第二節(jié)等差數(shù)列【教材·知識(shí)梳理】1.等差數(shù)列與等差中項(xiàng)(1)定義：①文字語言：從______起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的___都等于___一個(gè)常數(shù)；②符號(hào)語言：———————(n∈N*，d為常數(shù)).

(2)等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則__叫做a，b的等差中項(xiàng).第2項(xiàng)差同a

n+1-an=dA2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式：an=_________.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn=_______________________.3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+_______(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，則__________.a1+(n-1)d(n-m)dak+al=am+an【知識(shí)點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列. (

)(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*,都有2an+1=an+.(

)(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的. (

)(4)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則數(shù)列{a3n}也是等差數(shù)列. (

)(5)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù). (

)提示:(1)×.若這些常數(shù)都相等,則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列;若這些常數(shù)不全相等,這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列.(2)√.如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列,根據(jù)定義an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若對(duì)任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,則an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根據(jù)定義知數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(3)√.當(dāng)d>0時(shí)為遞增數(shù)列;d=0時(shí)為常數(shù)列;d<0時(shí)為遞減數(shù)列.(4)√.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,公差為d,所以a3(n+1)-a3n=3d(與n值無關(guān)的常數(shù)),所以數(shù)列{a3n}也是等差數(shù)列.(5)×.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=na1+顯然只有公差d≠0時(shí)才是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù),否則不是(甚至當(dāng)a1=d=0時(shí)也不是n的一次函數(shù)).【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號(hào)易錯(cuò)警示典題索引1不能正確進(jìn)行公式轉(zhuǎn)化考點(diǎn)一、T3,52不能正確得出判斷考點(diǎn)二、T23性質(zhì)運(yùn)用不熟練考點(diǎn)三、角度1,2【教材·基礎(chǔ)自測(cè)】1.(必修5P41練習(xí)AT1改編)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a2=2,S4=14,則S6等于 (

)A.32 B.39 C.42 D.45【解析】選B.設(shè)公差為d,由題意得解得所以S6=6a1+d=39.2.(必修5P43習(xí)題2-2AT12改編)某劇場(chǎng)有20排座位,后一排比前一排多2個(gè)座位,最后一排有60個(gè)座位,則劇場(chǎng)總共的座位數(shù)為________.

【解析】設(shè)第n排的座位數(shù)為an(n∈N*),數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其公差d=2,則an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知a20=60,得60=a1+2×(20-1),解得a1=22,則劇場(chǎng)總共的座位數(shù)為=820.答案:8203.(必修5P36例2(1)改編)已知等差數(shù)列-8,-3,2,7,…,則該數(shù)列的第100項(xiàng)為________.

【解析】依題意得,該數(shù)列的首項(xiàng)為-8,公差為5,設(shè)該等差數(shù)列為{an},則a100=-8+99×5=487.答案:4874.(必修5P41練習(xí)AT3改編)已知等差數(shù)列5,4,3,…,則前n項(xiàng)和Sn=_____.

【解析】設(shè)該等差數(shù)列為{an},由題知公差d=-,所以Sn=na1+d=(75n-5n2).答案:(75n-5n2)【思想方法】函數(shù)思想在等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值求解中的應(yīng)用

【典例】(2019·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式.(2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最小值.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,則a2+10=a1+d+10=d,a3+8=a1+2d+8=2d-2,a4+6=a1+3d+6=3d-4,又因?yàn)閍2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列,所以d(3d-4)=(2d-2)2,即d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-12,n∈N*.(2)Sn==n(n-11),二次函數(shù)y=x(x-11)的對(duì)稱軸為x=5.5,所以當(dāng)n=5或6時(shí),Sn有最小值-30.

【思想方法指導(dǎo)】因?yàn)閿?shù)列是特殊的函數(shù)關(guān)系,因此常利用函數(shù)的思想解決數(shù)列中最值問題.在求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題時(shí),應(yīng)注意以下三點(diǎn):(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與函數(shù)的關(guān)系;(2)Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),(n,Sn)在二次函數(shù)y=Ax2+Bx的圖象上,為拋物線y=Ax2+Bx上一群孤立的點(diǎn);(3)注意n為正整數(shù)以及拋物線的開口方向.【遷移應(yīng)用】已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2=1，a5=-5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式an.(2)求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值.【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d變形有an=am+(n-m)d，則公差d=所以d=所以通項(xiàng)公式an=a2+(n-2)d=1+(n-