PQPQ 如圖，四邊形ABCD是梯形，AB//CD,AB<CD，Q在形內(nèi)且滿足∠QAB=∠QDC=90°-BQC，BC,DA交于P。BABAQ 如圖，凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓Ω，AD,BC的延長(zhǎng)線交于P，QBP延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP=PQ，R,S使得CAQR,DBCS均是平行四邊形。求證：C,Q,R,S四點(diǎn)共圓DSDSPQCΩBR如圖，在等腰△ABC中，CA=CB，DAC的延長(zhǎng)線上，且AC>CD，∠BCD的角平分線交BDN，MBD的中點(diǎn)M關(guān)于⊙(AMD)的切線交BCP。求證：APMN四點(diǎn)共DCDCNMPA如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，MBC的中點(diǎn)，CDAB邊上的高，ECD延長(zhǎng)線上，且BE=MB，P在⊙(ABM)上，且滿足PB=PE，P,MBE同側(cè)。PEPEDBMC如圖，在△ABCP，且滿足∠ABP=∠ACP=45°-A/4，AL是∠BAC的角平分線，PL再次交⊙(BPC)K。PBPBLCK如圖，P是△ABC形內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P分別作BC,CA,AB的平行線，與三邊對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)是H；GD；I,F，AP再次交△ABC的外接圓于Q。DIDIEHPBFGCQ∠ALC=2∠AMC，K是△AMN的外心。AKBKBLCM如圖，在△ABC中，O是外心，BOAC交于E，COAB交于F，K是△OEF的垂心N分別BECF的中點(diǎn)。AFEOMFEOMNK是△CFP的外心，QOB上，且滿足∠EBC=∠EQC。求證：E,B,P,Q四點(diǎn)共圓OQOQPC ,B，DBD關(guān)于⊙(ABD)R。求證：P,Q,R三點(diǎn)共線ADADBQP如圖，KL,KN是⊙O的切線，MKN的延長(zhǎng)線上，⊙(KLM)再次交⊙OP，QNLM的射影PKPKOQNMCH交于P，PQ是關(guān)于BD為直徑的半圓（與線段BC相交）的切線。求證：AD,CQ的交點(diǎn)在⊙(BD)上CQPD CQPD直線分BCD，交⊙OE,F（E-D-P-F），過(guò)P垂直于SF的直線交SEK。求證：AOSK四點(diǎn)FAOPFAOPDCES如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是弧C的中點(diǎn)，Q是弧AC的中點(diǎn)，DBC上，E,F分別DF//ACQDTJQAFEQAFEDOTJP如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓ω，對(duì)角線AC,BD交于K，E,F分別在AK,DK上，EF與圓ω交于E1,F1，⊙(ADE)再次交EF于E2，⊙(BCF)再次交EF于F2。DADAEFKBC上，且CB=CE,DB=DF，BF再次交⊙O1P，BE再次交⊙O2Q。FAFAPBQCD次交BDQ，AM,CQK。求證：BMKQ四點(diǎn)AADQKPBMC如圖，在△ABC中，A1B1分別在CB,CA上，P,Q分別在AA1BB1上，且求證：P,Q,P1,Q1四點(diǎn)共圓CPQ如圖，△ABC中，EF分別在AC,AB上，O,O'分別是△ABC,△AEF的外心，P,Q分BE,CF上，且滿足BP=FQ=BF2

PE

AFOEFOEPQQ在⊙O上，且滿足∠KAQ=90°，Y滿足PAQY是平行四邊形。求證：B,C,P,Y四點(diǎn)共圓KAKAQFOPYBC再次交于M，AF再次交⊙(ABE)N。求證：AMN,C四點(diǎn)AADPMEFNBC的射影，T是△EBC的外心。AAKFEPTQBC如圖，在△ABC中，過(guò)BC兩點(diǎn)的圓分別交AC,ABEF，⊙(BBE)再次交AC⊙(C,CF)再次交ABH，EH,FG交于K。求證：K在⊙(B,BE)與⊙(C,CF)的根軸上FKFKEHGBC如圖，在等腰三角形△ABC中，AB=AC>BC，D是形內(nèi)一點(diǎn)，滿足AD=BD+CD，AB的中垂線交∠ADB的外角平分線于P，AC的中垂線交∠ADC的外角平分線于Q。求證：BC,PQ四點(diǎn)AQPDQPD上，且EB//AB'，F(xiàn)AB上，且FC//AC'。XCFXCFAE如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是形內(nèi)一點(diǎn)，D,EFPBC,CA,AB上的射影，AP,EF交于K，R在⊙O上，且滿足∠RAP=90°，AP再次交⊙(BPC)S，記過(guò)R平行BC的直線為m，過(guò)S平行于DK的直線為nm,n交于T。求證：T在⊙O AKEnFPOBDCS求證：A,P,M三點(diǎn)共線AAEPHFBDMC如圖，⊙O1與⊙O2交于P，過(guò)P的直線AB,CD,EF，S在⊙O1上，且滿足PS//BD，T⊙O2上，且PT//AC，ESBD交于M，F(xiàn)TAC交于N，Q使得SPTQ是平行四邊形。求證：M,Q,N三點(diǎn)共線ASASMEDQPFNTC如圖，以AB為直徑的半圓⊙O上有C,D兩點(diǎn)，P,Q,R分別是AC,CD,DB的中點(diǎn)，S在PAQ的直線，且滿足SA⊥AB，TRBQ的直線上，且滿足TB⊥AB。CQCQDPRT ⊙(ABP)的直徑，PY是⊙(ACP)的直徑，AP的中垂線分別交ABACU,V。求證：XV,YU,TP三線共點(diǎn)YYAXVUOPBCTABCDAB=CDEP,QACAB上，DP,DQ分別交BCS,T。EFQPEFQPBS CD的中點(diǎn)，MN分別交⊙(BED)，⊙(CEA)XY。AAMDNXEYCBC（AOOPUBYDXCKQ如圖，在△ABC中，O是外心，P在⊙(AOB)上，且滿足∠BPC=90°，QBP上，且滿AQ//PO。APOQAPOQO',H'分別是△ARC的外心和垂心。求證：OH',X三點(diǎn)共HHOB C如圖，在銳角△ABC中，OH分別是外心和垂心，KAH的中點(diǎn)，PAC上，AKHOPKHOP如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AA'BC邊上的高，X在射線AA'上，∠BAC的平分線交⊙OD，NXD的延長(zhǎng)線上，且滿足ON//AD，MXD的中點(diǎn)。AAOBCNDMXCOHOHYBCXP如圖，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，H是垂心，BH,CH分別交⊙OE,F，EF,BC交于P，OE,AC交于X，OF,ABY。AYOYOXEHBCP如圖，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，H是垂心，⊙OXY//BC，YH再次交⊙O的弦DE⊥AX，EXBCP。DDAEOHBPCXY上，且HP//EF，MBC的中點(diǎn)，AM,EFQ，AM再次交圓ΩR，PQ再次交求證：XD,KR的交點(diǎn)在⊙(AH)AXAXEQFHPBDMCΩR如圖，在銳角△ABC中，H是垂心，⊙(AHC)再次交∠BAC的角平分P，X是△ABP的外心，Y是△ACP的垂心。AXAXHCPY如圖，在銳角△ABC中，H是垂心，BFCE是高，MBC的中點(diǎn)，XEF上，滿足∠HAM=∠HMX，且A,X在直線MH的兩側(cè)。AEHEHF 滿足HD//AP,HE//BP,HF//CP，MHP的中點(diǎn)。求證：D,EFM四點(diǎn)共AΩHEM FP如圖，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，H是垂心，M是弧C的中點(diǎn)，KL分別在ABAC上，且滿足OK//MB,OL//MC，T是△AKL的外心，T'TKL的對(duì)稱點(diǎn)。AKHTAKHTLOMODCKCKDAOBQA,求證：1-1 QYPXPPQYXBA如圖，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，H是垂心，BE,CF是高，EF交⊙OP,Q，T是△HPQQAQAFEOHPBCC的直線與ABAC分別交于EF，若AE=AF。MMAEOFHBCT如圖，在銳角△ABC中，AB<AC，H是垂心，MBC的中點(diǎn)，AD是∠BAC的角平分線上，過(guò)H垂直于AMADL，過(guò)L垂直于AC的直線交ABP。AHLHLBDMC如圖，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，H是垂心，過(guò)H的直線分別交AB,ACM,再次交⊙OP，PH再次交⊙(AMN)Q。AOAONHMQBC的垂心，DE,HF交于K。AANDHKBEFC如圖，在銳角△ABC中，OH分別是外心和垂心，ADBECF是高線，PDE上，且滿CP⊥OH，QDF上，且滿足BQ⊥OH。AFAFPOEHBDCBAC⊙OF，PAF上一點(diǎn)，且PE//AI。求證：PE平分∠BPCDAAOIPEBCF如圖，等腰△ABC中，AB=AC，DAC的中點(diǎn)，∠BAC的平分線交⊙(DBC)E（E，BD求證：I是△KAB的內(nèi)心AAEDIKFBC如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，I是內(nèi)心，AI交⊙OP，K是△BIC的垂心，I'IBC的求證：AKPI'的交點(diǎn)在BCKAIO P如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，I是內(nèi)心，AI交⊙OP，I'I關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，⊙(POI)再次交⊙OX。求證：XI',P三點(diǎn)共A XP如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，I是內(nèi)心，AI交⊙OPIAIBCDOI上的射影求證：AED,P四點(diǎn)共AEAEIOBCPCOI的直線交BCX。MAIXMAIXOTI垂直于OI的直線BCX，交PTY。AIOXAIOXCYP如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，I是內(nèi)心，AI交⊙OD，E是弧D上任一點(diǎn)，F(xiàn)BC上，且滿足∠BAE=∠CAF，GIF的中點(diǎn)。求證：EI,DG的交點(diǎn)在⊙OAIOG ED如圖，在△ABC中，內(nèi)切圓⊙IBC,CAABD,EF，K是△DEF的垂心。求證：K是⊙(A,AD)，⊙(B,BE)，⊙(C,CF)的根心AAEF BDC如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，內(nèi)切圓⊙I分別切BC,CA,ABD,E,F，KDEF上的射影，AA'是⊙O的直徑。求證：KI,A'三點(diǎn)KEKEFIOBDC且滿足CE=AE',BF=AF'，I'I關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)。AFFEIH如圖，在△ABC中，內(nèi)切圓⊙IBC,CAABD,EF，AD再次交⊙IU，IU,交于X，YBCIY//AD。求證：A,X,Y三點(diǎn)共線AFXUIE FXUIENID的中點(diǎn)，過(guò)N垂直KI的直線交MLP。AMLMLIN 如圖，銳角△ABC（AB>AC）內(nèi)接于⊙O，H，I分別是垂心和內(nèi)心，AH交⊙O交⊙OL，若∠AIH=90°。AI DL如圖，△ABC（AB<AC）的內(nèi)切圓⊙IBC,CA,ABD,E,F，MBC的中點(diǎn)，PAI上（P在△ABC的內(nèi)部，且MP=MD，Q在⊙I上，且∠AQD=90°。AEFIPQ EFIPQ如圖，在△ABC中，ADBC邊上的高線，MAD的中點(diǎn)，內(nèi)切圓⊙IBCAFMIEFMIED上，且BE=CF=BC，KJ分別是△AEF的外心和內(nèi)心。求證：KJ,OI的交點(diǎn)在△ABC的外接圓上AAKJEFOIBC（L≠E，T求證：K,T,L三點(diǎn)共線AAKTOILBCETATAPIOBCDE的對(duì)稱點(diǎn)。求證：I,XYZ四點(diǎn)共ALEFZHXLEFZHXIMN如圖，在△ABC中，I是內(nèi)心，IA,IB,IC分別是A-旁心，B-旁心，C-旁心，D是IABC上的射影，E是IBCA上的射影，F(xiàn)是ICAB上的射影，記過(guò)DAI的直l，類似定義m,n。求證：lmn三線共AFAFEmlBDC如圖，在△ABC中，O,I,IA分別是外心，內(nèi)心，A-旁心，X,YAB,AC的延長(zhǎng)線上，且滿足BX=CY=BC，PIO的對(duì)稱點(diǎn)，K是IAP的中點(diǎn)。求證：K是△AXYAIOIOBCPKX如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，I是內(nèi)心，BECF分別是∠ABC,∠ACB的角平分線，⊙(AEF)再次交⊙OT，TI,BCZ。ZCAATFIEOBZCN,LAI,IP的中點(diǎn)N垂直于AI的直線與過(guò)P垂直于TL的直線交于K。AKAKNIOBMCLPAB上，且滿足AF=BR，GXY分別是△ABC,△DEF,△PQR的重心。求證：GXY的中點(diǎn)AFQERXGYFQERXGY如圖，在非等腰銳角△ABC中，O,H分別是外心和垂心，M,N分別是CA,AB的中點(diǎn)，VAC上，且滿足∠VNH=90°，UAB上，且滿足∠UMH=90°。AUVNOUVNOMH如圖，在△ABC中，N是九點(diǎn)圓圓心，PBC上，S,T分別是△ABP,△ACP的外心，J是△AST的外心，QJBC上的射影。JSJSTN 如圖，⊙O為△ABC的外接圓，H為其垂心，∠ABC的平分線交⊙OP，MPH的中點(diǎn)，過(guò)OBPBCS。PPAMHOBSC如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，G是重心，ADBC邊上的高GD交⊙OX。求證：G在⊙(AOX)與△ABC的九點(diǎn)圓的根軸上AGODAGODX如圖，在銳角△ABC中，O是外心，O'O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，E,F分別是O'AB,上的射影，TAO'的中點(diǎn)，Q是△TEF的外心。求證：O,Q,O'三點(diǎn)共線OTOTBCQFE如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，H,N分別是垂心和九點(diǎn)圓圓心，AN再次交⊙OS，過(guò)B,兩點(diǎn)關(guān)于⊙O的切線交于P。A A HSP如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，XYAC,AB上，且滿足BY=XY=CX，過(guò)A關(guān)于⊙O的切線交XYP，I是△AXY的內(nèi)心。AIYIYXOBC的切線分別交B'C'X，交BCY。A 如圖，在△ABC中，AB>AC，O是外心，∠BAC的平分線上PBC,CAAB上的射影分別為D,E,F，D'D關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)。求證：AD',OP的交點(diǎn)在BCAAFOPE 如圖，I是△ABC的內(nèi)心，P,QAB,AC的中點(diǎn)，MAI的中點(diǎn)，NM關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，H是△BIC的垂心。求證：NI,AH的交點(diǎn)在BC上AHMPQHMPQNICA-旁心，MBC的中點(diǎn)，IAM,EF交于P。求證：L,P,D三點(diǎn)共線LA F 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AN是⊙O的直徑，IJ分別是內(nèi)心和A-旁心，AI,BC交于D，JN再次交⊙OT，PAC上，且滿足∠AIP=90°。AATIPOBDCNJ如圖，在銳角△ABC中，H是垂心，BE,CF是高，MBC的中點(diǎn)P,Q在⊙(AEF)上，且滿足BP=BE,CQ=CF。PQPQEFH CA，K，點(diǎn)PAL上，CPFP分別交圓Ω于M,N，PELN交于S，PKLM交于T。MNAPMNAPSTKBCL如圖，⊙O1與⊙O2交于P,Q，并分別與⊙OS,T，過(guò)P垂直于PQ的直線交直QOK求證：PKST四點(diǎn)PKPKOTQ如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，內(nèi)切圓⊙I分別切BC,CAABDEF，AI,BI,CI分別交⊙OX,Y,Z。求證：⊙(IDX⊙(IEY⊙(IFZ)I外還有一個(gè)公共的交AAYEZFIOBDCX如圖，P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，APBPCP分別交△ABC的外接LMN，U,VW分別是△PMN,△PNL,△PLM的外心。求證：AU,BVCW三線共MAMAUNPWBCVL如圖，在△ABC的外部作矩形ABA1B2,BCB1C2,CAC1A2，定義C'使得C'A1⊥A1C2C'B2⊥B2C1，A',B'類似定義。求證：AA',BB',CC'三線共點(diǎn)ABC 如圖，在不等邊△ABC中，ADBC邊的高線，MBC的中點(diǎn)，PQ分別在AC,AB的延長(zhǎng)線上，且AC⊥MQ,AB⊥MP，⊙(PMQ)BCX。BCBCDMXPQ如圖，P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，X,Y,Z分別是弧C,A,B的中點(diǎn)。求證：P,X,Y,Z四點(diǎn)共圓AAZYXPBCXYZ的內(nèi)心；UV分別是PBCCA上的射影，P'P關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)，H是△ABC的求證：IP關(guān)于△ABC的西姆UV上AAHOYZVIBUCXP如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P在弧C上，QP關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，RP關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，QR分別交ABACE,F，XEOB上的射影，YFOC上的射影。求證：PXOY四點(diǎn)共QEQEXFOYRBCP且滿足AS//BC，PS,BCT，AT,OPX，QP關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)。求證：QXH三點(diǎn)共AASOQHXBMTCP如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，E在△ABC的形外，且滿足EA=EB,∠EAB=∠PCB，F(xiàn)在△ABC的形外，且滿足FA=FC,∠FAC=∠PBC。AFPFP AC上，且滿足AD=AE，D,H,E三點(diǎn)共線，⊙O與⊙(ADE)再次交于P。AOAOEDHBMCAI,BD交于L。AEKFIEKFIMLC如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC,BDP，ABCD交于Q，K是△QBC的外心，過(guò)A,D關(guān)于⊙O的切線交于U。AUAUKDPOBCBY在⊙O2上，以AB為直徑的圓分別交⊙O1與⊙O2P,Q，若∠AO1P+∠BO2Q=180°。試用R1,R2表示PX/QY。YYQA B如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AC,BD交于K，M,N,P,Q分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，X,Y,Z,TKAB,BC,CD,DA上的射影，MPYT交于U，NQ,XZ交于V。求證：U,K,V三點(diǎn)共線A VZ P ⊙I的切線分別交ABACXY，T是△AXY的外心。求證：T,I,O三點(diǎn)共線OIOIYTBPCXCD，NAD的中點(diǎn)，過(guò)N垂直于ON的直線交BCP。求證：PT是⊙O的切線AANODBCP 如圖，在銳角△ABC中，H是垂心，AD,BE是高線，⊙(AD)與⊙(BE)交于ST。TDTDEHABS如圖，銳角△ABC內(nèi)接于圓Ω，H是垂心，P在弧C上，E,FAC,AB上，且滿∠BPE=∠CPF=90°，PH再次交圓Ω于Q。求證：AQ是⊙(AEF)的切線AAQEFHBCPΩ如圖，在△ABC中，N是九點(diǎn)圓圓心，D,EF分別是NBC,CAAB上的射影，過(guò)D垂AAYEFN BIE，過(guò)A'平行于AC的直線交CIFA垂直AI的直線交EFK。KAAEFIOBDCCFR,∠+∠A=CC+A=∠C求證：P,Q,R三點(diǎn)共線PRQBPRQBC S如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，H是垂心，DHA的延長(zhǎng)線上，且滿足HA=AD，P,Q在⊙O上，且PQ//BC，AP,BC交于E,PO再次交⊙(BOC)F，EF再次交⊙(BOC)S。DADAPOFSHBCE如圖，⊙O1與⊙O2的外公切線k1k2交于T，k1與⊙O1相切于A，k2與⊙O2相切于BB兩點(diǎn)的圓Ω分別再次交⊙O1與⊙O2C,D，AC,BD交于X，AD,BC交于Y。求證：T,X,Y三點(diǎn)共線ΩAΩATOD1CO2BX如圖，在△ABC中，O,I分別是外心和內(nèi)心，D,E,F分別在BC,CA,AB上，且滿,FPFPIOEDCBABC⊙OD,+=C+C=BD,EF關(guān)于△ABC的密克點(diǎn)。求證：P是△XYZ的垂心XAXAFEOPBDCY如圖，在△ABC中，I是內(nèi)心，記過(guò)IAI的直線為d，E,Fd上，且滿ABE=∠ACF=90°，MN在直線BC上，且滿足ME//NF//AI。EdEdIMBCNFKBC的垂心。FTFTKEH 交于D，KDEF上的射影，TIBC上的射影。求證：K,P,T三點(diǎn)共線AFIKEP FIKEPQD是⊙O1的切線，MCD的中點(diǎn)。求證：A,M,B三點(diǎn)共線AAPQMDCB如圖，△ABC內(nèi)接于⊙OBC關(guān)于⊙O的切K，KABC交于D，MBC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MK交⊙(K,KB)Q，AQ再次交⊙(K,KB)P。AAODPBMCKQO2分別是△AIB△AIC求證：△DPQ的外心