學案8拋物線名師伴你行SANPINBOOK1.名師伴你行SANPINBOOK考點1考點2填填知學情課內考點突破規(guī)律探究考綱解讀考向預測考點3考點42.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK考綱解讀拋物線1.了解拋物線的實際背景.2.掌握拋物線的定義、標準方程、幾何圖形，以及它的簡單幾何性質.3.能利用拋物線知識解決相關問題.3.名師伴你行SANPINBOOK考向預測

從近兩年的高考試題來看，拋物線的定義、標準方程、幾何性質，以及直線與拋物線的位置關系等是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題;客觀題突出“小而巧”，主要考查拋物線的定義、標準方程，主觀題考查的較為全面，除考查定義、幾何性質外，還考查直線與拋物線的位置關系，考查基本運算能力及邏輯推理能力.預測2012年高考仍將以拋物線的定義、性質，以及直線與拋物線的位置關系為主要考點，重點考查函數(shù)與方程、轉化與化歸、數(shù)形結合思想等.返回目錄

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1.拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)距離

點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的

,直線l叫做拋物線的

.相等焦點準線名師伴你行SANPINBOOK5.返回目錄

2.拋物線的標準方程和幾何性質(如表所示)

標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)圖形性質范圍x≥0x≤0準線方程X=X=焦點()()對稱軸關于

對稱頂點（0，0）離心率e=x軸1名師伴你行SANPINBOOK6.1返回目錄

標準方程x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形性質范圍y≥0y≤0準線方程xx焦點()()對稱軸關于

對稱頂點（0，0）離心率e=y軸名師伴你行SANPINBOOK7.返回目錄

已知拋物線y2=2x的焦點是F,點P是拋物線上的動點,又有點A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值時P點的坐標.【分析】由定義知,拋物線上點P到焦點F的距離等于P到準線l的距離d,求|PA|+|PF|的問題可轉化為|PA|+d的問題.考點1拋物線的定義的應用名師伴你行SANPINBOOK8.返回目錄

【解析】將x=3代入拋物線方程y2=2x,得y=±.∵＞2,∴A在拋物線內部.如圖，設拋物線上點P到準線l:x=-的距離為d,由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d,當PA⊥l時,|PA|+d最小,最小值為,即|PA|+|PF|的最小值為,此時P點縱坐標為2,代入y2=2x,得x=2,∴點P坐標為(2,2).名師伴你行SANPINBOOK9.重視定義在解題中的應用,靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離到準線距離的等價轉化,是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK10.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，準線為l，過拋物線C上的點A作準線l的垂線，垂足為M，若△AMF與△AOF（其中O為坐標原點）的面積之比為3：1，則點A的坐標為()A.(2,2)B.(2,-2)C.(2,±)D.(2,±2)返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK11.

【解析】如圖，由題意可知，|OF|=1，由拋物線定義得|AF|=|AM|,∵△AMF與△AOF（其中O為坐標原點）的面積之比為3：1，∴|AM|=3,設A（,y0）,∴+1=3,解得y0=±2,∴=2,∴點A的坐標是(2,±2).故應選D.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK12.返回目錄

考點2拋物線的標準方程名師伴你行SANPINBOOK［2009年高考山東卷］設斜率為2的直線l過拋物線y2=ax（a≠0）的焦點F，且和y軸交于點A.若△OAF（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（）A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x13.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK【分析】畫出草圖如圖,利用條件,求參數(shù)a.【解析】圖由拋物線方程知焦點F(，0)，∴直線l為y=2(x-)，與y軸交點A(0，-).∴S△OAF=·|OA|·|OF|=·︱︱·︱︱==4.∴a2=64，a=±8.故y2=±8x.故應選B.14.返回目錄

求拋物線方程的基本方法仍然是待定系數(shù)法，需要注意的是：（1）當坐標系已建立時，應根據條件確定拋物線方程屬于四種類型的哪一種；（2）要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系；（3）要注意焦參數(shù)p的幾何意義，并利用它的幾何意義來解決問題，特別是當頂點不在原點時，更要注意利用參數(shù)p的幾何意義，以及焦點到頂點的距離和頂點到準線的距離均為來求其方程.這里易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，設定一種形式的標準方程后求解，以致失去一解.反過來，也要注意由拋物線方程讀有關信息，如參數(shù)p及頂點坐標，進而求出有關幾何性質.名師伴你行SANPINBOOK15.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK試分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程,并求對應拋物線的準線方程:(1)拋物線焦點F在x軸上，直線y=-3與拋物線交于點A，|AF|=5；(2)焦點在直線x-2y-4=0上.16.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK【解析】(1)設所求焦點在x軸上的拋物線方程為y2=2px(p≠0)，A(m,-3)，由拋物線定義得5=|AF|=︱m+︱，又(-3)2=2pm,∴p=±1或p=±9.故所求拋物線方程為y2=±2x或y2=±18x.對應的準線方程為y=或x=.17.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,即拋物線的焦點為(4,0)或(0,-2).當焦點為(4,0)時,=4,∴p=8.此時拋物線方程為y2=16x.當焦點為（0，-2）時，=2，∴p=4.此時拋物線方程為x2=-8y.故所求的拋物線方程為y2=16x或x2=-8y，對應的準線方程分別是x=-4或y=2.18.考點3拋物線性質及應用返回目錄

設拋物線y2=8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l,A為垂足，如果直線AF的斜率為-，那么|PF|=()A.4B.8C.8D.16名師伴你行SANPINBOOK19.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK【分析】由已知可求直線AF的方程,則A點坐標可求,進而求出P點坐標,|PF|可求.【解析】如圖所示,直線AF的方程為y=-(x-2),與準線方程x=-2聯(lián)立得A(-2,4).設P(x0,4),代入拋物線y2=8x,得8x0=48,∴x0=6,∴|PF|=x0+2=8.故應選B.20.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK本題考查了拋物線的幾何性質，考查運算求解能力和數(shù)形結合思想，難度適中.21.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK已知拋物線y=2px2(p>0)的焦點為F，點P（1,）在拋物線上，過P作PQ垂直拋物線的準線，垂足為Q，若拋物線的準線與對稱軸相交于點M，則四邊形PQMF的面積為

.22.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK【答案】【解析】由P（1,）在拋物線上，得p=，故拋物線的標準方程為x2=4y，點F（0，1），準線為y=-1,∴|FM|=2,|PQ|=1+=，|MQ|=1，則直角梯形PQMN的面積為×（+2）×1=.23.返回目錄

考點4拋物線的綜合應用名師伴你行SANPINBOOK［2010年高考福建卷］已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點A(1,-2).(1)求拋物線C的方程,并求其準線方程;(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點,且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.24.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK【分析】(1)易求;(2)假設存在,設出方程代入拋物線方程,由位置關系、距離公式求解.【解析】(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2,故所求的拋物線C的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.(2)假設存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t.由y=-2x+ty2=4x得y2+2y-2t=0.25.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK因為直線l與拋物線C有公共點,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.另一方面,由直線OA與l的距離d=可得,解得t=±1.因為1∈[-,+∞）,1∈[-,+∞）,所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.26.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK研究直線與拋物線位置關系,一般應用判別式;同時常常用到弦長公式、距離公式、韋達定理.27.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK已知動圓過定點P(1,0),且與定直線l:x=-1相切,點C在l上.(1)求動圓圓心的軌跡M的方程;(2)設過點P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A,B兩點;問△ABC能否為正三角形?若能,求出C點的坐標;若不能,說明理由.28.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK【解析】(1)依題意,曲線M是以點P為焦點,直線l為準線的拋物線,所以曲線M的方程為y2=4x.如圖所示.（2）由題意得，直線AB的方程為y=-(x-1),由y=-(x-1)y2=4x,得3x2-10x+3=0.解得A（）,B(3,-2).若△ABC能為正三角形，29.設C(-1,y)，則|AC|=|AB|=|BC|，即

①②組成的方程組無解，因此直線l上不存在點C使△ABC是正三角形.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK②①30.返回目錄

1.拋物線標準方程的求法(1)定義法；（2）待定系數(shù)法.拋物線的標準方程有四種類型，所以判斷類型是解題的關鍵.在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定一個拋物線的方程.焦點在x軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一寫成y2=ax（a≠0）;焦點在y軸上的拋物線的標準方程