《平面向量概念及運算》同步訓練●考試目標主詞填空1.實數(shù)與向量的積a與λa同向的充要條件是λ＞0.a與λa反向的充要條件是λ＜0.λ·(a＋b)＝λa＋λbλ·(a-b)＝λa-λb設(shè)a＝(x,y),則λa＝(λx,λy).2.向量的坐標運算設(shè)a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)a＋b＝,a-b＝,a＝bx1＝x2且y1-y2,a∥b(a≠0,b≠0)x1y2-x2y1＝0.3.三點共線的充要條件A、B、C三點共線存在λ∈R,使＝λ.4.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a有且只有一對數(shù)λ1,λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2.●題型示例點津歸納【例1】設(shè)e1、e2是不共線的向量，已知向量＝2e1＋ke2,＝e1＋3e2,＝2e1-e2,若A、B、D三點共線，求k值.【解前點津】因A、B、D三點共線，故存在實數(shù)λ,使＝λ由此等式可得關(guān)于λ,k的方程組，從而可求得k值.【規(guī)范解答】由條件得:＝-＝(2e1-e2)-(e1＋3e2)＝e1-4e2.因A、B、D三點共線，故存在實數(shù)λ,使＝λ,所以2e1＋ke2＝λ(e1-e2)λ＝2且k＝-4λ,∴k＝-8.【解后歸納】利用兩個向量共線的充要條件列方程是常用方法.例2題圖【例2】一艘船以5km/例2題圖向與水流方向成30°角，求水流速度與船的實際速度.【解前點津】用向量分別表示水流速度，船向垂直于對岸行駛的速度，船實際速度，將這三個向量的始點歸結(jié)在一處,利用圖形特點求解.【規(guī)范解答】如圖，表示水流速度，表示船向垂直于對岸行駛的速度,表示船實際速度，∠AOC＝30°,||＝5km/h.∵OACB為矩形，||＝||·cot30°＝||·cot30°＝5＝(km/h),||＝10km/h.所以，水流速度為8.66km/h【解后歸納】有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知識背景，數(shù)形結(jié)合，是應(yīng)用向量工具的一項基本功.【例3】(1)證明:三個兩兩不平行的向量a,b,c可以構(gòu)成一個三角形(每個向量的始點重合于別處二個向量中的一個向量的終點)的充要條件是:a＋b＋c＝0.(2)證明三角形的三個中線向量可以構(gòu)成一個三角形.【解前點津】利用(1)的結(jié)論證明(2).用三條邊所在的向量分別表示三條中線.通過運算可獲結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)充分性:∵a＋b＋c＝0,∴a＋b＝-c根據(jù)三角形法則,三個兩兩不平行的向量a、b、c可以構(gòu)成一個三角形;必要性:∵向量a、b、c可以構(gòu)成一個三角形，∴不妨設(shè)在△ABC中,＝a,＝b,＝c,根據(jù)多邊形法則,∵＋＋＝＝0,∴a＋b＋c＝0.例3題圖(2)如圖，D、E、F分別是△ABC中三邊的中點，例3題圖因為＝＋＝＋,＝＋＝＋,＝＋＝＋BC.∴將上述三式相加得,＋＋＝(＋＋)＝·0＝0.【解后歸納】熟練應(yīng)用“三角形”法則以及“多邊形法則”，是必須具備的一項“基本功”.【例4】用向量法證明:三角形三中線交于一點.【解前點津】在△ABC中,G是AD與BE的交點,連接AB的中點F與G及GC,欲證三中線共點，只須證明:G在中線CF上，從而只須證明與共線.例4題圖【規(guī)范解答】∵＝＋,＝＋,例4題圖∴＝(＋)＋(＋)①又∵＝＋,＝＋,∴兩式相減得:＋＝(＋)即(＋)＝(＋)代入①消去＋得＝(＋)＋(＋)＝(＋)②∵＝＋,＝＋,∴2＝(＋)③比較②③得＝2,∴∥,∴C、G、F在一條直線上，故G在中線AF上.【解后歸納】證明“線共點”或“點共線”問題，常轉(zhuǎn)化為向量共線的問題.●對應(yīng)訓練分階提升一、基礎(chǔ)夯實1.設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個非零向量，則有()∥e2B.|e1|＝|e2|C.同一平面內(nèi)的任一向量a,都有a＝λe1＋μe2(λ,μ∈R)D.若e1與e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a,都存在實數(shù)λ,μ,使a＝λe1＋μe22.已知a＝e1-2e2,b＝2e1＋e2,且e1,e2是不共線的非零向量，則a＋b與c＝6e1-2e2的關(guān)系是()A.不共線B.共線C.相等D.無法確定3.已知向量e1,e2不共線，實數(shù)x,y滿足:(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2＝6e1＋3e2,則x-y的值等于()4.若a,b不共線,且λa＋μb＝0(λ,μ∈R),則()A.λ·μ＝1B.λ·μ＝-1C.λ＝μ＝0D.λ,μ不確定5.已知a,b不共線，且c＝λ1a＋λ2b(λ1,λ2∈R),若c,b共線,則λ1＝()6.若O、A、B為平面上三點，C為線段AB的中點，則()A.＝B.＝()C.＝2D.＝()7.已知＝(x,y),點B的坐標為(-2,1),則的坐標為()A.(x-2,y＋1)B.(x＋2,y-1)C.(-2-x,1-y)D.(x＋2,y＋1)8.已知a＝(3,-1),b＝(-1,2),則-3a-2b等于(A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)9.已知點B的坐標為(m,n),的坐標為(i,j),則點A的坐標為()A.(m-i,n-j)B.(i-m,j-n)C.(m＋i,n＋j)D.(m＋n,i＋j)二、思維激活10.已知平行四邊形ABCD的頂點:A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6)則第四個頂點D的坐標是.11.已知向量a＝(3,-2),b＝(-2,1),c＝(7,-4),若c＝λa＋μb,則λ＝,μ＝.12.已知a＝(1,2),b＝(-3,2),若(ka＋b)∥(a-3b),則實數(shù)k＝.13.已知＝i-2j,＝i＋m·j,其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量,若A、B、C三點共線，則實數(shù)m＝.三、能力提高14.在平行四邊形ABCD中.(1)設(shè)對角線＝a,＝b,求:,,,;(2)設(shè)邊和的中點為M、N,且＝p,＝q,求,.15.設(shè)a＝,B(1,0),b＝(-3,4),c＝(-1,1)且a＝3b-2c,求點A的坐標.16.用向量證明:平行四邊形對角線互相平分.17.在平行六面體ABCD-EFGH中,證明:＋＋＝2.第第17題圖第2課數(shù)乘向量及坐標運算習題解答直接使用平面向量基本定理.∵a＋b＝3e1-e2＝·c.由條件:3x-4y＝6且3＝2x-3y,解之:x＝6且y＝3故x-y＝3.令c＝x·b則由x·b＝λ1a＋λ2b得x＝λ2且λ1＝0.第6題圖解第6題圖解∴＝∵,所以,＝-＝(-2,1)-(x,y)＝(-2-x,1-y).-3a-2b-3(3,-1)-2(-1,2)＝(-9,3)＋(＋2,-4)＝(-7,-1).＝-＝(m,n)-(i,j)＝(m-i,n-j).10.設(shè)D(x,y),∵＝,∴(-1,-2)-(3,-1)＝(x,y)-(5,6)故(-4,-1)＝(x-5,y-6).由得:故D點坐標是(1,5).11.由(7,-4)＝λ(3,-2)＋μ·(-2,1)得:7＝3λ-2μ,且-4＝-2λ＋μ解之:λ＝1,μ＝-2.12.∵ka＋b＝k·(1,2)＋(-3,2)＝(k-3,2k＋2);a-3b＝(1,2)-3(-3,2)＝(10,-4),∴10·(2k＋2)＝-4(k-3)k＝-.13.因,＝(1,m)故由∥得-2＝m即m＝-2.14.(1)如圖(1)，記平行四邊形ABCD的對角線交點為0,因平行四邊形對角線互相平分，所以:第14題圖解（1）＝＋＝a-b;第14題圖解（1）＝＋＝b＋a;＝＋＝-a＋b;第第14題圖解(2)＝＋＝-b-a.(2)如圖(2)所示,∵＝＋＋＝＋q-＝＋q①又＝＋＋＝-＋(-p)＋＝-p②解①②構(gòu)成的方程組得:＝q-p,＝q-p.15.設(shè)A(x,y),則＝(1-x,-y)代入a＝3b-2c得:(1-x,-y)＝3(-3,4)-2(-1,1),故.16.如圖，AC與BD是平行四邊形ABCD的兩對角線，O是其交點.第16題