第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)應(yīng)用奈奎斯特判據(jù)分析延時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性§5-1

系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的固有屬性，與輸入無(wú)關(guān)。一個(gè)系統(tǒng)受到擾動(dòng)，偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)取消后，這個(gè)系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來(lái)的起始平衡狀態(tài)，則稱(chēng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱(chēng)這個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。Mbcoodfabcde條件穩(wěn)定系統(tǒng)b、c——不穩(wěn)定平衡點(diǎn)d、e——規(guī)定偏差邊界穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)另一種表述：

穩(wěn)定性反映在干擾消失后的過(guò)渡過(guò)程的性質(zhì)上。在干擾消失的時(shí)刻，系統(tǒng)與平衡狀態(tài)的偏差可以看作是系統(tǒng)的初始偏差。因此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也可以這樣定義：若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則稱(chēng)該系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，稱(chēng)該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

§5-2

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件ttt=0t000-＋設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為輸入:則系統(tǒng)輸出為由拉氏逆變換可得總結(jié):如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s平面，則瞬態(tài)響應(yīng)的暫態(tài)分量將隨時(shí)間而衰減，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個(gè)極點(diǎn)位于右半s平面，則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)將是發(fā)散的，系統(tǒng)就不能正常穩(wěn)定工作。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全部具有負(fù)實(shí)部?；蛘哒f(shuō)，特征方程的根全部位于左半s平面。

控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負(fù)實(shí)部。閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實(shí)部（位于左半s平面）。注意：只關(guān)心閉環(huán)系統(tǒng)特征根的位置，而不關(guān)心特征根的實(shí)際大小。§5-3

代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部。直接求出特征根的實(shí)際數(shù)值勞斯穩(wěn)定性判據(jù)（時(shí)域）赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)（時(shí)域）奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（頻域，幾何判據(jù)）(1)穩(wěn)定的必要條件：閉環(huán)特征方程中各項(xiàng)系數(shù)>0(2)穩(wěn)定的充分條件：

勞斯陣列中第一列所有項(xiàng)>0勞斯判據(jù)指出：要使全部閉環(huán)特征根s1、s2…sn均具有負(fù)實(shí)部，必須滿足：一、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)Routh穩(wěn)定判據(jù)就是根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù),按一定的規(guī)則排列成Routh表，根據(jù)表中第一列系數(shù)正負(fù)符號(hào)的變化情況來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯陣列如下：

一直計(jì)算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號(hào)。若全部>0,則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)，就為閉環(huán)特征方程在右半s平面上的根數(shù)。解：滿足必要條件

13-23-例3K為何值時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯判據(jù)的兩種特殊情況1、若勞斯陣列表中任意一行的第一個(gè)元素為零，而其后各元素不全為零時(shí)，可用一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替第一列等于零的元素，然后再計(jì)算其它各元素。勞斯陣列：勞斯陣列的第一列系數(shù)符號(hào)不全為正，符號(hào)改變兩次，說(shuō)明系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

勞斯陣列第一列系數(shù)符號(hào)改變兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。101由該行的上一行元素來(lái)解決：（1）構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，求導(dǎo)，用其系數(shù)代替全為零的行；（2）利用輔助方程，求出這些大小相等且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的特征根。2.某一行所有元素均為零時(shí)輔助多項(xiàng)式：\1\3

第一列符號(hào)全為正，說(shuō)明系統(tǒng)無(wú)右根，s3行系數(shù)全零，有共軛虛根，可由輔助方程解出。輔助方程：3

8

8\1\6\800

系統(tǒng)臨界穩(wěn)定§5-4

乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)-一、米哈伊洛夫定理

——證明Nyquist判據(jù)的一個(gè)引理證明：先看一次式000再來(lái)研究零點(diǎn)在右半S平面的一次式00

二、Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)1、反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)與閉環(huán)特征方程式-當(dāng)w從0到變化時(shí)，[1+G(jw)H(jw)]圖的原點(diǎn)可認(rèn)為是對(duì)應(yīng)G(jw)H(jw)圖的(-1,j0)點(diǎn)。1+G(jw)H(jw)對(duì)原點(diǎn)的角增量與G(jw)H(jw)對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的角增量是等價(jià)的。1+G(jw)H(jw)G(jw)H(jw)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)表述(一)例5-8K為何值時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定。0-1-33例5-9判別系統(tǒng)穩(wěn)定性-1三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的第二種表述1.

幅角定理(Cauchy定理)設(shè)有一復(fù)變函數(shù)其中s為復(fù)變量，以[s]復(fù)平面上的s=+jw表示。設(shè)D(s)在[s]平面上為單值連續(xù)函數(shù)，并設(shè)[s]平面上解析點(diǎn)s映射到[D(s)]平面上為D(s)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量D(s)。若在[s]平面上任意選定一封閉曲線Ls，則在[D(s)]平面上必有一相對(duì)應(yīng)的映射曲線LF，也是一封閉曲線。

幅角定理：當(dāng)解析點(diǎn)s按順時(shí)針?lè)较蜓豅s

變化一周時(shí)，向量D(s)將按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)N周，即D(s)以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)N周（曲線LF

順時(shí)針包圍原點(diǎn)N次）。

若令Z為包圍于Ls

內(nèi)的D(s)的零點(diǎn)數(shù)，P為包圍于Ls

內(nèi)的D(s)的極點(diǎn)數(shù)，則當(dāng)解析點(diǎn)s按順時(shí)針?lè)较蜓豅s

變化一周時(shí)，向量D(s)

將按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的周數(shù)為N=Z-P。簡(jiǎn)要說(shuō)明幅角定理向量D(s)的相位為

假設(shè)Ls

內(nèi)只包圍了D(s)的一個(gè)零點(diǎn)zi，其它零極點(diǎn)均在Ls

之外。當(dāng)s沿Ls

順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí)，向量(s-zi)的相位角變化為-2，而其它各向量的相位角變化為零。向量D(s)的相位角變化為-2，或者說(shuō)D(s)在[D(s)]平面上沿LF繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)了一周。2.

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)-D(s)的零點(diǎn)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，即閉環(huán)特征方程的根；D(s)的極點(diǎn)為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程1+G(s)H(s)=0的全部根具有負(fù)實(shí)部，即GB(s)在[s]平面的右半平面上沒(méi)有極點(diǎn)，亦即D(s)=1+G(s)H(s)=

DB(s)/DK(s)

在[s]平面的右半平面上沒(méi)有零點(diǎn)。為研究D(s)在[s]平面的右半平面上有無(wú)零點(diǎn)，可選擇一條包圍整個(gè)[s]右半平面的封閉曲線Ls

。

設(shè)D(s)=1+G(s)H(s)在[s]平面的右半平面有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，由幅角定理知，當(dāng)s沿Ls移動(dòng)一周時(shí)，在[D(s)]平面上的映射曲線LF

將順時(shí)針包圍原點(diǎn)N=Z-P圈，即在[GH]平面上的映射曲線LGH將順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)N（=Z-P）圈。由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是D(s)

在s平面的右半平面上無(wú)零點(diǎn)，即Z=0。因此，若G(s)H(s)的Nyquist軌跡逆時(shí)針包圍（-1，j0）的圈數(shù)N等于G(s)H(s)在[s]平面的右半平面上的極點(diǎn)數(shù)P時(shí)，即－N=P，由N=Z-P，可知Z=0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。3.

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)表述(二)

當(dāng)G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)上有極點(diǎn)時(shí)，乃式曲線不能經(jīng)過(guò)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。

表明s沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮小的右半圓弧逆時(shí)針變化(w由0-→0＋，原點(diǎn)被看作s平面上的左根）。s平面曲線s即繞過(guò)了G(s)H(s)原點(diǎn)處的極點(diǎn)，又包圍了整個(gè)右半s平面。4.

開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)的Nyquist軌跡設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其中λ為系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。當(dāng)時(shí)，

s的第(4)部分無(wú)窮小半圓弧在[GH]平面上的映射為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的半徑為無(wú)窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)的總弧度為。圖(a)和(b)分別表示當(dāng)=1和=2時(shí)系統(tǒng)的乃氏曲線，其中虛線部分是s的無(wú)窮小半圓弧在[GH]平面上的映射。λλ

s沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮小的左半圓弧順時(shí)針變換(w由0-→0＋，s平面右根）。s平面曲線s繞過(guò)了G(s)H(s)原點(diǎn)處的極點(diǎn)，又包圍了整個(gè)右半s平面。

s的第(4)部分無(wú)窮小半圓弧在[GH]平面上的映射為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無(wú)窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)的弧度為π。說(shuō)明：-1-1四、關(guān)于Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）Nyquist判據(jù)不是在[S]平面而是在[GH]平面內(nèi)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。（2）在p=0，即Gk(s)在[s]平面的右半平面無(wú)極點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)為開(kāi)環(huán)穩(wěn)定。開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)仍可能穩(wěn)定；開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)也可能不穩(wěn)定。（3）當(dāng)w從-∞到+∞時(shí)，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)的。（4）系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母反映了系統(tǒng)本身的固有屬性。閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母D(s)=1+G(s)H(s)包圍[D]平面上原點(diǎn)的情況與G(s)H(s)包圍[GH]平面上(-1,j0)點(diǎn)的情況是完全一樣的。（5）Nyquist判據(jù)能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲(chǔ)備和不穩(wěn)定時(shí)閉環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)?！?-5Nyquist判據(jù)分析延時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

延時(shí)環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，機(jī)械工程中許多系統(tǒng)中具有這種環(huán)節(jié)。一、延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時(shí)

延時(shí)環(huán)節(jié)不改變系統(tǒng)的幅頻特性,僅影響相頻特性，使相位滯后增加。-2、設(shè)某閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍。解：+[GH]例5-14-ReIm為了求出該乃氏曲線與實(shí)軸相交的最左邊的點(diǎn)，可解得到為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，乃氏曲線不應(yīng)繞過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，即得到[例1]某Ⅱ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如下圖所示，且其s右半平面無(wú)極點(diǎn)，試用乃氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。ReIm[GH][例2]設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如下圖所示。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒(méi)有極點(diǎn)，試用乃氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。ReIm·[GH]§5-6

由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系

ReIm二、延時(shí)環(huán)節(jié)并聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中時(shí)--二、利用Bode圖判斷穩(wěn)定性穩(wěn)定不穩(wěn)定ReIm利用Nyquist判據(jù)判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。ReImNyquist曲線剛好通過(guò)（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

忽略

忽略若采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍說(shuō)明：利用Nyquist判據(jù)的結(jié)論與利用勞斯判據(jù)所得結(jié)論不一致，其原因是Bode圖用的是漸進(jìn)線，有誤差。只要兩種方法結(jié)論一致。負(fù)穿越一次正穿越一次負(fù)穿越半次正穿越半次ReIm穿越：開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡在點(diǎn)(-1，j0)以左穿過(guò)負(fù)實(shí)軸。正穿越：沿頻率w增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自上而下（相位增加）穿過(guò)點(diǎn)(-1，j0)以左的負(fù)實(shí)軸。負(fù)穿越：沿頻率w增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自下而上（相位減?。┐┻^(guò)點(diǎn)(-1，j0)以左的負(fù)實(shí)軸。半次正穿越：沿頻率w增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自點(diǎn)(-1，j0)以左的負(fù)實(shí)軸開(kāi)始向下。半次負(fù)穿越：沿頻率w增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自點(diǎn)(-1，j0)以左的負(fù)實(shí)軸開(kāi)始向上。在Nyquist圖上在Bode圖上正穿越：在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，沿w增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自下而上穿過(guò)-1800線。負(fù)穿越：在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，沿w增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自上而下穿過(guò)-1800線。半次正穿越：在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，沿w增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自-1800線開(kāi)始向上。半次負(fù)穿越：在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，沿w增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自-1800線開(kāi)始向上。正負(fù)穿越之差為零，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定只有半次正穿越，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定-正負(fù)穿越之差為1-2=-1系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定正負(fù)穿越之差為2-1=1系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定---§5-7

控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性一、利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性

[S]jw這便是通常所說(shuō)的相對(duì)穩(wěn)定性，它通過(guò)對(duì)（-1，j0）點(diǎn)的靠近程度來(lái)度量。定量表示為：二、利用乃氏判據(jù)分析系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性ReIm·1、相位裕量

正相位裕量ReIm具有正相位裕量的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且還有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定儲(chǔ)備，可以在的頻率下，允許相位再增加度才達(dá)到臨界穩(wěn)定。A··2、幅值裕量當(dāng)時(shí)，開(kāi)環(huán)幅頻特性

的倒數(shù)。在Bode圖上：

正相位裕量線以上正幅值裕量0dB線以下正幅值裕量ReIm···負(fù)幅值裕量負(fù)相位裕量線以下負(fù)幅值裕量0dB線以上負(fù)相位裕量具有負(fù)幅值裕量及負(fù)相位裕量時(shí)，閉環(huán)不穩(wěn)定。ReIm··

工程實(shí)踐中，為使系統(tǒng)有滿意的穩(wěn)定儲(chǔ)備，一般希望：

如果僅以相位裕量來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,就會(huì)得出系統(tǒng)穩(wěn)定程度很高的結(jié)論,而系統(tǒng)的實(shí)際穩(wěn)定程度絕不是高,而是低。必須同時(shí)根據(jù)相位裕量和幅值裕量全面地評(píng)價(jià)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,避免得出不合實(shí)際的結(jié)論。幅值裕量較大，但相位裕量小于300，相對(duì)穩(wěn)定性不夠滿意K=1008dBK=10系統(tǒng)不穩(wěn)定-12dB說(shuō)明：

1、當(dāng)

>0，Kg>0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，是對(duì)最小相位系統(tǒng)而言，對(duì)于非最小相位系統(tǒng)不適用；2、衡量一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須同時(shí)用相位裕量和幅值裕量?jī)蓚€(gè)量；3、具有上述穩(wěn)定裕量的最小相位系統(tǒng)，即使開(kāi)環(huán)增益或元件參數(shù)有所變化，也能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定；4、對(duì)于最小相位系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)幅頻特性和相頻特性有一定的關(guān)系，要求系統(tǒng)具有300~600的相位裕量，意味著幅頻特性曲線在剪切頻率wc附近處的斜率大于-40dB/dec。為保持系統(tǒng)穩(wěn)定，在wc處曲線應(yīng)以斜率-20dB/dec穿越為好。因?yàn)楫?dāng)斜率-20dB/dec穿越時(shí)，對(duì)應(yīng)的相角在900左右，考慮到還有其它因素的影響，就能滿足上式?！?-8二階系統(tǒng)頻域與時(shí)域的關(guān)系(補(bǔ)充)二階系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為

開(kāi)環(huán)幅頻特性：開(kāi)環(huán)相頻特性：×-在w=wc時(shí)，A(wc)=1二階系統(tǒng)的相位裕度為：

Mp

與Mp都只是阻尼比的函數(shù)。增加時(shí)，Mp減小。相位裕度γ可反映時(shí)域中超調(diào)量Mp的大小，是頻域中的平穩(wěn)性指標(biāo)。1.相位裕度與超調(diào)量Mp%的關(guān)系2.

、wc

與ts關(guān)系二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間：若γ一定，wc與ts成反比，wc越大，ts越小。開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)wc可反映系統(tǒng)響應(yīng)快速性，是頻域中的快速性指標(biāo)。習(xí)題1：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如下圖所示。試確定K和a取何值時(shí)，系統(tǒng)將維持以w=2rad/s的持續(xù)振蕩。解：由已知條件知，系統(tǒng)特征方程一定存在一對(duì)共軛純虛根，s1,2=j2。系統(tǒng)的特征方程為列寫(xiě)Routh表如下：只有當(dāng)Routh表中的s1

行的元素全為時(shí)，該特征方程才會(huì)有一對(duì)共軛純虛根。令