7.2動量矩定理質(zhì)系中各質(zhì)點對點O（矩心）的動量矩的矢量和稱為質(zhì)系對點O的動量矩，也稱角動量（AngularMomentum）動量矩是一個向量，它與矩心O的選擇有關(guān)。質(zhì)系的動量矩質(zhì)量均為m的兩小球C和D用長為2l的無質(zhì)量剛性桿連接，并以其中點固定在鉛垂軸AB上，桿與AB軸之間的夾角為

，軸AB轉(zhuǎn)動角速度為，角加速度為，A、B軸承間的距離為h，求系統(tǒng)對O點的動量矩。例1ωACoDB解CD桿的角速度向量兩小球?qū)點的向徑小球的速度由質(zhì)系的動量矩的定義可得以兩個小球為探討對象，建立固連坐標系Oxyz定軸轉(zhuǎn)動圓盤對圓心的動量矩rrOriw問題:如何求平面運動圓盤對質(zhì)心的動量矩？質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩等于質(zhì)系相對質(zhì)心平動系的動量矩，質(zhì)心速度沒有貢獻。—質(zhì)點的絕對速度質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩—相對質(zhì)心平動系速度平面運動圓盤對質(zhì)心的動量矩vvooOOrrwwvvooOwwri可見：平面運動圓盤對質(zhì)心的動量矩等于圓盤以同樣角速度繞質(zhì)心作定軸轉(zhuǎn)動的動量矩。問題：如何求圓盤對水平面上一點的動量矩？mivirixyzAOrA

對兩點動量矩之間的關(guān)系例2一半徑為r的勻質(zhì)圓盤在水平面上純滾動，如圖所示。已知圓盤對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為JO，角速度為，試求圓盤對水平面上O1點的動量矩。解：對隨意點的動量矩定理質(zhì)系動量矩的變化僅取決于外力主矩，內(nèi)力不能改變質(zhì)系的動量矩。下面介紹兩種常用的特殊狀況：mivirixyzAOrA對固定點的動量矩定理質(zhì)系對固定點A的動量矩的變更率等于作用在質(zhì)系上的外力系對A點的主矩。剛體對定軸z的動量矩：質(zhì)系對定軸z的動量矩定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動運動微分方程給定MOz用此方程求解剛體轉(zhuǎn)動規(guī)律。給定剛體轉(zhuǎn)動規(guī)律不能用此方程求解約束反力?？捎脛傮w一般運動的動力學方程(6個)求解。質(zhì)量均為m的A和B兩人同時從靜止起先爬繩。已知A的體質(zhì)比B的體質(zhì)好，因此A相對于繩的速率u1大于B相對于繩的速率u2。試問誰先到達頂端并求繩子的移動速率u。例3解取滑輪與A和B兩人為探討對象，系統(tǒng)對O點動量矩守恒：設(shè)繩子移動的速率為u解動量矩守恒當外力系對某固定點的主矩等于零時，質(zhì)系對于該點的動量矩保持不變。當外力系對某固定軸的合力矩等于零時，質(zhì)系對于該軸的動量矩保持不變。實例分析通過變更轉(zhuǎn)動慣量來限制角速度。衛(wèi)星綻開太陽能帆板有確定消旋作用。實例分析芭蕾舞演員花樣滑冰運動員起旋、加速、減速、停止的分析質(zhì)系對質(zhì)心平動系各軸的動量矩的變更率等于外力對相同坐標軸的合力矩。Cxyz為質(zhì)心平動系。質(zhì)系對質(zhì)心C的動量矩的變更率等于作用在質(zhì)系上的外力對同點的主矩。對質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)量均為m的兩小球C和D用長為2l的無質(zhì)量剛性桿連接，并以其中點固定在鉛垂軸AB上，桿與AB軸之間的夾角為

，軸AB轉(zhuǎn)動的角速度為，角加速度為零，A、B軸承間距離為h，求作用軸上的力矩及A、B軸承的約束反力。例4ωACoDB由質(zhì)系的質(zhì)心運動定理得外力對O點的主矩為質(zhì)系對定點的動量矩定理：解利用例1的結(jié)果探討：設(shè)作用軸AB上主動力矩為M(t)，求約束反力。探討設(shè)作用軸AB上的主動力矩為M(t)，求約束反力。對質(zhì)心的動量矩守恒當外力系對質(zhì)心的主矩等于零時，質(zhì)系對于質(zhì)心的動量矩保持不變。當外力系對質(zhì)心平動系某軸的合力矩等于零時，質(zhì)系對于該軸的動量矩保持不變。實例分析花樣滑冰：起旋、加速實例分析衛(wèi)星姿態(tài)限制：動量矩交換探討問題：動量輪的安裝必需通過衛(wèi)星質(zhì)心嗎？衛(wèi)星質(zhì)心動量輪質(zhì)心衛(wèi)星動量輪的安裝位置“清華一號衛(wèi)星”

動量輪安裝位置動量輪不在衛(wèi)星質(zhì)心，其對動量矩為衛(wèi)星對質(zhì)心動量矩為系統(tǒng)對質(zhì)心動量矩為這里探討平面狀況，三維狀況可以類似地探討。衛(wèi)星動量輪的安裝位置(續(xù))安裝在質(zhì)心時其中為動量輪相對衛(wèi)星的角速度記系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動慣量為，有系統(tǒng)對質(zhì)心的總動量矩結(jié)果完全一樣！姿態(tài)限制（通過調(diào)整動量輪的相對角速度，限制衛(wèi)星的角速度和姿態(tài)角）效果一樣！實例分析貓下落翻身：1/8秒，翻身180度跳水運動空翻空翻＋轉(zhuǎn)體＝“旋”實例分析體育健身器材問題：繞豎方向動量矩守恒嗎？例5在光滑水平面上放置半徑為R的圓環(huán)，在環(huán)上有一個質(zhì)量與環(huán)相同的小蟲，以相對環(huán)的等速率v爬行。設(shè)起先時環(huán)與蟲都靜止。求環(huán)的角速度。R解：系統(tǒng)質(zhì)心為C，則R剛體平面運動微分方程剛體相對質(zhì)心的動量矩應(yīng)用質(zhì)心運動定理和對質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運動微分方程ABO例6長為l質(zhì)量為m的均質(zhì)細桿AB位于鉛垂平面內(nèi)。開始時桿AB直立于墻面，受微小干擾后B端由靜止狀態(tài)開始沿水平面滑動。求桿在任意位置受到墻的約束反力（表示為的函數(shù)形式，不計摩擦）。剛體平面運動微分方程：(a)(b)(c)CPABO解取

為廣義坐標解桿脫離墻的條件：XA=0將式(a)和(b)代入(c)：(a)(b)(c)習題4-30抽屜寬d，長b，與側(cè)面導(dǎo)軌之摩擦系數(shù)均為f。因抽屜較大，在距兩側(cè)面為l處裝置了兩個拉手，如圖所示。為了在運用一個拉手時抽屜也能順當抽出，各尺寸應(yīng)如何選擇？從動力學角度探討一下？起先抽屜與側(cè)壁不接觸，抽屜既平動又轉(zhuǎn)動抽屜很快與側(cè)壁接觸，停止轉(zhuǎn)動，但保持平動是抽屜被拉出的必要條件。充分條件是什么？充分必要條件是什么？有同學得到充分必要條件是進一步探討設(shè)A為側(cè)壁上固定點。由于主矢量不為零，力系對C點主矩為零，對A點主矩不為零。由對固定點的動量矩定理可知，抽屜角加速度不為零。由對質(zhì)心的動量矩定理可知，抽屜角加速度為零上述兩條沖突！為什么？例7半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，在半徑為R的剛性圓槽內(nèi)作純滾動。在初始位置

，由靜止向下滾動。求：1.圓柱體的運動微分方程；2.圓槽對圓柱體的約束力；3.微振動周期。RC

O

1.圓柱體的運動微分方程圓柱體作平面運動，由剛體平面運動微分方程得：RC

OmgFNC*圓柱體在圓槽上作大幅搖擺的非線性運動微分方程解2.圓槽對圓柱體的約束力3.微振動的周期均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為m，用兩根細繩懸掛。當把B繩突然剪斷時，求桿AB角加速度和A繩中張力。例8解AB桿的動力學方程：需補充方程后求解ABoyxC聯(lián)立求解ABoyxC探討當突然把繩AB剪斷時，如何補充運動學方程？OABl例9質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓盤沿傾角為

的斜面上只滾不滑，如圖所示。試求圓盤的質(zhì)心加速度和斜面對圓盤的約束力。不計滾動摩阻。解取x為廣義坐標探討圓盤在自身平面內(nèi)沿水平地面作純滾動，假如初始時刻輪心速度(角速度)為常數(shù)，則接觸點速度為零，加速度的水平重量也為零，因此接觸點與地面既無相對滑動又無相對滑動趨勢，滑動摩擦力為零。在水平方向沒有主動力作用狀況下，保持這種純滾動無需摩擦力，完全光滑的接觸也可以。圓盤在自身平面內(nèi)沿斜面作純滾動，假如初始時刻輪心速度(角速度)為常數(shù)，則接觸點速度為零，加速度的水平重量也為零，因此接觸點與地面既無相對滑動又無相對滑動趨勢，滑動摩擦力為零。假如此后照舊沒有摩擦力，這種純滾動則無法保持，因為重力會使質(zhì)心加速，但沒有力矩使轉(zhuǎn)動加快。假如有摩擦力，它既可以加速轉(zhuǎn)動又可以減緩質(zhì)心加速，從而保持純滾動。探討圓盤在斜面上不打滑的條件若圓盤將又滾又滑，則補充方程為探討對瞬心A點的動量矩定理由對A點的動量矩定理：CPABO在例6中，對瞬心D的動量矩為：D由對D點的動量矩定理：探討對瞬心A點的動量矩定理CAFNxyxOmg如果瞬心A到質(zhì)心C的距離保持不變：雜技演員使雜耍圓盤高速轉(zhuǎn)動，并在地面上向前拋出，不久雜耍圓盤可自動返回到演員跟前。求完成這種運動所需的條件?(設(shè)起先時盤心速度為，盤角速度為，求與應(yīng)當滿足的關(guān)系)例11解：設(shè)任意時刻質(zhì)心速度為，角速度為，圓盤半徑為R，質(zhì)量為m，與地面摩擦系數(shù)為

圓盤與地面接觸點A的速度為當時，有由質(zhì)心運動定理由對質(zhì)心的動量矩定理可見，如果初始時刻，則滑動摩擦力的作用將使減小，直至時刻，即由此可求出當時，滑動摩擦力也與同時變?yōu)榱悖⒃诖丝桃院笠恢睘榱??？梢詽L回的條件為即因此當時，由于圓盤在水平方向不受力，而且相對質(zhì)心的動量矩也為零，因此圓盤將作等速純滾動，即長為的勻整桿AB，以鉸固連于A點，假如初始時桿自水平位置無初速度的起先運動，當桿通過鉛直位置時去掉鉸使桿成為自由體。試分析桿的運動，并求去掉鉸以后，桿質(zhì)心下降h時，桿轉(zhuǎn)了多少圈?例12解：1)解除約束之前，桿作定軸轉(zhuǎn)動，對A點動量矩定理：設(shè)時再積分一次可得質(zhì)心C軌跡：拋物線2)解除約束之后，桿作平面運動當