第四節(jié)空間中的垂直關(guān)系【教材·知識(shí)梳理】

1.直線與平面垂直(1)定義：直線l與平面α內(nèi)的_____一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.任意(2)判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條_____直線垂直，則該直線與此平面垂直

性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_____

相交平行2.直線和平面所成的角定義：一條斜線和它在平面上的_____所成的___________叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.范圍是_______.射影銳角或直角3.平面與平面垂直(1)二面角：從一條直線出發(fā)的___________所組成的圖形叫做二面角；在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作_________的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(2)定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是_________，就說這兩個(gè)平面互相垂直.兩個(gè)半平面垂直于棱直二面角(3)判定定理與性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_____，則這兩個(gè)平面垂直

性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于_____的直線與另一個(gè)平面垂直

垂線交線【常用結(jié)論】1.若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.2.兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.3.三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.4.三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.【知識(shí)點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l⊥α.(

)(2)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.(

)(3)若直線a⊥平面α,直線b∥α,則直線a與b垂直. (

)(4)若α⊥β,a⊥β,則a∥α. (

)(5)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.(

)(6)如果兩個(gè)平面所成的二面角為90°,則這兩個(gè)平面垂直.(

)提示:(1)×.直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,則l⊥α.(2)√.(3)√.(4)×.若α⊥β,a⊥β,則a∥α或a?α.(5)×.若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.(6)√.【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號(hào)易錯(cuò)警示典題索引1證明線面垂直時(shí)忽視平面上的兩條直線相交考點(diǎn)一、T3考點(diǎn)三、角度12證明面面垂直時(shí)找錯(cuò)直線考點(diǎn)一、T3,43應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)忽視與交線垂直考點(diǎn)三、角度24線面角、二面角概念混淆致誤考點(diǎn)二、T1,2【教材·基礎(chǔ)自測(cè)】1.(必修2P55練習(xí)AT3改編)已知平面α,β,直線l,若α⊥β,α∩β=l,則(

)A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直線l的直線一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直線lD.垂直于直線l的平面一定與平面α,β都垂直【解析】選D.A中平面可與α平行或相交,不正確.B中直線可與α有各種線面關(guān)系,不正確.C中平面可與直線l平行或相交,不正確.2.(必修2P56習(xí)題1-2AT11改編)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則 (

)A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥n【解析】選C.由題意知,α∩β=l,所以l?β,因?yàn)閚⊥β,所以n⊥l.3.(必修2P57習(xí)題1-2BT9改編)在△ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是________.

【解析】因?yàn)椤螦BC=90°,故△ABC是直角三角形;因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,故△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形.答案:44.(必修2P57習(xí)題1-2BT8改編)在三棱錐P-ABC中,點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點(diǎn)O是△ABC的________心.

【解析】如圖,延長AO,BO,CO分別交BC,AC,AB于點(diǎn)H,D,G.因?yàn)镻C⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,所以PC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,所以PC⊥AB,因?yàn)锳B⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC?平面PGC