只考慮不等式（11）的時候，圖7（Fig.7）所示的類型圖適用的條件愛你是b=2.5d>d,且α=30o的情況，曲線|-k1/(2k2)|=1的圖像也用黑實線繪制出來，|-k1/(2k2)|-1的特征值在類型圖上也被標記出來用于分析。同時，類型圖中所顯示曲線對應的是aPd=jsinaj.的輸出桿，如果輸出桿的長度選擇的是I和II區(qū)域內(nèi)的值，那么輸出桿可以做完整的周轉(zhuǎn)運動，因為滿足不等式組（8.1）、（8.2），且滿足a≤d/|sinα|，對于區(qū)域III,IV以及V內(nèi)的點，輸出桿也許做完整的周轉(zhuǎn)運動，因為滿足不等式（11）且滿足a>d/|sinα|(k2>0)，另外，利用優(yōu)化技巧（方法），可以證明任何α值都滿足|-k1/(2k2通過合并圖6以及圖7（Figs.6、7），并且考慮不等式（11'），b=2.5d>d,且α=30o(ΔG<0)的情況下的簡單偏置四桿機構(gòu)的類型圖就可以建立起來，如圖8（Fig.8）所示。通過通過比較圖2（Fig.2）以及圖8（Fig.8）所示的類型圖，唯一不同的區(qū)域就是代表拖拉桿的區(qū)域，簡單偏置四桿機構(gòu)的拖拉桿所示的區(qū)域變小了，且被線a-c=b-d,a-c=d-b,a+c=b+d以及曲線k12-4k2k0=0的圖像區(qū)域所包圍，這個區(qū)域的起點是E，終點是F，并且經(jīng)過點B以及D，為了簡化類型圖的建立，建議用戶可以簡單地輪流連接點E、B、D、F當b=d的時候,所有的點A、B、C、D、E以及F重合為一點，a=c=d=d/|sinα|也相交于這個點，通過觀察圖8（Fig.8,），線a-c=d-b和a-c=b-d的相交點滿足a-c=0。當且僅當a=c≤d/|sinα|的時候，這根連桿將會是拖拉桿，如果a=c>d/|sinα|，（四連桿）機構(gòu)的將會是雙搖桿機構(gòu)。5.2．b/d>1,且ΔG>0當ΔG>0，即tanα2>4bd/(b-d)2,曲線k12-4k2k0≥0與線a+c=b+d在G以及H點處相切，對于b=2.5d>d且α=82o（ΔG>0），曲線k12-4k2k0=0的形狀看起來像“香蕉”，對于輸出桿的|-k1/(2k2)|=1的曲線，由黑體線繪制，曲線通過依次通過點D,F,A,G,H，C，E以及B，通過考慮k2，k12-4k2k0，|-k1/(2k2)|-1在所有區(qū)域內(nèi)的符號，最終的類型圖繪制出來如圖10（Fig.10）所示，曲柄搖桿和搖桿曲柄所對應的的區(qū)域和圖2（Fig.2）相同，唯一代表拖拉連桿機構(gòu)類型的是由曲線k12-4k2k0=0，以及a-c5.3.b/d>1,且ΔG≤0如圖3（Fig.3.）所示，如果b<d，那么拖拉連桿是不存在的，對于b/d=0.4,且α=30o（ΔG<0）條件下的簡單偏置桿機構(gòu)的類型的建立如圖11（Fig.11）所示，黑色粗體繪制的曲線圖像代表的是輸出桿的式子|-k1/(2k2)|=1，對于被線a-c=d-b,a-c=b-d,和線a+c=b+d所包圍的開放區(qū)域，不等式組(8.1)以及(8.2)都不會被滿足，當且僅當條件k2≥0，|-k1/(2k2)|-1≤0以及k12-4k2k0≥0都被滿足的時候，連桿機構(gòu)就是雙搖桿機構(gòu)，這個區(qū)域就會被線a+c=b+d,a-c=d-b,a-c=b-d包圍，并且曲線圖像經(jīng)過點EBD以及F，其它感興趣的區(qū)域（需要考慮一下區(qū)域）是被線c=0,a-c=d-banda+c=b+d.所包圍的區(qū)域。對于滿足方程a≤d/|sinα|(k2≥0的區(qū)域，由于不等式組(8.1)和(8.2)是主要的判定標準，輸出桿也許做完整的周轉(zhuǎn)運動。如果b+d>d/|sinα|部分所感興趣的區(qū)域位于滿足方程a>d/|sinα|(k2<0)條件所確定的區(qū)域內(nèi)，對于這部分區(qū)域，輸出桿的類型取決于|-k1/(2k2)|-1的符號（正或負）。通過運用優(yōu)化技巧（方法），可以證明對于滿足方程式a+c≥d-b,a+c≤b+d,c≥0，同時a≥d/|sinα|值，|-k1/(2k2)|-1的符號都是正的，結(jié)果就是，對于被線5.4．b/d<1,且ΔG>0如圖13（Fig.