第七篇立體幾何與空間向量專題7.01空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積【考試要求】.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)；.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；3.能用斜二測(cè)法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合)的直觀圖.【知識(shí)梳理】1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形◎ABA4 liSA￡J底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形國(guó)aa母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來畫，其規(guī)則是：（1）原圖形中％軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，%軸、y軸的夾角為45°（或135°），z'軸與％軸、y軸所在平面垂直.（2）原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于％軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖j一MWf一卻側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2nrlS圓錐側(cè)=nrlS圓臺(tái)側(cè)』G+丫2）14.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體、表面積體積柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2S底V=S底h錐體（棱錐和圓錐）S表面積S側(cè)+S底V=1Sh3底臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面積=S側(cè)+S上+S下V=j（S上+S下+小上S下）h球S=4nR24八V=于R3【微點(diǎn)提醒】.臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn).正方體的棱長(zhǎng)為。，球的半徑為H，則與其有關(guān)的切、接球常用結(jié)論如下：（1）若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=■..-3a；（2）若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；（3）若球與正方體的各棱相切，則2R=、/5a..長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b，如外接球的半徑為R,則2R=、Ja2+歷+c2..正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.【疑誤辨析】1.判斷下列結(jié)論正誤（在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”）⑴有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.（）（2）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（）⑶用斜二測(cè)畫法畫水平放置的/A時(shí)，若NA的兩邊分別平行于l軸和y軸，且NA=90°,則在直觀圖中,ZA=45°.（ ）（4）錐體的體積等于底面面積與高之積.（【教材衍化】2.（必修2P10B1改編）如圖，長(zhǎng)方體ABCD—AfB‘CD被截去一部分，其中EH〃A，D1剩下的幾何體是（ ）A.棱臺(tái) B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱3.（必修2P27練習(xí)1改編）已知圓錐的表面積等于12ncm2,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為（）A.1cm B.2cm3C.3cm D；2cm【真題體驗(yàn)】4.（2016.全國(guó)II卷）體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）32TOC\o"1-5"\h\zA.12n B.-n C.8n D.4n5.（2017.全國(guó)m卷）已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（ ）3n n nA.n B.— C.2 D.46.（2019.荷澤一中月考）用斜二測(cè)畫法畫水平放置的矩形的直觀圖，則直觀圖的面積與原矩形的面積之比為【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】（1）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3（2）給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是 .【規(guī)律方法】1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例..圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.既然棱（圓）臺(tái)是由棱（圓）錐定義的，所以在解決棱（圓）臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.【訓(xùn)練1】下列命題正確的是（）A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖【例2】已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖"‘B’C的面積為（）A且

A.A且

A.4a2B.&a2C.坐a2【規(guī)律方法】1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫法，其規(guī)則可以用“斜”（兩坐標(biāo)軸成45?；?35。）和“二測(cè)”（平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平行于l軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變）來掌握.22.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系S前貝圖二十2S序圖用直觀圖4原圖形.【訓(xùn)練2】如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45。，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（）A.2+--..'2 B.1?!2C.24_\/2 D.1+、；2考點(diǎn)三空間幾何體的表面積【例3】（1）若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2,則其全面積為.（2）圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm,它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180。，那么圓臺(tái)的表面積為（結(jié)果中保留n）.⑶如圖直平行六面體的底面為菱形，若過不相鄰兩條側(cè)棱的截面的面積分別為Q1，Q2,則它的側(cè)面積為

【規(guī)律方法】1.求解有關(guān)多面體側(cè)面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形、棱臺(tái)中的直角梯形、棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系..多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.【訓(xùn)練3】(1)圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為6n和4n的矩形，則圓柱的表面積為()A.6n(4n+3).8n(3n+1)C.6n(4n+3)或8n(3n+1)D.6n(4n+1)或8n(3n+2)(2)(必修2P36A10改編)一直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為6cm,8cm,10cm,繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為.考點(diǎn)四【例考點(diǎn)四【例4】柱為(A.1：2C.3：4(1)(必修2P27例4改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱的體積比V球：V)B.2：3D.1：3(2)(2018?天津卷)已知正方體ABCD—A1B1c1D1的棱長(zhǎng)為1,除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M(如圖)，則四棱錐M—EFGH的體積為.【規(guī)律方法】1.（直接法）規(guī)則幾何體：對(duì)于規(guī)則幾何體，直接利用公式計(jì)算即可..（割補(bǔ)法）不規(guī)則幾何體：當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，常通過分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計(jì)算.經(jīng)?？紤]將三棱錐還原為三棱柱或長(zhǎng)方體，將三棱柱還原為平行六面體，將臺(tái)體還原為錐體..（等積法）三棱錐：利用三棱錐的“等積性”可以把任一個(gè)面作為三棱錐的底面.（1）求體積時(shí)，可選擇“容易計(jì)算”的方式來計(jì)算；（2）利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”，關(guān)鍵是在面中選取三個(gè)點(diǎn)，與已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐.【訓(xùn)練4】（必修2P28A3改編）如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為.考點(diǎn)五多面體與球的切、接問題【例5】（經(jīng)典母題）（2016?全國(guó)0卷）在封閉的直三棱柱ABC—A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為丫的球.若AB±BC,TOC\o"1-5"\h\zAB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是（ ）9n 32nA.4n B.萬 C.6n D.~【遷移探究1】若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC—A1B1c1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上"，若AB=3,AC=4,AB±AC,AA1=12,求球O的表面積.【遷移探究2】若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,求該球的體積.【規(guī)律方法】1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問題.【訓(xùn)練5】（2019?北京海淀區(qū)調(diào)研）三棱錐P—ABC中，平面PAC，平面ABC,AB±AC,PA=PC=AC=2,AB=4,則三棱錐P—ABC的外接球的表面積為（）A.23n B.23n C.64n D.641n【反思與感悟】.幾何體的截面及作用⑴常見的幾種截面：①過棱柱、棱錐、棱臺(tái)的兩條相對(duì)側(cè)棱的截面；②平行于底面的截面；③旋轉(zhuǎn)體中的軸截面；④球的截面.(2)作用：利用截面研究幾何體，貫徹了空間問題平面化的思想，截面可以把幾何體的性質(zhì)、畫法及證明、計(jì)算融為一體..棱臺(tái)和圓臺(tái)是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺(tái)和圓臺(tái)的相關(guān)問題時(shí)，?！斑€臺(tái)為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想..轉(zhuǎn)化與化歸思想：計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法【易錯(cuò)防范】.求組合體的表面積時(shí)：組合體的銜接部分的面積問題易出錯(cuò)..底面是梯形的四棱柱側(cè)放時(shí)，容易和四棱臺(tái)混淆，在識(shí)別時(shí)要緊扣定義，以防出錯(cuò)【核心素養(yǎng)提升】【直觀想象與邏輯推理】一一簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球問題.直觀想象主要表現(xiàn)為利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物，解決與球有關(guān)的問題對(duì)該素養(yǎng)有較高的要求..簡(jiǎn)單幾何體外接球問題是立體幾何中的難點(diǎn)和重要的考點(diǎn)，此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心0的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵.一、知識(shí)要點(diǎn).外接球的問題⑴必備知識(shí)：①簡(jiǎn)單多面體外接球的球心的結(jié)論.結(jié)論1：正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn).結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn).結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)②構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體確定球心.③利用球心0與截面圓圓心01的連線垂直于截面圓及球心0與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心.(2)方法技巧：幾何體補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體..內(nèi)切球問題⑴必備知識(shí)：①內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等②正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.③正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合.(2)方法技巧：體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.二、突破策略.利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線探索外接球半徑【例1】已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是（）A.16n B.20n C.24n D.32n【評(píng)析】若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩個(gè)垂直，可構(gòu)造墻角模型如下圖），直接用公式(2R)2=a2+b2+c2求出R..利用長(zhǎng)方體的面對(duì)角線探索外接球半徑【例2】三棱錐中S—ABC,SA=BC=\丘SB=AC=\：5SC=AB=、.,M.則三棱錐的外接球的表面積為【評(píng)析】 三棱錐的相對(duì)棱相等，探尋球心無從著手，注意到長(zhǎng)方體的相對(duì)面的面對(duì)角線相等，可在長(zhǎng)方體中構(gòu)造三棱錐，從而巧妙探索外接球半徑..利用底面三角形與側(cè)面三角形的外心探索球心10【例3】平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1,BD=\.'2,BD±CD.將其沿對(duì)角線BD折成四面體TOC\o"1-5"\h\zAfBCD，使平面A，BD，平面BCD.若四面體A，BCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為( )A.V^n B.3n C.—n D.2n乙 J【評(píng)析】三棱錐側(cè)面與底面垂直時(shí)，可緊扣球心與底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì)，利用底面與側(cè)面的外心，巧探外接球球心，妙求半徑..利用直棱柱上下底面外接圓圓心的連線確定球心【例4】一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，，9且該六棱柱的體積為9,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為 .8【評(píng)析】 直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型如下圖其外接球球心就是上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)..錐體的內(nèi)切球問題(1)題設(shè)：如圖①，三棱錐P—ABC是正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.圖①第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心；11

第二步：求DH=1CD,PO=PH—r,PD是側(cè)面△ABP的高;第三步：由△POEs△PDH，建立等式：蘭=餐，解出r.DHPD(2)題設(shè)：如圖②，四棱錐P—ABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.圖②圖②第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，P，O，H三點(diǎn)共線;第二步：求FH=第二步：求FH=C125PO=PH—r,PF是側(cè)面△PCD的高; OGPO第三步:(3)題設(shè):由^POGs^PFH，建立等式：定=,，解出r第三步:(3)題設(shè):HFPF三棱錐P—ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑.方法：等體積法，三棱錐P—ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和;第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積;第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：％—abc=%_ABC+%—PAB+L—PAC+%—PBC0―ABC=一」1 1 1r-3S△PABr-3S△PACr-3S△PBCr3(S△ABC-S△PAB-S△PAC-S△PBC)r；一，， 3V第三步：解出r= -7一1ABe一有 SO—ABC-SO—PAB-SO—PAC-SO—PBC.柱體的內(nèi)切球問題4n.,,【例5】體積為4nl勺球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.下列說法中，正確的是()A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.若棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，則該棱柱的其他側(cè)面也是矩形12

C.正方體的所有棱長(zhǎng)都相等D.棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等.一個(gè)球的表面積是16n,那么這個(gè)球的體積為（-32B.—nC.16nD.24nA.南B.北C.西D.下C.16nD.24nA.南B.北C.西D.下B.22斛B.22斛C.36斛.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：”在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）A.14斛D.66斛.如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1cl的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為\；3D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A—B1DC1的體積為（ ）13

D.亨A.3B.|C.1D.亨A.3B.|C.1二、填空題.一水平放置的平面四邊形045。，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖OA'B‘C如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則原平面四邊形0ABC面積為.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為 ..（2019.濟(jì)南調(diào)研）祖暅（公元前5?6世紀(jì)），祖沖之之子，是我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家.他提出了一條原理:“幕勢(shì)既同，則積不容異.”這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖將底面直徑皆為2b，高皆為。的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面萬上.以平行于平面小的平面于距平面萬任意高d處可橫截得