重慶市2022-2023學(xué)年（上）12月月度質(zhì)量檢測(cè)20222022.12注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．3．若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，若該正三棱柱的外接球體積為，當(dāng)最大時(shí)，該正三棱柱的體積為（

）A． B． C． D．5．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，，，，則線段CD長(zhǎng)度的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．6．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，、分別為體對(duì)角線和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．27．已知直線與圓（為整數(shù)）相切，當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時(shí)，（

）A． B． C．1 D．8．我國(guó)南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖暅提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分。9．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，的前n項(xiàng)和為則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的公差為2 B．C．?dāng)?shù)列是公比為4的等比數(shù)列 D．10．已知A?B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線AP?BP相交于點(diǎn)P，且兩直線的斜率之積為m，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的所在的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的所在的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的所在的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的所在的曲線是圓11．如圖，在平行四邊形中，，分別為的中點(diǎn)，沿將折起到的位置（不在平面上），在折起過程中，下列說法不正確的是（

）A．若是的中點(diǎn)，則平面B．存在某位置，使C．當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐外接球的表面積為D．直線和平面所成的角的最大值為12．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)和在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角的大小為__________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.14．若，則______．15．在分層抽樣時(shí)，如果將總體分為k層，第j層抽取的樣本量為，第j層的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，，．記，則所有數(shù)據(jù)的樣本方差為________．16．已知，在函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，則ω的值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．函數(shù)滿足，，且與直線相切.(1)求實(shí)數(shù)，，的值；(2)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，若不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且.(1)求角的大小;(2)若，求的值.19．已知雙曲線C過點(diǎn),.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知,過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N,設(shè)直線AM、AN的斜率分別為、,求證:為定值.20．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，均為銳角.(1)求證：；(2)若異面直線與所成角正弦值為，四棱錐的體積為1，求二面角的平面角的余弦值.21．已知．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，且，證明．22．在合理分配團(tuán)隊(duì)合作所得時(shí)，我們往往會(huì)引入Shapley值來評(píng)判一個(gè)人在團(tuán)隊(duì)中的貢獻(xiàn)值.首先，對(duì)員工編號(hào)（1，2，…，）.我們假定個(gè)人單獨(dú)工作時(shí)帶來的貢獻(xiàn)是，，，考慮到在個(gè)人工作的基礎(chǔ)上如果分出小組可能會(huì)得到更高的效率，記集合的元素為一個(gè)小組中成員的編號(hào)，例如：集合表示編號(hào)為1，2，3，4的員工結(jié)為一個(gè)小組，并記這個(gè)組為.再記為小組合力工作可產(chǎn)生的總貢獻(xiàn)，并對(duì)編號(hào)為的員工引入邊界貢獻(xiàn)，表示如果員工加入小組中可以為小組帶來的貢獻(xiàn)值.那么一個(gè)員工的Shapley值為其中為其他組員（可以不是所有的其他組員）的一種成組方式，一個(gè)員工的Shapley值越大意味著它在整個(gè)團(tuán)隊(duì)中貢獻(xiàn)越大，最后我們將依靠它來評(píng)定團(tuán)隊(duì)合作下（相當(dāng)于所有人是一個(gè)組）一個(gè)人的貢獻(xiàn)值.現(xiàn)在有三名淘寶帶貨主播，，在一次三人聯(lián)動(dòng)帶貨活動(dòng)（一種直播方式，要求三個(gè)人中一個(gè)人先直播，然后加入一個(gè)人兩個(gè)人聯(lián)動(dòng)，最后再加入一個(gè)人三個(gè)人聯(lián)動(dòng)）中共有50000份訂單任務(wù)要完成，單獨(dú)直播能完成10000份，單獨(dú)直播能完成12500份，單獨(dú)直播能完成5000份，如果，聯(lián)動(dòng)帶貨可以完成27000份，，聯(lián)動(dòng)帶貨能完成37500份，，聯(lián)動(dòng)帶貨能完成35000份，，，聯(lián)動(dòng)帶貨能完成50000份.現(xiàn)在你作為這次任務(wù)的策劃，你需要考慮，，三人最終的獎(jiǎng)金分配.請(qǐng)回答以下問題：（1）請(qǐng)你通過語言表述以及適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言解釋Shapley值的合理性；（2）根據(jù)，，三人Shapley值的大小合理地給出獎(jiǎng)金分配方案（用百分?jǐn)?shù)表示，精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）.★秘密·2022年12月15日16：00前重慶市2022-2023學(xué)年（上）12月月度質(zhì)量檢測(cè)20222022.121．B 2．B 3．C 4．B5．D【詳解】解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴．由，，兩邊平方，得即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即，∴線段CD長(zhǎng)度的最小值為．故選：D．6．D【詳解】如圖,連接,取中點(diǎn),過作面，垂足為,在正方體中,平面,且平面,平面平面,平面平面,且平面，平面,為的中點(diǎn),,故,而對(duì)固定點(diǎn),當(dāng)時(shí),最小,此時(shí)由面，面，，又,，且面，故面，又面,則面面，根據(jù)三棱錐特點(diǎn)，可知，而易知為等腰直角三角形，可知為等腰直角三角形,.故選：D.7．D【詳解】由題意，圓C：，半徑，C點(diǎn)到直線l的距離，a為整數(shù)，；C到直線的距離，考察，令，則有，

，，即的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，，最大；故選：D.8．D【詳解】解：構(gòu)造一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，則當(dāng)截面與頂點(diǎn)距離為時(shí)，小圓錐底面半徑為，則，，故截面面積為：，把代入，即，解得：，橄欖球形幾何體的截面面積為，由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積為：圓柱圓錐.故選：D.9．AB 10．AD11．ABD【詳解】取中點(diǎn)，連接.若A正確，平面，且為三角形中位線，則，面，則面，因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?，因?yàn)槊嫫矫婷嫫矫嫠裕@然，為三角形中位線，，矛盾，故假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為y軸正半軸，在平面中作與AD垂直方向?yàn)閤軸正半軸，z軸垂直平面，建立空間坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，即，又因?yàn)?，則，若B正確，則有，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，則必定成立.則根據(jù)題意，可得、、、.，，則，即不成立，故矛盾，所以B不成立；當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，即平面平面.根據(jù)上面可知，所以，又，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故四面體為所有面都是直角三角形的四面體，根據(jù)外接球性質(zhì)可知，球心必為中點(diǎn)，即為外接球半徑.，，由勾股定理可知，則，外接球面積為，故C正確.當(dāng)平面平面時(shí)，直線和平面所成的角的最大，記此時(shí)角為.由上圖可知，在中，，由余弦定理可解得.此時(shí).此時(shí)，故D錯(cuò).故選：ABD12．CD【詳解】因?yàn)?，且恒成立，所以，則，故，則，當(dāng)時(shí)，，，則，故，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，，則，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，令，則，又，所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立，令，則在上恒成立，即，又，令，得；，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故，對(duì)于AB，易得，，故AB錯(cuò)誤；對(duì)于CD，易得，，故CD正確.故選：CD.13．14．－10015．【詳解】解：.∴樣本均值.又.計(jì)算總體又...故答案為：16．【詳解】根據(jù)題意，為使兩交點(diǎn)距離最小，只需兩交點(diǎn)在同一周期內(nèi)；由題意，令，可得，則，所以，，即；當(dāng)，，，當(dāng)，，，如圖所示，由勾股定理得，即，即，解得：.故答案為：17．（1）因?yàn)椋?，，又，，所以有，解得，所以?因?yàn)楹瘮?shù)與直線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，，即，解得，所以，，，，所以.（2）由（1）知，，即.當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，有，，所以有，整理可得，因?yàn)?，所以，?所以，是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以，，.則不等式對(duì)于任意恒成立，可轉(zhuǎn)化為，即對(duì)于任意恒成立.①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即有恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有；②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即有恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.又，，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最小值為.所以，，即有.綜上所述，.18.（1）已知，根據(jù)正弦定理可得：，在中，，，所以，得，，即，得.（2）由，得，即.根據(jù)余弦定理得，解得.19．（1）設(shè)雙曲線C的方程為,將,代入上式得:,解得,雙曲線C的方程為.（2）設(shè),,由題意易得直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為,代入整理得,,,,且,則,故為定值.20．（1）底面是菱形，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解法一：由（1）知面，又平面，平面平面，作交線，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，則面，又平面，所以.再作，垂足為，面，面，所以面，又面則，所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫?，所以到底面的距離也為.作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面＝，平面，所以平面，所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故，所以，因?yàn)?，所以，所?所以二面角的平面角的余弦值為.解法二：由（1）知面，又平面，平面平面，作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面＝，平面，所以平面，如圖，建立直角坐標(biāo)系：為原點(diǎn)，為軸方向，軸.因?yàn)槠矫妫缘降酌娴木嚯x也為.所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故，在空間直角坐標(biāo)系中：，設(shè)，則則，設(shè)平面的法向量為，，取設(shè)平面的法向量為，，取所以，由題知二面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值為.21．（1）的定義域?yàn)?∵，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題可得，若，則必有，則；若，則必有，則．∴若，則．要證，只需證，只需證，即證，又，故只需證．令．則