第三章邏輯代數(shù)與邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)§3.1邏輯代數(shù)及運(yùn)算規(guī)則數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱(chēng)邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個(gè)值（二值變量），即0和1，中間值沒(méi)有意義。0和1表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。例如：電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開(kāi)關(guān)的開(kāi)合等。3.1.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則加運(yùn)算規(guī)則:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘運(yùn)算規(guī)則:0?0=00?1=01?0=01?1=1非運(yùn)算規(guī)則:3.1.2邏輯代數(shù)的運(yùn)算規(guī)律一、交換律二、結(jié)合律三、分配律A+B=B+AA?B=B?AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA?(B?C)=(A?B)?CA(B+C)=A?B+A?CA+B?C=(A+B)(A+C)求證:

（分配律第2條）A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;結(jié)合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;結(jié)合律=A?1+BC;1+B+C=1=A+BC;A?1=1=左邊四、吸收規(guī)則1.原變量的吸收：A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A利用運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。例如：被吸收吸收是指吸收多余（冗余）項(xiàng)，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。長(zhǎng)中含短，留下短。2.反變量的吸收：證明：例如：被吸收長(zhǎng)中含反，去掉反。3.混合變量的吸收：證明：例如：1吸收正負(fù)相對(duì)，余全完。五、反演定理可以用列真值表的方法證明：德?摩根(De

?Morgan)定理：反演定理內(nèi)容：將函數(shù)式F中所有的?++?變量與常數(shù)均取反（求反運(yùn)算）互補(bǔ)運(yùn)算1.運(yùn)算順序：先括號(hào)再乘法后加法。2.不是一個(gè)變量上的反號(hào)不動(dòng)。注意:用處：實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。新表達(dá)式：F'顯然：(變換時(shí)，原函數(shù)運(yùn)算的先后順序不變)例1：與或式注意括號(hào)注意括號(hào)例2：與或式反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)§3.2邏輯函數(shù)的表示法四種表示方法邏輯代數(shù)式

(邏輯表示式,邏輯函數(shù)式)11&&≥1ABY邏輯電路圖:卡諾圖n個(gè)輸入變量種組合。真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對(duì)應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對(duì)應(yīng)列出的表格。邏輯表達(dá)式邏輯圖真值表卡諾圖將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)地列出。n個(gè)變量可以有2n個(gè)輸入狀態(tài)。3.2.1真值表列真值表的方法：一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。例如：3.2.2邏輯函數(shù)式邏輯代數(shù)式：把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫(xiě)成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式。也稱(chēng)為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。例：下面介紹兩個(gè)重要概念——最小項(xiàng)和邏輯相鄰。1.最小項(xiàng)——n個(gè)變量的最小項(xiàng)就是n個(gè)變量的乘積x1x2…xnx1′x2′…xn′xi′代表，

xi

xi

每個(gè)與項(xiàng)中，每個(gè)變量或以原變量或以反變量形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次以三變量的邏輯函數(shù)為例：變量賦值為1時(shí)用該變量表示；變量賦值為0時(shí)用該變量的反來(lái)表示?？梢?jiàn)輸入變量的八種狀態(tài)分別唯一地對(duì)應(yīng)著八個(gè)最小項(xiàng)。(1)若表達(dá)式中的乘積包含了所有變量的原變量或反變量，則這一項(xiàng)稱(chēng)為最小項(xiàng)。最小項(xiàng)的特點(diǎn)：(2)當(dāng)輸入變量的賦值使某一個(gè)最小項(xiàng)等于1時(shí)，其他的最小項(xiàng)均等于0。之所以稱(chēng)之為最小項(xiàng)，是因?yàn)樵擁?xiàng)已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。例如：對(duì)于三變量的邏輯函數(shù)，如果某一項(xiàng)的變量數(shù)少于3個(gè)，則該項(xiàng)可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等于3個(gè)，則該項(xiàng)不能繼續(xù)分解。根據(jù)最小項(xiàng)的特點(diǎn)，從真值表可直接用最小項(xiàng)寫(xiě)出邏輯函數(shù)式。例如：由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫(xiě)出其邏輯函數(shù)式：驗(yàn)證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿(mǎn)足真值表中所列出的對(duì)應(yīng)的輸出狀態(tài)。邏輯相鄰：若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量以原、反區(qū)別，其他變量均相同，則稱(chēng)這兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰。邏輯相鄰邏輯相鄰的項(xiàng)可以合并，消去一個(gè)因子3.2.3卡諾圖卡諾圖的構(gòu)成：將n個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項(xiàng)放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變量的卡諾圖。下面舉例說(shuō)明卡諾圖的畫(huà)法。最小項(xiàng)：輸入變量的每一種組合。ABY001011101110AB01010111輸出變量Y的值輸入變量例1：二輸入變量卡諾圖卡諾圖的每一個(gè)方塊（最小項(xiàng)）代表一種輸入組合，并且把對(duì)應(yīng)的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。邏輯相鄰：相鄰單元輸入變量的取值只能有一位不同。0100011110

ABC00000111輸入變量輸出變量Y的值A(chǔ)BCY00000010010001101000101111011111例2：三輸入變量卡諾圖注意：00與10邏輯相鄰。ABCD0001111000011110四變量卡諾圖編號(hào)為0010單元對(duì)應(yīng)于最小項(xiàng)：ABCD=0100時(shí)函數(shù)取值函數(shù)取0、1均可，稱(chēng)為無(wú)所謂狀態(tài)。只有一項(xiàng)不同例3：四輸入變量卡諾圖有時(shí)為了方便，用二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制表示單元格的編號(hào)。單元格的值用函數(shù)式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7單元取1，其它取0

ABC編號(hào)

00000011010201131004101511061117ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號(hào):F=f(ABCDE)20212322181917162829313026272524121315141011984576231000000101101011011110110000011110ABCDE五變量卡諾圖單元格的編號(hào):卡諾圖的最大優(yōu)點(diǎn)：形象地表達(dá)了變量各最小項(xiàng)之間在邏輯上的相鄰性。圖中任何幾何位置相鄰的最小項(xiàng)，在邏輯上都具有相鄰性?？ㄖZ圖的缺點(diǎn)：隨著變量的增加，圖形迅速?gòu)?fù)雜化，所以只適用于少于5～6變量的邏輯函數(shù)。3.2.4邏輯圖把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連線(xiàn)表示出來(lái)，就構(gòu)成了邏輯圖。&AB&CD1FF=AB+CD3.2.5邏輯函數(shù)四種表示方式的相互轉(zhuǎn)換一、邏輯電路圖邏輯代數(shù)式BABY=AB+ABABA1&AB&1≥1

二、真值表卡諾圖ABY001011101110二變量卡諾圖真值表AB10101110三、真值表、卡諾圖邏輯代數(shù)式方法：將真值表或卡諾圖中為1的項(xiàng)相加，寫(xiě)成“與或式”。

真值表

ABY001011101110AB01010111AB此邏輯代數(shù)式并非是最簡(jiǎn)單的形式，實(shí)際上此真值表是與非門(mén)的真值表，其邏輯代數(shù)式為Y=AB因此，有一個(gè)化簡(jiǎn)問(wèn)題。ABAB§3.3邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或式乘積項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)最少。每個(gè)乘積項(xiàng)中變量個(gè)數(shù)最少。化簡(jiǎn)方法代數(shù)法卡諾圖法列表法目的：①降低成本

②提高可靠性3.3.1利用邏輯代數(shù)的基本公式例1：反變量吸收提出AB=1提出A例2：反演配項(xiàng)被吸收被吸收結(jié)論：異或門(mén)可以用4個(gè)與非門(mén)實(shí)現(xiàn)。例3:

證明;AB=A+B;展開(kāi)異或門(mén)可以用4個(gè)與非門(mén)實(shí)現(xiàn)：&&&&ABY例4：化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式例5：將Y化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式。;利用反演定理;利用公式A+AB=A+B；A=A歸納：

優(yōu)點(diǎn)是——不受變量數(shù)目的約束；當(dāng)對(duì)公理、定理和規(guī)則十分熟練時(shí)，化簡(jiǎn)比較方便。缺點(diǎn)是——沒(méi)有一定的規(guī)律和步驟，技巧性很強(qiáng)，適合變量個(gè)數(shù)較少的情況，而且在很多情況下難以判斷化簡(jiǎn)結(jié)果是否最簡(jiǎn)。代數(shù)化簡(jiǎn)法

函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式與其卡諾圖一一對(duì)應(yīng)例：F(A,B,C)=ABC+ABC010001000001111001ABC3.3.2利用卡諾圖化簡(jiǎn)

從卡諾圖讀出與或式第①步：畫(huà)圈1.將相鄰為1的小方格畫(huà)圈，包括的小方格的個(gè)數(shù)為2m,

m=0,1,2…2.圈越大越好3.小方格可以重復(fù)使用相鄰的概念——緊靠在一起的、行列首尾的、對(duì)稱(chēng)的111001000001111001ABC1001000000001001

0001111000011110ABCD0110000000000110

0001111000011110ABCDABC0001111001該方框中邏輯函數(shù)的取值與變量A無(wú)關(guān)，當(dāng)B=1、C=1時(shí)取“1”。第②步：每個(gè)圈是一個(gè)與項(xiàng)向左看向上看變量不同——消去變量相同1——原變量0——反變量1001000000001001

0001111000011110ABCD0110000000000110

0001111000011110ABCD第③步：將所有的與項(xiàng)相加1101110000111011

0001111000011110ABCDF=AC+AC+BDABC0001111001ABBCF=AB+BC卡諾圖適用于輸入變量為3、4個(gè)的邏輯代數(shù)式的化簡(jiǎn)；化簡(jiǎn)過(guò)程比公式法簡(jiǎn)單直觀。利用卡諾圖化簡(jiǎn)的規(guī)則1.相鄰單元的個(gè)數(shù)是2n個(gè)，并組成矩形時(shí)，可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD00011110000111104.每一個(gè)組合中的公因子構(gòu)成一個(gè)“與”項(xiàng)，然后將所有“與”項(xiàng)相加，得最簡(jiǎn)“與或”表示式。2.先找面積盡量大的組合進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用吸收規(guī)則，2n個(gè)相鄰單元合并，可吸收掉n個(gè)變量。3.各最小項(xiàng)可以重復(fù)使用。但每一次新的組合，至少包含一個(gè)未使用過(guò)的項(xiàng)