....函數(shù)最值的解法及其在生活中的應用（渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)11級2班）大綱：函數(shù)最值問題是此刻高中數(shù)學課程中的重要構(gòu)成部分，也是高考觀察的重要內(nèi)容之一，在高考中據(jù)有比較重要的地位.但因為最值問題綜合性較強.解法比較靈巧.所以對各方面知識及選擇何種解題方法方面都有較高的要求.本文主要對函數(shù)最值問題進行研究，探討各種不一樣的求解方法，論述函數(shù)最值問題研究的重要性，獲取求解函數(shù)最值的幾種方法及求解時應注意的一些問題.要點詞:函數(shù);最值;解法緒論函數(shù)是高中數(shù)學的主體內(nèi)容，貫穿于整個高中階段，而函數(shù)最值問題是函數(shù)的重要內(nèi)容之一．解決函數(shù)最值問題就是實現(xiàn)未知向已知、新問題向舊問題以及復雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)變的過程，固然解決問題的詳盡方法不完整同樣，但就其思想模式來說，一般是將待解決的問題進行一次次的轉(zhuǎn)變，直至劃為一類很簡單解決或已解決的問題，從而獲取原問題的解答．函數(shù)最值問題是一類特別的數(shù)學識題，它在生產(chǎn)、科學研究和平常生活中有著廣泛的應用，并且在中學數(shù)學教課中也據(jù)有著比較重要的地點，是近幾年數(shù)學比賽中的常有題型也是歷年高考要點觀察的知識點之一．因為其綜合性強，解法靈巧，所以解決這種問題，要掌握各數(shù)學分支知識，并能綜合運用各種所學知識技巧，選擇適合的解題方法．1.1函數(shù)最值的定義：一般地，函數(shù)的最值分為最小值和最大值:設函數(shù)yfx的定義域為T，x0T，且在x0處的函數(shù)值是fx0假如關于定義域T內(nèi)任意x，不等式fxfx0都成立，那么fx0叫做函數(shù)yfx的最小值，記作yminfx0；假如關于定義域T內(nèi)任意x，不等式fxfx0都成立，那么fx0叫做函數(shù)yfx的最大值，記作ymaxfx0.z.......函數(shù)的最值一般有兩種特別狀況：（1）假如函數(shù)f(x0)在[a,b]上單調(diào)增添(減少)，則f(a)是f(x)在[a,b]上的最小值(最大值)，f(b)是f(x)在[a,b]上的最大值(最小值).（2）假如連續(xù)函數(shù)f(x0)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個極大(小)值，而沒有極小(大)值，則此極大(小)值就是函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最大(小)值.函數(shù)最值的求解方法研究中學數(shù)學的最值知識是進一步學習高等數(shù)學中最值問題的基礎，所以最值問題向來是各種考試的熱門。利用中學數(shù)學知識解決最值問題方法很多，如定義法、導數(shù)法、配方法、消元法、數(shù)形聯(lián)合法、以及不等式的證明等等，選擇適合的方法才能讓問題水到渠成.2.1定義法利用定義解決函數(shù)最值的相關問題時，其重要的一點就是要掌握定義的內(nèi)涵，準確地加以應用!需要注意的是:函數(shù)必定有值域，但不必定有最值.例1設函數(shù)fx的定義域為R，以下命題中正確的選項是:（1）若存在常數(shù)P，使得對任意xR，有fxP，則P是函數(shù)fx的最小值;（2）若存在x0R，使得對任意的xR，有fxfx0，則fx0是函數(shù)fx的最小值;（3）若存在x0R，使得對任意的xR，且xx0有fxfx0，則fx0是函數(shù)fx的最小值;分析依據(jù)函數(shù)最小值的定義知，（1）是假命題:固然滿足最小值定義中的任意性，但不滿足存在性，故錯誤（2）（3）正確:實質(zhì)上，它們是等價命題，都滿z.......足最值定義中的兩個條件2.2導數(shù)法例2求函數(shù)f(x)x36x215x5在6,3的最值.解∵f(x)x36x215x5,∴f'()3x212x15x令f'(x)3x212x15=3(x1)(x5)=0解得x11,x25f685，f5105，f13，f341可知f極大值-5105，f極小值1-3比較得fmaxx105,fminx3故函數(shù)f(x)x36x215x5在閉區(qū)間6,3上的最大值是105,最小值是-3.2.3單調(diào)性法閉區(qū)間上可導函數(shù)的最值本源于區(qū)間端點的函數(shù)值和函數(shù)在這個區(qū)間上的極值,而極值又本源于f'(x)0的根處的函數(shù)值.所以建議求可導函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最值可分以下兩步步驟進行:求函數(shù)的導數(shù);求函數(shù)在[a,b]內(nèi)令f'(x)0的x的值（稱之為”駐點”);3.判斷駐點左右雙側(cè)f'(x)的正負,以此判斷函數(shù)曲線的走向（f'(x)0為上升,f'(x)0為降落）,左側(cè)上漲、右側(cè)降落的駐點處的函數(shù)值為極大值,反之為z.......極小值;假如函數(shù)駐點許多,分段談論,并可以列表、畫圖表達;求最大值,將全部極大值和函數(shù)定義域區(qū)間端點的函數(shù)值一起比較,取最大的,則為最大值.最小值亦然。2.4鑒識式法關于某些特別形式的函數(shù)的最值問題，經(jīng)過適合變形后，使函數(shù)f(x)出現(xiàn)在一個有實根的一元二次方程的系數(shù)中，而后利用一元二次方程有實根的充要條件0來求出f(x)的最值.例32.5配方法假如給定函數(shù)是二次函數(shù)或變形后可轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)的問題，一般可用此法求解.例3求f(x)2x234x在區(qū)間[1,0]內(nèi)的最值.解：配方得f(x)2x234x3(2x2)24,33因為x[1,0],所以12x1，從而當2x22，f(x)獲得最大值423即xlog23；當2x1即x0時f(x)獲得最小值1.32.5消元法在求多元函數(shù)最值的條件中#若能由條件中的多元關系解出某些變量，則可考慮經(jīng)過代入消元法#把多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)變成一元函數(shù)來解決，以達到簡化的目的!例4已知x22y23x，求u2x2y2x的最大值解：由已知得y21x23x①2z.......x23x0,0x3將①代入u2x2y2x化為一元函數(shù)，再用配方法即可求得。2.6數(shù)形聯(lián)合求最值數(shù)形聯(lián)合法是一種重要的解題方法#其核心就是利用函數(shù)的幾何意義把函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)變成幾何問題來解決!此法直觀性較強#易于理解#有必定的靈巧性且常有化難為易的奇異成效。例5已知直線xy30,求函數(shù)S(x1)2y2+(x1)2y2的最值.解此題的幾何意義是在直線xy30上求一點M,使得M到點(1,0),(1,0)的距離之和最小.(以以下圖3—1）設:點A,B的坐標分別為(1,0),(1,0),直線l的方程為xy30.由幾何光學原理知當點光源從A射出后,經(jīng)鏡面l反射到點B,這時AMBMNB就是所求的最小值.設點B關于光輝l的對稱點為N(x1,y1),于是Smin=AMBMNB,由y1011x11x11y13022化簡得x1y110x1y150解得x13,y12所以SminAMBMNB=(31)2(20)2=25圖3—1z.......2.7換元法求最值換元變換是一種重要的數(shù)學變換#在數(shù)學中有著廣泛的應用!正確而靈巧地運用換元法可使問題化繁為簡，化難為易。例6設x2xyy212,求x2y2的最值.解xrcos,yrsin(為參數(shù)),則x2xyy2r2(cos2cossinsin2)=r2(11sin2)12.2從而x2y2r2(cos2sin2)=r212.11sin22因-1sin21,當sin21(即xy2)時,故(x2y2)min8;當sin21(即xy23)時,故(x2y2)max24.2.8最值不等式的證明定理設f(x)mxmax2bxc(a0,m1,mN)若非負整數(shù)k滿足:(1)ak2bkclogm[(2akb)]k0,(2)ak2bkcZ,那么有滿足條件(1)的k值是獨一的;(II)當xk時,的最小值為f(x)minf(k)mkmak2bkc.例7證明2x32x26,(xR).證令x3x,那么2x32x22x2x26x9f(x),z.......這里m2,a1,b6,c9.由條件(1)可得k26k9log2(62k)k0∵kZ,若方程k26k9log2(62k)k0有解,一定滿足62k2p(pZ),由此可知k的取值只好是1,2.經(jīng)過考據(jù)只有k2是方程k26k9log2(62k)k0的解,且ak26kc226291Z,滿足條件(2),故由結(jié)論(II),可得f(x)minf(2)222226296,即2x32x26,成立.注文中定理利用高等數(shù)學知識可推行為:定理設f(x)mxmax2bxc(m1,a0),若存在常數(shù)k滿足ak2bkclogm[(2akb)]k0那么f(x)minf(k)mkmak2bkc.求解函數(shù)最值時應注意的一些問題3.1注意定義域求最值問題的時候，在求解的過程中間，要注意觀察定義域的變化狀況，第一看到題目的時候，應當先把確立函數(shù)的定義域；在解題過程中，當函數(shù)變形時應注意定義域能否發(fā)生改變，假如引入新變量也應當確立新變量的取值范圍，省得在后邊的求解過程中出現(xiàn)錯誤；在解題結(jié)束時，一定檢驗所求得的使函數(shù)獲得最值的自變量能否包括在定義域的范圍內(nèi)例求函數(shù)y1x的最值.x2z.......錯解：將y1x兩邊同時平方并去分母得y2x2(4y21)x4y210.x2因為xR，所以(4y21)24y2(4y21)0，化簡得4y21.所以1y1，故ymin1，ymax1.2222分析：這個答案致錯原由是兩邊平方及去分母，使函數(shù)的定義域擴大了.正解：將y1x兩邊平方并去分母，得y2x2(4y21)x4y210.x2因為xR，所以(4y21)24y2(4y21)0，化簡得4y21.所以1y1，注意到原函數(shù)的定義域是x1，則有1x0，x20，于22是必有y0.所以1y0，故ymin1，ymax0.223.2注意值域求函數(shù)的最值，不僅對幾種基本初等函數(shù)的值域要特別熟習，并且在解題過程中還要注意函數(shù)取值范圍的變化.參照文件[1[1]方曉華，吳鳳香，黃寶存.函數(shù)最問題的解法商討.金華職業(yè)技術(shù)學院學報，2002,2(2).潘玉曉.關于函數(shù)最值問題的商討[J].南陽師范學院學報，2005(9).戴寶爾，李杏蓮.初等方法求解函數(shù)最值問題[J].科技資訊，2008(20).戚雪敏.淺談求函數(shù)最值問題的方法[J].2011(11)][5]人民教育第一版社中學教課室.數(shù)學第三冊必修I[M].:人民教育第一版社,2006:50-51.[6]袁亞湘,孫文瑜.最優(yōu)化理論與方案第5次[M].:科學第一版社,2005:45-47.陳傳理,張同君.數(shù)學建模教程第二版[M].:高等教育第一版社,2005:149.周漢良.數(shù)學規(guī)劃及其適用[M]．超星數(shù)字圖書室,1995:56-60.[9]人民教育第一版社中學教課室.數(shù)學第三冊必修I[M].:人民教育第一版社,2006:50.z.......董國陽.關于求函數(shù)最值問題的商討[J].2011(11).[13]張維進.一類指數(shù)函數(shù)最小值的初等求法[J].電子學報,1999,(2).DiscussiononthefunctionmostvalueintheapplicationoflifeYangJing(WeinanTeachersUniversity,ShanxiWeinan)Abstract:Applicationofmathematicsisanimportanttaskintheteachingofmathematics.Thispaperwillthroughthedefinitionofthevaluefunctionandthemethodofsolvingthemostvalue,thevalueofthefunctionandsystem,whichisanimportantandbasicpropertiesandfunctions,whichmadepeoplerealizethefunctionmostvaluequestionhasacloserelationshipwiththeactualtheproblem.Finally,thevaluefunctioncanusetheknowledge,tosolvetheproblemsinreallife.Firstly,thevaluefunctionandthevaluefunctionofthedefinitionofrelatedtheory.Andgiventhevaluefunctionandtherelationshipbetweenthe(lower)bound;secondly,givessomemethodstosolvethevaluefunction(suchasthevalueofthederivativeofgeneralmethod,eliminationmethod,combinationmethod,substitutionmethod,andtoproveinequalityetc.);andthenusethesesomeoftheproblemsinreallife(forexample,tosolvez.......theminimumcostmaximumprofit,thefastestspeed,etc.)andthelifeofsomeofthemostvalueofsomephenomenon;thelastisasummaryofthevaluefunctionoftheactuallifepla