專題17函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸解答題?？继茁窔w類【命題規(guī)律】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，同時(shí)也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其試題的難度呈逐年上升趨勢(shì)，通過對(duì)近十年的高考數(shù)學(xué)試題，分析并歸納出五大考點(diǎn)：（1）含參函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；（2）函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）不等式恒成立與存在性問題；（4）函數(shù)不等式的證明．（5）導(dǎo)數(shù)中含三角函數(shù)形式的問題其中，對(duì)于函數(shù)不等式證明中極值點(diǎn)偏移、隱零點(diǎn)問題、含三角函數(shù)形式的問題探究和不等式的放縮應(yīng)用這四類問題是目前高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的熱點(diǎn)．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論核心考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題核心考點(diǎn)三：雙變量問題核心考點(diǎn)四：證明不等式核心考點(diǎn)五：極最值問題核心考點(diǎn)六：零點(diǎn)問題核心考點(diǎn)七：不等式恒成立問題核心考點(diǎn)八：極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題核心考點(diǎn)九：利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題核心考點(diǎn)十：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題核心考點(diǎn)十一：洛必達(dá)法則核心考點(diǎn)十二：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題【真題回歸】1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．【解析】（1），故，而，曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（2）（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點(diǎn)，而，若，則恒成立，此時(shí)在上無零點(diǎn)，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無零點(diǎn)，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點(diǎn)，且時(shí)，；時(shí)，；故時(shí)，；時(shí)，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，故，所以，下證：對(duì)任意，總有，證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.當(dāng)時(shí)，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．【解析】（1）因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）因?yàn)椋?/p>

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）原不等式等價(jià)于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，所以命題得證.3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解析】（1），當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（2）（ⅰ）因?yàn)檫^有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為，故，故方程有3個(gè)不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：且，此時(shí)，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，同（ⅰ）中討論可得：故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，故且，故且，整理得到：，因?yàn)椋?，又，設(shè)，，則方程即為：即為，記則為有三個(gè)不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設(shè)，則，所以，，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【解析】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)椋瑒t令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【解析】（1）的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)?，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【方法技巧與總結(jié)】1、對(duì)稱變換主要用來解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點(diǎn)如下：（1）定函數(shù)（極值點(diǎn)為），即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0．（2）構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)，若證，則令．（3）判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．（4）比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．（5）轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．【注意】若要證明的符號(hào)問題，還需進(jìn)一步討論與x0的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)．構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中．某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用．因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效2、應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對(duì)數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題．3、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論【規(guī)律方法】1、導(dǎo)函數(shù)為含參一次型的函數(shù)單調(diào)性導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)時(shí)，首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)易于判斷，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為雩，討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．2、導(dǎo)函數(shù)為含參二次型函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)主導(dǎo)函數(shù)（決定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的函數(shù)）為二次函數(shù)時(shí)，確定原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題轉(zhuǎn)化為探究該二次函數(shù)在給定區(qū)間上根的判定問題．對(duì)于此二次函數(shù)根的判定有兩種情況：（1）若該二次函數(shù)不容易因式分解，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域；（2）若該二次函數(shù)容易因式分解，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性．3、導(dǎo)函數(shù)為含參二階求導(dǎo)型的函數(shù)單調(diào)性當(dāng)無法直接通過解不等式得到一階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)時(shí)，可對(duì)“主導(dǎo)”函數(shù)再次求導(dǎo)，使解題思路清晰．“再構(gòu)造、再求導(dǎo)”是破解函數(shù)綜合問題的強(qiáng)大武器．在此我們首先要清楚之間的聯(lián)系是如何判斷原函數(shù)單調(diào)性的．（1）二次求導(dǎo)目的：通過的符號(hào)，來判斷的單調(diào)性；（2）通過賦特殊值找到的零點(diǎn)，來判斷正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得出單調(diào)性．【典型例題】例1．（2023春·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知三次函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程，(2)討論的單調(diào)性.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，，整理可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2），若，由可得，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，可得或，所以在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，若，，在上為減函數(shù)，若，在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，綜上可得：若，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，若，，在上為減函數(shù)，若，在為減函數(shù)，在上為增函數(shù).例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，討論函數(shù)單調(diào)性；【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，求的單調(diào)區(qū)間.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，由，得或，由，得，因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，恒成立，因此在上單調(diào)遞增，若，由，得或，由，得，因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為.例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.核心考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題【規(guī)律方法】在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時(shí)，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過程中要樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，并適時(shí)地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法．可以達(dá)到減少運(yùn)算量的目的．【典型例題】例5．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：.【解析】（1），，，，，時(shí)，，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴恒成立，滿足條件.時(shí)，對(duì)于方程，其，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，，則，不滿足條件，舍去.綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）證明：由（1）可知：取時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，令，則，∴，∴，∴.例6．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍；(3)證明：當(dāng)．【解析】（1）由題，則.得，故在點(diǎn)處的切線方程為：.（2）由題，，令，則.①當(dāng)，即時(shí)，，有在上單調(diào)遞增，則，得在上單調(diào)遞增，此時(shí)，故滿足題意.②當(dāng)，即時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減，又，得在上單調(diào)遞減，此時(shí)，故不合題意.綜上可得：.（3）由（2），當(dāng)時(shí)有.注意到，則令，其中.則由可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).其中.則令，其中，得.又代換后原不等式中的等號(hào)已經(jīng)取不到（需），故有即，其中.則有故原式得證.例7．（2023春·福建寧德·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（）.(1)，求證：；(2)證明：.()【解析】（1）先證，令，此時(shí)，故，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.再證，令，，，在上單調(diào)遞增，故，即，綜合以上可得時(shí)，；（2）由（1）可知，，要證，只需證，即證，即證；，要證，即證令，則，在上單調(diào)遞增，，，所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則時(shí)，，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，而，，由于，,故，故，所以時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，也成立，所以，得證，則成立.核心考點(diǎn)三：雙變量問題【規(guī)律方法】破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．【典型例題】例8．（2023春·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若過原點(diǎn)的一條直線與曲線相切，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：①；②.【解析】（1）由可得，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，代入，解得；（2）令，得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，設(shè)，則，且，所以，從而，故，，①令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即；②令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，故，從而在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，?例9．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明:.【解析】（1）,則,顯然不是的零點(diǎn),令,則,在單調(diào)遞減,在（0,1）單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且時(shí),只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以此時(shí)有1個(gè)極值點(diǎn),時(shí),沒有實(shí)數(shù)根，故有0個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，但不是極值點(diǎn)，故此時(shí)沒有極值點(diǎn)，時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故有2個(gè)極值點(diǎn).（2）由（1）知,,且在（0,1）單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,先證:,即證:，即證:.即證:.令,即證:,令則令,則,則在單調(diào)遞減,,即在單調(diào)遞減,,證畢.再證:,,且.在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,.即證:,又,即證:.令,.令,,令,令令,,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.,,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.,,,在單調(diào)遞增,,所以原命題得證.例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）巳知函數(shù).(1)求函數(shù)f（x）的最大值;(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根證明:【解析】（1）因?yàn)?，所?令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）方程可化為.設(shè)，顯然在上是增函數(shù)，又，所以有，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.由（1）可知，則有，所以的取值范圍為.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，所以，則，要證，即證.，需證.需證.不妨設(shè)，令，則，即要證.設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，，即成立，故原式成立.核心考點(diǎn)四：證明不等式【規(guī)律方法】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題（6）同構(gòu)變形【典型例題】例11．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性(2)設(shè)為的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?，；①?dāng)時(shí)，，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得：（舍）或，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）不妨設(shè)，則，且，兩式作差整理得：，，；；要證，只需證，又，則只需證；即證；令，則，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，即，；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；，即；又，，成立.例12．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，且，證明．【解析】（1）的定義域?yàn)?∵，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題可得，若，則必有，則；若，則必有，則．∴若，則．要證，只需證，只需證，即證，又，故只需證．令．則．∵，∴，∴，且，∴，故在上單調(diào)遞增．∵，∴，∴，∴，得證.例13．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求實(shí)數(shù)m和n的值；(2)已知，是函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，且，求證：.【解析】（1）由，得.因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線方程為，所以，，則；（2）證明：由（1）可得，，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.因?yàn)椋呛瘮?shù)的圖象上兩點(diǎn)，且，不妨設(shè)，且，所以.由，得，即.設(shè)，.設(shè)，則，所以，即，故.要證，只需證，即證，即證，即證，即證，即證.令，，則，證明不等式；設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，所以成立.由上還不等式可得，當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，則，所以成立，即成立.綜上所述，.核心考點(diǎn)五：極最值問題【規(guī)律方法】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題．解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對(duì)含有參數(shù)的極最值問題，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對(duì)導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對(duì)函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作．【典型例題】例14．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在上的最值；(2)討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，，.（2）,①當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)在上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí),令,即，解得:或，令,即，解得故此時(shí)在遞增,在遞減,在遞增,所以在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，綜上所述:時(shí),無極值點(diǎn)，時(shí),有2個(gè)極值點(diǎn).例15．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中a為大于0的常數(shù)，若．(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若在取得極小值，求的最小值．【解析】（1），求導(dǎo)，由，令，得，（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)和時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)和時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，即，則，其中令，即求求導(dǎo)令，得，即當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；故在處取得極小值，即最小值所以的最小值為例16．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)的最小值為2，其中，．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)，有，求的最大值．【解析】（1）由題意知，，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故.（2）由，得，即，對(duì)于，可得不等式在R上恒成立，即在R上恒成立，設(shè)，則，若，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，符合題意；若，令，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由，得，即①；對(duì)于，可得不等式在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，若，則，不符合題意；若，令，令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由，得，即②.當(dāng)時(shí)，由①②得，，即，設(shè)，則，，故存在零點(diǎn)，故當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.綜上，的最大值為1.核心考點(diǎn)六：零點(diǎn)問題【規(guī)律方法】函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍．求解步驟：第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù)．【典型例題】例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若存在，使得成立，求的取值范圍；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）若存在，使得成立，則在時(shí)成立，故，令，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，所以，故的取值范圍為；（2）有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，所以有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則，令，則，因?yàn)椋援?dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，由題意得，故的取值范圍為．例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，已知函數(shù)，和.(1)若與有相同的最小值，求a的值；(2)設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【解析】（1），，令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則因?yàn)?，則的定義域?yàn)?，令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則依題，所以，（2）因?yàn)?，令，即，則即，則因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）可得：，解得：此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，下證在上有一個(gè)零點(diǎn)，取，則令，則所以在單調(diào)遞減，則，即，因?yàn)?，令，則，所以，令，則，令，則，所以在上遞增，所以，所以，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為例19．（2023春·廣西·高三期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；(2)若關(guān)于x的方1有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故.（2）方程即為，整理得到：，令，故，因?yàn)榫鶠樯系脑龊瘮?shù)，故為上的增函數(shù)，而，故的解為，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故有兩個(gè)不同的正數(shù)根，設(shè)，則，若，則，故在上為增函數(shù)，在上至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；若，則時(shí)，；時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由有兩個(gè)不同的零點(diǎn)可得，故.當(dāng)時(shí)，，而，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，又，設(shè)，令，，則，故在上為減函數(shù)，故，故，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上.核心考點(diǎn)七：不等式恒成立問題【規(guī)律方法】1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．【典型例題】例20．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃┮阎瘮?shù).(1)若函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立.【解析】（1），函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則.又因?yàn)榍芯€與直線平行，所以，解得.又，故切線方程為，即；（2）由在上恒成立，得在上恒成立.令，即在上恒成立，易知.①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（?。┊?dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋源嬖?，使得成立，所以，不滿足題意；（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，則，故，即存在，使得成立.所以，不滿足題意；（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，滿足題意.綜上，.例21．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)且為常數(shù)）.(1)當(dāng)，求函數(shù)的最小值；(2)若函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，設(shè)，，由，得，列表如下：減極小值增當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，做出函數(shù)與的圖像，如下圖，當(dāng)時(shí)，直線與的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，有圖可知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，所以的取值范圍是；（3）不等式對(duì)任意的恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的

恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，令，其中，則，令，其中，則，對(duì)任意的恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，故存在，使得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，則，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，由可得，故，可得，所以，故.例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以，即在上單調(diào)遞減，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，則，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，因?yàn)?，，，所以，因此函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，不等式在區(qū)間上無解；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，不等式在區(qū)間上有解．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．核心考點(diǎn)八：極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題【規(guī)律方法】1、極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往．如下圖所示．圖1極值點(diǎn)不偏移圖2極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)右偏．【典型例題】例23．（2022?浙江期中）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【解析】解：（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，．則，即；證明：（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，．不妨設(shè)，則，且，若證．即證，構(gòu)造函數(shù)，，所以，所以，，令，則，所以單調(diào)遞增，所以（1），所以，所以（1），即，，又，所以因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故原不等式得證．例24．（2021春?汕頭校級(jí)月考）已知，函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，證明：．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，則當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減．（2）法1：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即方程在有兩個(gè)不同根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖：可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為，只須，設(shè)切點(diǎn)，，所以，又，所以，解得，于是，所以，法2：由（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，，此時(shí)，需解得，從而，又故在有一個(gè)零點(diǎn)；，設(shè)，，則故在單調(diào)遞減在有一個(gè)零點(diǎn)故的取值范圍為．原不等式，不妨設(shè)，，，，，，，，令，則，于是，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得：，故函數(shù)是上的增函數(shù)，（1），即不等式成立，故所證不等式成立．例25．（2022?浙江開學(xué)）已知，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．【解析】解：，，時(shí)，，，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，，時(shí)，增區(qū)間為：；時(shí)，，，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；綜上：時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；（Ⅱ）證法一：由（1）知，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；且時(shí)，，，函數(shù)的大致圖像如下圖所示：因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，即，不妨設(shè)，則，先證：，即證：，因?yàn)?，所以，又在單調(diào)遞增，所以即證：又，所以即證：，，令函數(shù)，，則，因?yàn)?，所以，，故，函?shù)在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，，即，所以．（Ⅱ）證法二：因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則兩個(gè)零點(diǎn)必為正實(shí)數(shù)，，問題等價(jià)于有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解；令則，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，令，，則，所以在單調(diào)遞增，，又，故，，又，所以，又，所以，，又在單調(diào)遞增，所以，所以．核心考點(diǎn)九：利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題【規(guī)律方法】分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離【典型例題】例26．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程（2）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（3）若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【解析】（1），，，，在處的切線為；（2）證明：，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，（3），（4），在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．（3），且，，令，則，，由（2）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，故當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，即，在，上單調(diào)遞增，，，故整數(shù)的最大值為3．例27．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）．【解析】（1）（1）當(dāng)時(shí)，可得，則，可得，且，即函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率，所以切線方程為，即，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程．（2）由，因?yàn)樵诤愠闪?，即在恒成立，即在恒成立，令，可得，令，可得在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵诤愠闪?，所以，所以整?shù)的最大值為．例28．已知函數(shù)．（1）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；（2）若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【解析】（1）證明：∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∵，，∴在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．（2）解：∵，且，∴，令，則，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則，故當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，∴，∴，故整數(shù)的最大值為3．核心考點(diǎn)十：導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題【規(guī)律方法】1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個(gè)根（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式．<同構(gòu)小套路>①指對(duì)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍．（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解【典型例題】例29．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．【解析】（1），定義域?yàn)椋?，解得，由，解得，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）∵a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，∴，即，由（1）可知，且，時(shí)，，則令，則為的兩根，且，不妨設(shè)，則，先證，即證，即證，令，即證在上，，則，在上單調(diào)遞增，即，∴在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，，∴，即可得；再證，即證，由（1）單調(diào)性可得證，令，，在上單調(diào)遞增，∴，且當(dāng)，所以存在使得，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又有，且，所以恒成立，∴，則，即可證得．例30．（2022·河南鄭州·二模（文））已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)x>0時(shí)，證明：【解析】（1）定義域?yàn)椋瑒t，時(shí)，，在單調(diào)遞增，時(shí)，，在單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值為，無極小值（2）證明等價(jià)證明（），即．令，令，則在上單調(diào)遞增，而，故在上存在唯一零點(diǎn)，且，時(shí)，，在上單調(diào)遞減；時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，又因?yàn)榧?，所以，從而，即?1．（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)．（1）討論f（x）的單調(diào)性．（2）若a＝0，證明：對(duì)任意的x>1，都有．【解析】（1）解：由題意可得．當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：由題得，時(shí)，對(duì)任意的，都有，即，等價(jià)于，即．設(shè)，則．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．設(shè)，則．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，所以有解，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．即，即．核心考點(diǎn)十一：洛必達(dá)法則【規(guī)律方法】法則1、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．法則2、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導(dǎo)，且；（3），那么=．法則3、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達(dá)法則也成立．（2）洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)．當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則．【典型例題】例32．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），；函數(shù)在處取得極值，；又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而（或，，得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時(shí)，沒有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達(dá)法得到答案，，故答案為．例33．設(shè)函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】（1）易證． （2）由題設(shè)，此時(shí)．①當(dāng)時(shí)，若，則，不成立；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即；若，則；若，則等價(jià)于，即．記，則．記，則，．因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以．因此，所以在上單調(diào)遞增．由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，，即有，所以．綜上所述，的取值范圍是．例34．設(shè)函數(shù)．如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍．【解析】，若，則；若，則等價(jià)于，即則．記，因此，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且，故，所以在上單調(diào)遞減，而．另一方面，當(dāng)時(shí)，，因此．核心考點(diǎn)十二：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題【規(guī)律方法】分段分析法【典型例題】例35．（2023·河南鄭州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求證：在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【解析】（1），，當(dāng)時(shí)，，，，（等號(hào)不能同時(shí)成立），所以；當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，綜上，在上單調(diào)遞增．（2），化簡(jiǎn)得，①當(dāng)時(shí)，，顯然恒成立；②當(dāng)時(shí)，，顯然恒成立；③當(dāng)時(shí)，，∴．設(shè)，，設(shè)，．∵，∴，，∴，在上單調(diào)遞增，又由，所以當(dāng)時(shí)，∴，，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，∴在上單調(diào)遞增，所以，故．例36．（2023春·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（a為常數(shù)），函數(shù).(1)證明：（i）當(dāng)時(shí)，；（ii）當(dāng)時(shí)，；(2)證明：當(dāng)時(shí)，曲線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).【解析】（1）令,所以,則,所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，,即,所以；當(dāng)時(shí)，,即,所以（2）解法一:由，得，設(shè)，則.令，由上述推理可得或.①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以的零點(diǎn)有且僅有一個(gè)為0.②當(dāng)時(shí)，列表如下：00000極大值極小值首先在上無零點(diǎn)；取且從而在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，曲線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).解法二:令令①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，注意到,所以在上有唯一的零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，令或,且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.，令,,在上有唯一的零點(diǎn)，證畢!例37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：.【解析】（1）因?yàn)椋?因?yàn)?，所以在上，由，解?當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù).（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).因?yàn)?，所以，故，所以，所?設(shè)，所以在上為減函數(shù).又，則，所以，所以.【新題速遞】1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．(1)求值；(2)判斷的單調(diào)性；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集為?直接寫出的取值范圍．【解析】（1），則，，解得.，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿足.（2），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.（3），當(dāng)，易知，，故.故，滿足條件.當(dāng)時(shí)，設(shè)，故，故，即，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故，故.，即可以無限接近.綜上所述：.2．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知．(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，依題意，，成立，即，成立，而當(dāng)時(shí)，，因此，而時(shí)，不是常數(shù)函數(shù)，于是得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，，因有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，即有兩不等正根，于是得，有，，，令，，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，使得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，顯然在上單調(diào)遞增，則，因此，即有，所以.3．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【解析】（1）依題意，，切點(diǎn)在切線上，則，，而的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，，解得得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由（1）知，，由得或，當(dāng)時(shí)，或，有，，有，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，所以在上的最大值為，最小值為.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，.(1)若直線與在處的切線垂直，求的值；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：.【解析】（1）∵，∴在處的切線斜率，∵直線與切線垂直，∴，∴.（2）由題意得，，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即，在有兩個(gè)不等式的實(shí)根，，∵，，，∴，則，且，，方法一：要證，即證，則，同理可得：，則，，令，，則，，由，則，，則，則，則在上單調(diào)遞增，∴，∴，即，∴成立.方法二：要證，即證：，又，又，所以，又所以只需證明：，，令，，求導(dǎo)，，，由，則，，則，則，則在上單調(diào)遞增，∴所以，即.5．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，直線與曲線相切．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若曲線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：．【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)，，得，，所以，代入直線方程得；（2）①由（1）知，若曲線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則等價(jià)于有2個(gè)實(shí)數(shù)根，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，當(dāng)趨向于正無窮大時(shí)，趨向于0，當(dāng)趨向于負(fù)無窮大時(shí)，趨向于負(fù)無窮大，則；②，即，等價(jià)于，令，，，因?yàn)椋?，故，所以在上單調(diào)遞增，故,不妨設(shè)，故，即，由已知，所以，由①知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，所以，所以.6．（2023春·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，∴令，得；令，得∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，∴此時(shí)，②當(dāng)，令，得；令，得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)