會計(jì)學(xué)1D定積分的應(yīng)用由此可知，第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束所謂“微元法”，就是尋求所求量的微分，對此量在相應(yīng)所謂“微元”，就是所求量的微分，的區(qū)間上求積分以解決實(shí)際問題的方法。具體的做法是：1.根據(jù)實(shí)際問題選取積分變量(x)，并確定其變化范圍2.任取及微線段確定所求量Q在該微線3.計(jì)算定積分：段上的微元（其幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等）其表示式為：第1頁/共52頁4.8.2定積分的幾何應(yīng)用1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為：一、平面圖形的面積第2頁/共52頁例1.

計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共52頁例2.

計(jì)算拋物線與直線的面積.解:

由得交點(diǎn)所圍圖形為簡便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共52頁例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時得圓面積公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共52頁一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程

給出時,按順時針方向規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共52頁例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共52頁2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共52頁對應(yīng)

從0變例5.計(jì)算阿基米德螺線解:點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束到2

所圍圖形面積.第9頁/共52頁例6.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)心形線目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共52頁心形線(外擺線的一種)即點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停

尖點(diǎn):

面積:

弧長:參數(shù)的幾何意義第11頁/共52頁例7.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共52頁例8.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:第13頁/共52頁二、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱第14頁/共52頁(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長(P168)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共52頁(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共52頁(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):(自己驗(yàn)證)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共52頁例9.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束下垂懸鏈線方程為第18頁/共52頁例10.

求連續(xù)曲線段解:的弧長.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共52頁例11.

計(jì)算擺線一拱的弧長.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共52頁例12.

求阿基米德螺線相應(yīng)于0≤≤2一段的弧長.解:(P349公式39)小結(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共52頁三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束上連續(xù),第22頁/共52頁特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁/共52頁例13.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對稱性)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁/共52頁方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a

時,就得半徑為a的球體的體積機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁/共52頁例14.

計(jì)算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x

軸,y

軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解:

繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對稱性機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁/共52頁繞

y

軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注意上下限!注注目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁/共52頁分部積分注(利用“偶倍奇零”)第28頁/共52頁柱殼體積說明:

柱面面積機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第29頁/共52頁偶函數(shù)奇函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁/共52頁例15.

設(shè)在

x≥0時為連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且形繞直線x＝t

旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:證:利用柱殼法則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故第31頁/共52頁例16.

一平面經(jīng)過半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,解:

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第32頁/共52頁思考:

可否選擇y

作積分變量?此時截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第33頁/共52頁垂直x

軸的截面是橢圓例17.

計(jì)算由曲面所圍立體(橢球體)解:它的面積為因此橢球體體積為特別當(dāng)

a=b=c

時就是球體體積.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的體積.第34頁/共52頁例18.

求曲線與x

軸圍成的封閉圖形繞直線y＝3旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94考研)解:

利用對稱性,故旋轉(zhuǎn)體體積為在第一象限機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第35頁/共52頁四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

(補(bǔ)充)設(shè)平面光滑曲線求積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第36頁/共52頁側(cè)面積元素的線性主部.若光滑曲線由參數(shù)方程給出,則它繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積△S的機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:側(cè)面積為第37頁/共52頁例19.

計(jì)算圓x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S.解:

對曲線弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺高h(yuǎn)＝2R

時,得球的表面積公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第38頁/共52頁例20.

求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S.解:

利用對稱性繞

x

軸旋轉(zhuǎn)星形線目錄上頁下頁返回結(jié)束第39頁/共52頁星形線星形線是內(nèi)擺線的一種.點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停大圓半徑

R＝a小圓半徑參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時,小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線)第40頁/共52頁內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限按順時針方向確定直角坐標(biāo)方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第41頁/共52頁3.已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞

x

軸:4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下ds的表達(dá)式)繞

y

軸:(柱殼法)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第42頁/共52頁思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A

及邊界長s.提示:

交點(diǎn)為弧線段部分直線段部分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束以x

為積分變量,則要分兩段積分,故以

y為積分變量.第43頁/共52頁2.試用定積分求圓繞x

軸上半圓為下求體積:提示:方法1

利用對稱性機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積

V

及表面積S.第44頁/共52頁方法2

用柱殼法說明:上式可變形為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束上半圓為下此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).第45頁/共52頁求側(cè)面積:利用對稱性機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束上式也可寫成上半圓為下它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.第46頁/共52頁作業(yè)P2792(1),(3);3;4;5(2),(3);8(2);9;10;

22;

25;27;30第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束面積及弧長部分：

體積及表面積部分：P27913;14;15(1),(4);17;18補(bǔ)充題:

設(shè)有曲線過原點(diǎn)作其切線,求由此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.第47頁/共52頁備用題解：1.

求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其它.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束又故在區(qū)域第48頁/共52頁分析曲線特點(diǎn)2.

解:與x

軸所圍面積由圖形的對稱性,也合于所求.

為何值才能使