個(gè)性化教案第06講多邊形及其內(nèi)角和適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域蘇教版課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）120分鐘知識(shí)點(diǎn)多邊形多邊形的對(duì)角線多邊形的內(nèi)角和與外角和平面鑲嵌（密鋪）教學(xué)目標(biāo)了解多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；了解四邊形的不穩(wěn)定性；會(huì)用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計(jì)算問題教學(xué)重點(diǎn)多邊形的內(nèi)角和公式的推導(dǎo)；利用多邊形的內(nèi)角和公式求多邊形的邊數(shù)、角度數(shù)、外角度數(shù)等；多邊形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)多邊形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用.鑲嵌問題（綜合運(yùn)用多邊形內(nèi)角和等知識(shí)）.教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí) M.C.埃舍爾（M.C.Escher，1898~1972），荷蘭科學(xué)思維版畫大師，20世紀(jì)畫壇中獨(dú)樹一幟的藝術(shù)家。作品多以平面鑲嵌、循環(huán)等為特點(diǎn)，兼具藝術(shù)性與科學(xué)性。 1957年他寫了一篇關(guān)于鑲嵌圖形的文章，其中評(píng)論道："在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，規(guī)則的平面分割已從理論上研究過了，難道這意味著它只是一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)的問題嗎？按照我的意見,它不是。數(shù)學(xué)家們打開了通向一個(gè)廣闊領(lǐng)域的大門，但是他們自己卻從未進(jìn)入該領(lǐng)域。從他們的天性來看他們更感興趣的是打開這扇門的方式，而不是門后面的花園。"無論這對(duì)數(shù)學(xué)家是否公平,有一點(diǎn)是真實(shí)的：他們指出了在所有的常規(guī)的多邊形中，僅僅三角形，正方形，和正六邊形能被用于鑲嵌。但許多其他不規(guī)則多邊形平鋪后也能形成鑲嵌，例如有許多鑲嵌就使用了不規(guī)則的五角星形狀。 人們發(fā)現(xiàn)，埃舍爾30年前作品中的視覺模擬和今天的虛擬三維視像與數(shù)字方法是如此相像，而他的各種圖像美學(xué)也幾乎是今天電腦圖像視覺的翻版，充滿電子時(shí)代和中世紀(jì)智性的混合氣息。因此，有人說，埃舍爾的藝術(shù)是真正超越時(shí)代，深入自我理性的現(xiàn)代藝術(shù)。也有人把他稱為三維空間圖畫的鼻祖。在他之前，從未有藝術(shù)家創(chuàng)作出同類的作品，在他之后，迄今為止也沒有藝術(shù)家追隨他發(fā)現(xiàn)的道路。二、知識(shí)講解1．多邊形（1）多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。（2）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。①從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫條對(duì)角線，將多邊形分成n--2個(gè)三角形.②n邊形一共有條對(duì)角線。（3）多邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為（n≥2）。（4）多邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°。2．平面鑲嵌（1）平面鑲嵌的定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）。（2）鑲嵌的條件：當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，就能拼成一個(gè)平面圖形。（3）能否鑲嵌成一個(gè)平面的關(guān)鍵是看：拼接在同一個(gè)頂點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°（用于判斷幾種多邊形的拼接問題）。所以說：在僅用一種正多邊形鑲嵌只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌，而其他的正多邊形不可以。考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1 注意：各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可。如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角都相等的四邊形才是正方形.考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。外角和定理的應(yīng)用：①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；②已知正多邊形邊數(shù)，求外角或外角度數(shù)?？键c(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3 平面鑲嵌歸納：①拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和等于360°；②只用正三、四、六邊形可以鑲嵌.其他正多邊形不能鑲嵌；③任意全等的三角形一定可以鑲嵌；④任意全等的四邊形一定可以鑲嵌。 探究正整數(shù)解，得出不同的組合方式： 利用代數(shù)式：xn+ym=360°（其中n、m為正多邊形的內(nèi)角度數(shù)，x、y為正整數(shù).） 正三角形和正方形（兩種拼法）、正三角形和正六邊形（兩種拼法）、正三角形和正十二邊形、正四邊形和正八邊形。正五邊形和正十邊形內(nèi)角（108°+108°+144°）可以構(gòu)成360°，但不能進(jìn)行平面鑲嵌。三、例題精析【例題1】【題干】以線段a=7，b=8，c=9，d=11為邊作四邊形，可作（）A．一個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．無數(shù)個(gè)【答案】D．解：四條線段組成的四邊形可有無數(shù)種變化．【解析】根據(jù)四邊形具有不穩(wěn)定性，可知四條線段組成的四邊形可有無數(shù)種變化．【變式1】若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十五邊形，則原多邊形的邊數(shù)可能為（）A．14或15或16B．15或16C．14或16D．15或16或17【答案】A．一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，則多邊形的邊數(shù)是14，15或16．【解析】因?yàn)橐粋€(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和即可解決問題．【變式2】如圖，①中多邊形（邊數(shù)為12）是由正三角形“擴(kuò)展”而來的，②中多邊形是由正方形“擴(kuò)展”而來的，……，依此類推，則由正n邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為．【答案】∵①正三邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)是12=3×4，②正四邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)是20=4×5，③正五邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為30=5×6，④正六邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為42=6×7，∴正n邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為n（n+1）．【解析】首先要正確數(shù)出這幾個(gè)圖形的邊數(shù)，從中找到規(guī)律，進(jìn)一步推廣．正n邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為n（n+1）．【例題2】【題干】如圖所示，我們可以按照如下方法求一個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)圖（1）=0條；圖（2）=2條；圖（3）=5條；圖（4）﹣6=9條．若按以上方法求二十邊形的對(duì)角線條數(shù)，可列式子為，求得該多邊形的對(duì)角線條數(shù)為．【答案】由題意得二十邊形的對(duì)角線條數(shù)，可列式子為=170?！窘馕觥渴煊浂噙呅蔚倪厰?shù)與對(duì)角線的條數(shù)之間的關(guān)系式是解決此類問題的關(guān)鍵．【變式1】2003年世界女排錦標(biāo)賽上，中國(guó)女排以11戰(zhàn)全勝獲得冠軍，在這次錦標(biāo)賽上共有12支球隊(duì)，采用單循環(huán)制（即每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)打一場(chǎng)），則主辦單位共安排了場(chǎng)比賽．【答案】12支球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽，則主辦單位共安排總場(chǎng)數(shù)為：×12×（12﹣1）=66．【解析】根據(jù)多邊形對(duì)角線的計(jì)算方式可得出，m支球隊(duì)舉行比賽，若每個(gè)球隊(duì)與其他隊(duì)比賽（m﹣1）場(chǎng)，則兩隊(duì)之間比賽兩場(chǎng)，由于是單循環(huán)比賽，則共比賽m（m﹣1）．【變式2】將已知六邊形ABCDEF，用對(duì)角線將它剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，那么各種不同的剖分方法種數(shù)是（）A．6B．8C．12D．14【答案】D．∵六邊形ABCDEF有6個(gè)頂點(diǎn)，且用對(duì)角線將它剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，∴只能通過同一個(gè)頂點(diǎn)作三條對(duì)角線（如圖1），這種分法有6種，也從一個(gè)頂點(diǎn)作兩條對(duì)角線（如圖2），這種分法有2種，如圖3，中間是個(gè)四邊形，兩端2個(gè)三角形，把四邊形加條對(duì)角線，這種分法有6種，故各種不同的剖分方法有14種．【解析】要用對(duì)角線將六邊形ABCDEF剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，①通過同一個(gè)頂點(diǎn)作三條對(duì)角線，所以有六種作法．②從一個(gè)頂點(diǎn)作兩條對(duì)角線；③中間是個(gè)四邊形，兩端2個(gè)三角形，把四邊形加條對(duì)角線．【例題3】【題干】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800°，截去一個(gè)角后，得到的多邊形的內(nèi)角和為（）A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能【答案】D．1800÷180=10，∴原多邊形邊數(shù)=10+2=12，∵一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，邊數(shù)可能減1，可能不變，可能加1，∴即新多邊形的邊數(shù)可能是11，12，13，∴新多邊形的內(nèi)角和可能是1620°，1800°，1980°．【解析】考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，注意：一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，邊數(shù)可能減1，可能不變，可能加1．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求出原多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1】六邊形ABCDEF紙片剪去一個(gè)角∠BGD后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=430°，則∠BGD=（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．∵六邊形ABCDEF內(nèi)角和=180°×（6﹣2）=720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=430°，∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°﹣430°=290°，∴∠G=360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）=70°．【解析】此題考查了多邊形的內(nèi)角和公式．此題難度不大，注意掌握整體思想的應(yīng)用．【變式2】實(shí)踐與探索：①過四邊形一邊上點(diǎn)P與另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線可以把四邊形分成個(gè)三角形；②過五邊形一邊上點(diǎn)P與另外三個(gè)頂點(diǎn)連線可以把五邊形分成個(gè)三角形；③經(jīng)過上面的探究，你可以歸納出過n邊形一邊上點(diǎn)P與另外個(gè)頂點(diǎn)連線可以把n邊形分成個(gè)三角形（用含n的代數(shù)式表示）．④你能否根據(jù)這樣劃分多邊形的方法來寫出n邊形的內(nèi)角和公式？請(qǐng)說明你的理由．【答案】①過四邊形一邊上點(diǎn)P與另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線可以把四邊形分成4﹣1=3個(gè)三角形；②過五邊形一邊上點(diǎn)P與另外三個(gè)頂點(diǎn)連線可以把五邊形分成5﹣1=4個(gè)三角形；③經(jīng)過上面的探究，你可以歸納出過n邊形一邊上點(diǎn)P與另外（n﹣2）個(gè)頂點(diǎn)連線可以把n邊形分成（n﹣2）個(gè)三角形（用含n的代數(shù)式表示）．④在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)P，連接P點(diǎn)與其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n﹣1）個(gè)三角形，這（n﹣1）個(gè)三角形的內(nèi)角和等于（n﹣1）?180°，以P為公共頂點(diǎn)的（n﹣1）個(gè)角的和是180°，所以n邊形的內(nèi)角和是（n﹣1）?180°﹣180°=（n﹣2）?180°．【解析】解題關(guān)鍵是將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形中解決，在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)P，連接P點(diǎn)與其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n﹣1）個(gè)三角形．【例題4】【題干】（2012?東城二模）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，那么這個(gè)多邊形是（）A．四邊形B．六邊形C．八邊形D．十邊形【答案】C．解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°=3×360°，解得n=8．【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是360°．【變式1】如圖，小陳從O點(diǎn)出發(fā)，前進(jìn)5米后向右轉(zhuǎn)20°，再前進(jìn)5米后又向右轉(zhuǎn)20°，……，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O時(shí)一共走了（）A．60米B．100米C．90米D．120米【答案】C．∵小陳從O點(diǎn)出發(fā)當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O時(shí)正好走了一個(gè)正多邊形，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷20=18，∴他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O時(shí)一共走了18×5=90米．【解析】主要考查了多邊形的外角和定理．任何一個(gè)多邊形的外角和都是360°．【變式2】一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角中，恰有四個(gè)鈍角，則n的最大值是（）A．4B．7C．8D．9【答案】B．凸n邊形的內(nèi)角中，恰有四個(gè)鈍角，即外角中有四個(gè)銳角，這四個(gè)角最小，另外的外角接近直角時(shí)n的值最大，360÷90=4，則：n=4+4﹣1=7，n的最大值是7．【解析】本題主要理解在哪種情況下n的值最大．【例題5】【題干】正三角形、正方形、正五邊形和正六邊形四種圖形中，能夠單獨(dú)鋪滿平面的有（）A．4種B．3種C．2種D．1種【答案】B．正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，能整除360°，能密鋪；正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，4個(gè)能密鋪；正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密鋪；正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，能整除360°，能密鋪．【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是：一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除360°．【變式1】一幅圖案在某個(gè)頂點(diǎn)處由三個(gè)邊長(zhǎng)相等的正多邊形鑲嵌而成的，其中的兩個(gè)分別是正方形和正十二邊形，則第三個(gè)正多邊形的邊數(shù)是．【答案】由于正方形和正十二邊形內(nèi)角分別為90°、150°，∵360°﹣（150°+90°）=120°，又∵正六邊形內(nèi)角為120°，∴第三個(gè)正多邊形的邊數(shù)是6．【解析】圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵：繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形內(nèi)角加在一起恰組成一個(gè)周角．【變式2】用正三角形和正方形作覆蓋平面，在拼接點(diǎn)處有m個(gè)正三角形和n個(gè)正方形，則m=，n=．【答案】設(shè)用m個(gè)正三角形，n個(gè)正四邊形能進(jìn)行平面鑲嵌．由題意，有60m+90n=360，解得m=6﹣n，當(dāng)n=2時(shí)，m=3．故邊長(zhǎng)相同的正方形和正三角形共同作平面鑲嵌，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍，有3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形．【解析】此題主要考查了平面鑲嵌（密鋪）．四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出m條對(duì)角線，它們將六邊形分成n個(gè)三角形．則m、n的值分別為（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，4【答案】C．解：對(duì)角線的數(shù)量=6﹣3=3條；分成的三角形的數(shù)量為n﹣2=4個(gè)．【解析】考查多邊形的對(duì)角線及分割成三角形個(gè)數(shù)的問題，解答此類題目可以直接記憶：一個(gè)n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對(duì)角線的條數(shù)是n﹣3，分成的三角形數(shù)是n﹣2．2.多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150°，則從此多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可作的對(duì)角線共有（）A．8條B．9條C．10條D．11條【答案】B．∵多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150°，∴多邊形的每個(gè)外角都等于180°﹣150°=30°，∴邊數(shù)n=360°÷30°=12，∴對(duì)角線條數(shù)=12﹣3=9．【解析】本題主要考查了多邊形的外角與對(duì)角線的性質(zhì)，求出邊數(shù)是解題的關(guān)鍵，另外熟記從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可作的對(duì)角線的條數(shù)公式也很重要．3.若一個(gè)n邊形的所有內(nèi)角與某個(gè)外角的和等于1350°，則n為（）A．七B．八C．九D．十【答案】C．1350÷180=7.5，因而設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，則n﹣2=7，解得n=9．【解析】n邊形內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，則多邊形內(nèi)角和是180°的正整數(shù)倍，而多邊形的外角小于180°，因而用1350°÷180°，所得數(shù)值的整數(shù)部分與內(nèi)角和除以180°所得數(shù)值相同．4.多邊形的邊數(shù)由7邊增加到8邊，它的內(nèi)角和增加多少度（）A．90°B．270°C．180°D．360°【答案】C．（8﹣1）?180﹣（7﹣1）?180=180°．【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，理解定理是關(guān)鍵．5．從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形分割成（）個(gè)三角形．A．6B．5C．8D．7【答案】B．從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形分割成7﹣2=5個(gè)三角形．【解析】從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可把n邊形分成（n﹣2）個(gè)三角形．6.從多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．2001B．2005C．2004D．2006【答案】C．多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為2003+1=2004．【解析】多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到的三角形個(gè)數(shù)=多邊形的邊數(shù)﹣1．7.一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中，最多有個(gè)銳角．【答案】根據(jù)任意凸多邊形的外角和是360°．可知它的外角中，最多有3個(gè)鈍角，則內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角．【解析】注意每個(gè)內(nèi)角與其相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，由于多邊形的外角和是不變的，所以要分析內(nèi)角的情況可以借助外角來分析．8.現(xiàn)有8個(gè)好友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮?，共握手次．【答案】八邊形的?duì)角線條數(shù)為：8×（8﹣3）÷2=20（條），邊數(shù)為：8，∴八邊形中一共有線段的條數(shù)為：20+8=28（條）；【解析】熟記n邊形對(duì)角線的總條數(shù)為：（n≥3，且n為整數(shù)）．9.若凸n邊形的內(nèi)角和為1260°，則從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引的對(duì)角線條數(shù)是．【答案】∵凸n邊形的內(nèi)角和為1260°，∴（n﹣2）×180°=1260°，得n=9；∴9﹣3=6．【解析】考查多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的對(duì)角線．10.（1）從n邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)（相鄰頂點(diǎn)除外），得到條線段，可把這個(gè)n邊形分割成個(gè)三角形；（2）從n邊形的一條邊上任意一個(gè)點(diǎn)出發(fā)（頂點(diǎn)除外），分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)（左右兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)除外），得到條線段，可把這個(gè)n邊形分割成個(gè)三角形；（3）從n邊形的內(nèi)部任意一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，得到條線段，可把這個(gè)n邊形分割成個(gè)三角形．【答案】（1）從n邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)（相鄰頂點(diǎn)除外），得到（n﹣3）條線段，可把這個(gè)n邊形分割成（n﹣2）個(gè)三角形；（2）從n邊形的一條邊上任意一個(gè)點(diǎn)出發(fā)（頂點(diǎn)除外），分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)（左右兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)除外），得到（n﹣2）條線段，可把這個(gè)n邊形分割成（n﹣1）個(gè)三角形；（3）從n邊形的內(nèi)部任意一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，得到n條線段，可把這個(gè)n邊形分割成n個(gè)三角形．【解析】此題考查了多邊形的性質(zhì)．注意掌握歸納思想的應(yīng)用．【鞏固】1.如圖，房間地面的圖案是用大小相同的黑、白正方形鑲嵌而成．圖中第1個(gè)黑色形由3個(gè)正方形組成，第2個(gè)黑色形由7個(gè)正方形組成，……那么組成第6個(gè)黑色形的正方形個(gè)數(shù)是（）A．22B．23C．24D．25【答案】B．第1個(gè)黑色形由3個(gè)正方形組成，第2個(gè)黑色形由3+1×4=7個(gè)正方形組成，第3個(gè)黑色形由3+2×4=11個(gè)正方形組成，……，則第6個(gè)黑色形由3+5×4=23個(gè)正方形組成?！窘馕觥孔⒁庖缘谝粋€(gè)圖形中的正方形的個(gè)數(shù)為基數(shù)，得到相應(yīng)的規(guī)律．2.一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是2340°，原多邊形邊數(shù)是（）A．14B．16C．14或16D．14，15或16【答案】D．多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°（n≥3且n是整數(shù)），一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)（n﹣2）?180°=2340°解得：n=15，則多邊形的邊數(shù)是14，15或16．【解析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，注意要分情況進(jìn)行討論，避免漏解．3.將一個(gè)長(zhǎng)方形剪去一個(gè)角后所得的多邊形的內(nèi)角和為（）度．A．540B．360C．180D．540或360或180【答案】D．剪掉一個(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，當(dāng)截線為經(jīng)過正方形對(duì)角2個(gè)頂點(diǎn)的直線時(shí)，剩余圖形為三角形，內(nèi)角和為180°；當(dāng)截線為經(jīng)過正方形一組對(duì)邊的直線時(shí)，剩余圖形是四邊形，內(nèi)角和360°；當(dāng)截線為只經(jīng)過正方形一組鄰邊的一條直線時(shí)，剩余圖形是五邊形，內(nèi)角和為540°．【解析】考查了多邊形的內(nèi)角和，解決本題的關(guān)鍵是理解剪掉多邊形的一個(gè)角的含義．4.如圖，在五邊形ABCDE中，AE⊥DE，∠BAE=120°，∠BCD=60°，∠CDE﹣∠ABC=30°．（1）求∠D的度數(shù)；（2）AB∥CD嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5﹣2）×180°=540°，∠BAE=120°，∠BCD=60°，∴∠D+∠B=540°﹣90°﹣120°﹣60°=270°，∵∠CDE﹣∠ABC=30°．∴∠D=150°；（2）AB∥CD．理由如下：∵∠BAE=120°，∠BCD=60°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．【解析】考查n邊形的內(nèi)角和定理（n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°）和平行線的判定．5.在多邊形邊上或內(nèi)部取一點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的連線，將多邊形分割成若干個(gè)小三角形，圖1給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)小三角形．（1）請(qǐng)按照上述方法將圖2中的六邊形進(jìn)行分割，并寫出每種方法得到的小三角形的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)多邊形為n邊形時(shí)，按上述方法進(jìn)行分割，寫出每種分法得到的小三角形的個(gè)數(shù)．【答案】（1）如圖所示：可以發(fā)現(xiàn)所分割成的三角形的個(gè)數(shù)分別是4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)；（2）結(jié)合兩個(gè)特殊圖形，可以發(fā)現(xiàn)：第一種分割法把n邊形分割成了（n﹣2）個(gè)三角形；第二種分割法把n邊形分割成了（n﹣1）個(gè)三角形；第三種分割法把n邊形分割成了n個(gè)三角形．【解析】本題考查了多邊形的對(duì)角線，此題要能夠從特殊中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而推廣到一般．【拔高】1.連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線，如圖1，AC、AD是五邊形ABCDE的對(duì)角線．思考下列問題：（1）如圖2，n邊形A1A2A3A4…An中，過頂點(diǎn)A1可以畫條對(duì)角線；過頂點(diǎn)A2可以畫條對(duì)角線，過頂點(diǎn)A3可以畫條對(duì)角線．（2）過頂點(diǎn)A1的對(duì)角線與過頂點(diǎn)A2的對(duì)角線有相同的嗎？過頂點(diǎn)A1的對(duì)角線與過頂點(diǎn)A3的對(duì)角線有相同的嗎？（3）在此基礎(chǔ)上，你能發(fā)現(xiàn)n邊形的對(duì)角線條數(shù)的規(guī)律嗎？（4）在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出n邊形的內(nèi)角和．【答案】（1）過頂點(diǎn)A1可以畫（n﹣3）條對(duì)角線；過頂點(diǎn)A2可以畫（n﹣3）條對(duì)角線，過頂點(diǎn)A3可以畫（n﹣3）條對(duì)角線；（2）過點(diǎn)A1的和過點(diǎn)A2的沒有重復(fù)的，但和過點(diǎn)A3的有重復(fù)的（A1A3和A3A1重復(fù)）；（3）n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與它本身及左右兩個(gè)鄰點(diǎn)相連成對(duì)角線，故可連出（n﹣3）條，共有n個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)為n（n﹣3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2．即n邊形的對(duì)角線條數(shù)的為：．（4）過一點(diǎn)有（n﹣3）條對(duì)角線，分成（n﹣2）個(gè)三角形，n邊形內(nèi)角和為180°?（n﹣2）．【解析】此題考查了多邊形的對(duì)角線及多邊形的內(nèi)角和的知識(shí)2.凸多邊形中，除∠A外，其余各角的和是1000°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．6B．7C．8D．9【答案】C．設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是m．則（n﹣2）×180°=1000°+∠A，由于0°＜∠A＜180°，所以0°＜（n﹣2）×180°﹣1000°＜180°，整理得1000＜（n﹣2）×180＜1000+180，即＜n﹣2＜+1，5＜n﹣2＜6．因?yàn)閚是正整數(shù)，所以n﹣2=6，n=8．【解析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，因而內(nèi)角和一定是180度的倍數(shù)，而多邊形的內(nèi)角一定大于0，并且小于180度．因而內(nèi)角和去掉一個(gè)內(nèi)角的值，這個(gè)值除以180度，所得數(shù)值比邊數(shù)n﹣2要大，大的值小于1．則用內(nèi)角和于內(nèi)角的和除以180所得值，加上2，比這個(gè)數(shù)大的最小的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．3.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)和．【答案】∵∠APC是△AEP的外角，∴∠APC=∠A+∠E，∵∠BOD是△DOF的外角，∴∠BOD=∠D+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠B+∠C+∠APC+∠BOD=180°×（4﹣2）=360°．【解析】本題考查多邊形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)．課程小結(jié)多邊形的性質(zhì)多邊形的對(duì)角線多邊形內(nèi)角和與外角和平面鑲嵌問題課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.（2013?湛江）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則這個(gè)多邊形是（）A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形【答案】B．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和得：（n﹣2）180°=540°，解得：n=5，則多邊形是五邊形．【解析】本題比較容易，主要考查多邊形的內(nèi)角和公式．2.（2009?烏魯木齊）某多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則此多邊形的邊數(shù)是（）A．5B．6C．7D．8【答案】D．解：根據(jù)題意，得：（n﹣2）×180=360×3，解得n=8．【解析】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和外角和定理，利用方程法求邊數(shù)．3.（2006?臨沂）多邊形的內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】C．多邊形外角和是360度，外角中最多有三個(gè)鈍角，如果超過三個(gè)則和一定大于360度，多邊形的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，則外角中最多三個(gè)鈍角，內(nèi)角中就最多3個(gè)銳角．【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角問題．由于內(nèi)角和不是定值，不容易考慮，而外角和是360度不變，因而內(nèi)角的問題可以轉(zhuǎn)化為外角的問題進(jìn)行考慮．4.從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)一共可引6條對(duì)角線，則這個(gè)n邊形的內(nèi)角和等于（）A．1260°B．1440°C．1620°D．1800°【答案】A．∵從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)一共可引6條對(duì)角線，∴多邊形是9邊形，∴內(nèi)角和是（9﹣2）?180=1260°?！窘馕觥空_理解多邊形的邊數(shù)與從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線的條數(shù)之間的關(guān)系，以及對(duì)多邊形內(nèi)角和定理的理解與記憶是解決本題的關(guān)鍵．5.多邊形的內(nèi)角和不可能是下列中的（）A．270°B．360°C．540°D．720°【答案】A．A、270°÷180°=1…90°，不是180°的倍數(shù)，不是多邊形的內(nèi)角和；B、360°÷180°=2，是180°的倍數(shù)，可能是多邊形的內(nèi)角和；C、540°÷180°=3，是180°的倍數(shù)，可能是多邊形的內(nèi)角和；D、720°÷180°=4，是180°的倍數(shù)，可能是多邊形的內(nèi)角和．【解析】考查多邊形的內(nèi)角和公式，還需要懂得挖掘此題隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個(gè)條件．6.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是（）A．3B．6C．9D．18【答案】A．設(shè)這個(gè)多邊形有n條邊，由題意得：（n﹣2）×180=360×2，解得：n=6，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是6﹣3=4?！窘馕觥恐饕疾槎噙呅蔚膬?nèi)角和外角，以及對(duì)角線，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式．7.（2011?豐南區(qū)一模）小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10米，向右轉(zhuǎn)60°，又前進(jìn)10米，又向右轉(zhuǎn)60°，……，這樣一直走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了多少米（）A．30米B．60米C．80米D．100米【答案】B．從開始到第一次回到出發(fā)點(diǎn)，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個(gè)正六邊形，則一共走了6×10=60米．【解析】小亮從開始到第一次回到出發(fā)點(diǎn)，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個(gè)正六邊形，已知正六邊形的邊長(zhǎng)，即可求得周長(zhǎng)，即所走的路程．8.某裝飾市場(chǎng)有四種型號(hào)的地磚，準(zhǔn)備用同一型號(hào)的正多邊形地磚密鋪．每種地磚的內(nèi)角度數(shù)分別是90°、120°、135°、150°．這些地磚中，可以使用的是．【答案】90°×2=180°，120°×3=360°，∴同一型號(hào)的正多邊形地磚密鋪地面可以使用的是內(nèi)角度數(shù)分別是90°和120°的地磚．【解析】本題考查了平面密鋪的知識(shí)，用同一型號(hào)的正多邊形地磚密鋪地面時(shí)，對(duì)正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)的要求是解答本題的關(guān)鍵．9.4支排球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（參加比賽的每?jī)芍蜿?duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽），則總的比賽場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)．【答案】如圖，作四邊形ABCD，易得，對(duì)角線有2條，邊數(shù)有4條，共有6條線段，則比賽場(chǎng)數(shù)有6場(chǎng)．【解析】用數(shù)學(xué)模型將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為多邊形的邊數(shù)與對(duì)角線的問題．10.求出下列圖中x的值．【答案】解：（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到：x+70=x+（x+10），解得：x=60．（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°得到：（x+10）+x+60+90=360，解得：x=100．（3）根據(jù)五邊形的內(nèi)角和是（5﹣2）?180=540°得到：x+（x+20）+（x﹣10）+x+70=540，解得：x=115．【解析】結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系來尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解．【鞏固】1.若一個(gè)多邊形的邊數(shù)恰好是從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線條數(shù)的2倍，求此多邊形的邊數(shù)．【答案】設(shè)此多邊形有n條邊，由題意，得n=2（n﹣3），解得n=6．【解析】根據(jù)“一個(gè)多邊形的邊數(shù)恰好是從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線條數(shù)的2倍”列出方程。2.小明在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少計(jì)算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得1345°，則未計(jì)算的內(nèi)角的大小為（）A．80°B．85°C．95°D．100°【答案】C．設(shè)多邊形邊數(shù)是n．依題意有（n﹣2）?180°≥1345°，解得：n≥，則多邊形的邊數(shù)n=10；多邊形的內(nèi)角和是（10﹣2）?180=1440度；則未計(jì)算的內(nèi)角的大小為1440°﹣1345°=95°．【解析】主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確確定多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．3.某單位的地板由三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形鋪成，三種多邊形是按1：1：1來排列，設(shè)這三種正多邊形的邊數(shù)分別為x，y，z，求的值．【答案】由題意可知：，∴，∴．【解析】這三種正多邊形一個(gè)頂點(diǎn)處三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和正好等于360°．4.已知：如圖，四邊形ABCD中，∠D=90°，∠B=∠C=70°，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，EF⊥AE，交CD于點(diǎn)F．（1）求∠BAE的度數(shù)；（2）寫出圖中與∠AEB相等的角并說明理由．【答案】（1）∵四邊形ABCD中，∠D=90°，∠B=∠C=70°，∴∠BAD=360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D=130°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠BAD=×130°=65°；（2）∠AEB=∠CEF．理由如下：在△ABE中，∠AEB=180°﹣∠B﹣∠BAE=45°，∵EF⊥AE，∴∠AEF