《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)》同步練習一、選擇題1．一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩袋子里各取一個球，不同取法的種數(shù)為()A．182 B．14C．48 D．91[答案]C[解析]由分步乘法計數(shù)原理得不同取法的種數(shù)為6×8＝48，故選C.2．(2012·長沙檢測)從甲地到乙地一天有汽車8班，火車3班，輪船2班，某人從甲地到乙地，他共有不同的走法數(shù)為()A．13種 B．16種C．24種 D．48種[答案]A[解析]應用分類加法計數(shù)原理，不同走法數(shù)為8＋3＋2＝13(種)．故選A.3．(2014·新課標Ⅰ理，5)4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為()A．eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)[答案]D[解析]四位同學各自在周六、周日兩天中選擇一天參加公益活動的情況有24＝16種方式，其中僅在周六或周日參加的各有一種，故所求概率P＝1－eq\f(1＋1,16)＝eq\f(7,8).4．某乒乓球隊里有男隊員6人，女隊員5人，從中選取男、女隊員各一人組成混合雙打隊，不同的組隊總數(shù)有()A．11 B．30C．56 D．65[答案]B[解析]先選1男有6種方法，再選1女有5種方法，故共有6×5＝30種不同的組隊方法．5．有四位老師在同一年級的4個班級中，各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學考試時，要求每位老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是()A．8種 B．9種C．10種 D．11種[答案]B[解析]設(shè)四個班級分別是A、B、C、D，它們的老師分別是a、b、c、d，并設(shè)a監(jiān)考的是B，則剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當a監(jiān)考C、D時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級也各有3種不同的方法．這樣，由分類加法計數(shù)原理知共有3＋3＋3＝9(種)不同的安排方法．另外，本題還可讓a先選，可從B、C、D中選一個，即有3種選法．若選的是B，則b從剩下的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，這樣用分步乘法計數(shù)原理求解，共有3×3×1×1＝9(種)不同的安排方法．6．某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個號碼，公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為()A．2000 B．4096C．5904 D．8320[答案]C[解析]可從反面考慮，卡號后四位數(shù)不帶“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4096個，所以符合題意的共有5904個．二、填空題7．已知直線方程Ax＋By＝0，若從0、1、2、3、5、7這6個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為A、B的值，則可表示不同的直線________條．[答案]22[解析]當A或B中有一個為零時，則可表示出2條不同的直線；當AB≠0時，A有5種選法，B有4種選法，則可表示出5×4＝20條不同的直線．由分類加法計數(shù)原理知，共可表示出20＋2＝22條不同的直線．8．三邊均為整數(shù)且最大邊長為11的三角形有________個．[答案]36[解析]另兩邊長用x、y表示，且不妨設(shè)1≤x≤y≤11.要構(gòu)成三角形，需x＋y≥12.當y＝11時，x∈{1,2，…，11}，有11個三角形；當y＝10時，x∈{2,3，…，10}，有9個三角形……當y＝6時，x＝6，有1個三角形．所以滿足條件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(個)．9．5名乒乓球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員．現(xiàn)從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員，且1、2號中至少有1名新隊員的排法有________種．(用數(shù)字作答)[答案]48[解析]本題可分為兩類完成：兩老一新時，有3×2×2＝12(種)排法；兩新一老時，有2×3×3×2＝36(種)排法，即共有48種排法．三、解答題10．有不同的紅球8個，不同的白球7個．(1)從中任意取出一個球，有多少種不同的取法？(2)從中任意取出兩個不同顏色的球，有多少種不同的取法？[解析](1)由分類加法計數(shù)原理得，從中任取一個球共有8＋7＝15種；(2)由分步乘法計數(shù)原理得，從中任取兩個球共有8×7＝56種．一、選擇題11．如下圖所示，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的線段表示它們有網(wǎng)線相連．連線標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以從分開不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為()A．26 B．24C．20 D．19[答案]D[解析]因信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由分類計數(shù)原理，完成從A向B傳遞有四種方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為四條不同網(wǎng)線上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故選D.12．定義集合A與B的運算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，則集合A*B的元素個數(shù)為()A．34 B．43C．12 D．24[答案]C[解析]顯然(a，a)、(a，c)等均為A*B中的元素，確定A*B中的元素是A中取一個元素來確定x，B中取一個元素來確定y，由分步計數(shù)原理可知A*B中有3×4＝12個元素．故選C.13．(2014·長安一中質(zhì)檢、北京西城模擬)用0、1、…、9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279[答案]B[解析]用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成的三位數(shù)的個數(shù)為9×10×10＝900，其中三位數(shù)字全不相同的為9×9×8＝648，所以可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900－648＝252.14．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展開后的項數(shù)為()A．9 B．12C．18 D．24[答案]B[解析]每個括號內(nèi)各取一項相乘才能得到展開式中的一項，由分步乘法計數(shù)原理得，完全展開后的項數(shù)為2×2×3＝12.二、填空題15．一個科技小組中有4名女同學，5名男同學，從中任選一名同學參加學科競賽，共有不同的選派方法________種；若從中任選一名女同學和一名男同學參加學科競賽，共有不同的選派方法________種．[答案]920[解析]由分類加法計數(shù)原理得從中任選一名同學參加學科競賽共5＋4＝9種，由分步乘法計數(shù)原理得從中任選一名女同學和一名男同學參加學科競賽共5×4＝20種．16．圓周上有2n個等分點(n大于2)，任取3點可得一個三角形，恰為直角三角形的個數(shù)為________．[答案]2n(n－1)[解析]先在圓周上找一點，因為有2n個等分點，所以應有n條直徑，不過該點的直徑應有n－1條，這n－1條直徑都可以與該點形成直角三角形，一個點可以形成以該點為直角頂點的n－1個直角三角形，而這樣的點有2n個，所以一共有2n(n－1)個符合題意的直角三角形．三、解答題17．若x、y∈N*，且x＋y≤6，試求有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)．[分析]由題目可獲取以下主要信息：(1)由x、y∈N*且x＋y≤6，知x、y的取值均不超過6；(2)(x，y)是有序數(shù)對．解答本題可按x(或y)的取值分類解決．[解析]按x的取值進行分類：x＝1時，y＝1,2，…，5，共構(gòu)成5個有序自然數(shù)對；x＝2時，y＝1,2，…，4，共構(gòu)成4個有序自然數(shù)對；…x＝5時，y＝1，共構(gòu)成1個有序自然數(shù)對．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15個有序自然數(shù)對．[點評]本題是分類加法計數(shù)原理的實際應用，首先考慮x、y的取值均為正整數(shù)，且其和不能超過6，同時注意(x，y)是有序數(shù)對，如(1,2)與(2,1)是不同的數(shù)對，故可按x或y的取值進行分類解決．計數(shù)的關(guān)鍵是抓住完成一件事是分類還是分步，一個類別內(nèi)又要分成幾個步驟．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai、bj(i＝1、2、3、4，j＝1、2)均為實數(shù)．(1)從集合A到集合B能構(gòu)成多少個不同的映射？(2)能構(gòu)成多少個以集合A為定義域，集合B為值域的不同函數(shù)？[解