實(shí)用文案激活思維專(zhuān)題系列之尖子生培養(yǎng)學(xué)案函數(shù)奇偶性單調(diào)性經(jīng)典題型專(zhuān)題.知識(shí)總結(jié)函數(shù)的奇偶性（首先定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）(1) 為奇函數(shù); 為偶函數(shù);(2)奇函數(shù) 在原點(diǎn)有定義(3)任一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù) 一定可以表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)之和即 （奇） （偶）.函數(shù)的單調(diào)性(注:①先確定定義域;②單調(diào)性證明一定要用定義)(1)定義:區(qū)間 上任意兩個(gè)值 ,若 時(shí)有 ,稱(chēng)為 上增函數(shù),若 時(shí)有 ,稱(chēng) 為 上減函數(shù).奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相反.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:①定義法,即標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案比差法;②圖象法;③單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)（實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì)）;④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則.周期性:周期性主要運(yùn)用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中,是化歸思想的重要手段.求周期的重要方法:①定義法;②公式法;③圖象法;④利用重要結(jié)論:若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a ≠b,則T=2|a-b|.二.例題精講【例1】已知定義域?yàn)?的函數(shù) 是奇函數(shù).(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)若對(duì)任意的 ,不等式 恒成立,求 的取值范圍.解析：（Ⅰ）因?yàn)?是奇函數(shù)，所以 =0，即標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案又由f（1）=-f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．又由題設(shè)條件得：，即 ： ，整理得上式對(duì)一切 均成立，從而判別式【例2】設(shè)函數(shù) 在 處取得極值－2,試用表示 和 ,并求 的單調(diào)區(qū)間.解：依題意有 而故 解得從而 。令 ，得 或 。標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案由于 在 處取得極值，故 ，即 。（1）若，即，則當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而 的單調(diào)增區(qū)間為 ；單調(diào)減區(qū)間為若 ，即 ，同上可得，的單調(diào)增區(qū)間為 ；單調(diào)減區(qū)間為【例 3】(理)設(shè)函數(shù) ,若對(duì)所有的 ,都有成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.(文)討論函數(shù) 的單調(diào)性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，對(duì)函數(shù)g(x)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又g(0)＝0，所以對(duì)x≥0，都有g(shù)(x)≥g(0)，即當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g在(0，ea－1－1)是減函數(shù)，又g(0)＝0，所以對(duì)0＜x＜ea－1－1，都有g(shù)(x)＜g(0)，即當(dāng)a＞1時(shí)，不是對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．綜上，a的取值范圍是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即為g(x)≥g(0)成立．對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，當(dāng)x＞ea－1－1時(shí)，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)－1＜x＜ea1－1，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，所以要對(duì)所有x≥0都有g(shù)(x)≥g(0)充要條件為ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范圍是（－∞，1]．標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案（文）解：設(shè) ，則∵∴ ， ， ，當(dāng) 時(shí)， ，則 為增函數(shù)當(dāng) 時(shí)， ，則 為減函數(shù)當(dāng) 時(shí)， 為常量，無(wú)單調(diào)性【例4】(理)已知函數(shù) ,其中 為常數(shù).(Ⅰ)若 ,討論函數(shù) 的單調(diào)性;(Ⅱ)若 ,且 =4,試證: .(文)已知 為定義在 上的奇函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，求 的表達(dá)式.（理）標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案（文）解：∵ 為奇函數(shù)， ∴當(dāng) 時(shí)，∵ 為奇函數(shù) ∴∴∴三.鞏固練習(xí)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案1.已知 是 上的減函數(shù),那么 的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知 是周期為 2 的奇函數(shù),當(dāng) 時(shí), ,設(shè)則()A. B. C. D.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()A .B. C. D.4.若不等式 對(duì)于一切 ?(0, )成立,則 的取值范圍是()A.0 B.–2 C.- D.-3標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案設(shè)是上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是()A. 是奇函數(shù) B. 是奇函數(shù)C. 是偶函數(shù) D. 是偶函數(shù)6.已知定義在 上的奇函數(shù) 滿(mǎn)足 ,則 的值為()A.－1B.0C.1D.27.已知函數(shù) 的圖象與函數(shù) （ 且 ）的圖象關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng),記 .若 在區(qū)間 上是增函數(shù),則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )A. B. C. D.8.(理)如果函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù),那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.9.對(duì)于 上可導(dǎo)的任意函數(shù) ,若滿(mǎn)足 ,則必有( )A. B. C.D.10.已知 ,則( )A. B. C. D.11.已知函數(shù) ,若 為奇函數(shù),則 .12.已知函數(shù) 是定義在 上的偶函數(shù).當(dāng)時(shí), ,則當(dāng) 時(shí), .13.是定義在上的以3為周期的偶函數(shù),且,則方程=0在區(qū)間（0,6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是()A.5 B.4 C.3 D.2標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案14.下列函數(shù)既是奇函數(shù),又在區(qū)間 上單調(diào)遞減的是( )A. B. C. D.15.若函數(shù) ,則該函數(shù)在 上是( )A.單調(diào)遞減無(wú)最小值 B.單調(diào)遞減有最小值C.單調(diào)遞增無(wú)最大值 D.單調(diào)遞增有最大值16.若函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增,則 的取值范圍是( )A. B. C. D.17.設(shè) 是定義在 上的奇函數(shù) ,且 的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),則 ______.標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案18.設(shè)函數(shù) 在 上滿(mǎn)足 ,,且在閉區(qū)間［0，7］上,只有 .(Ⅰ)試判斷函數(shù) 的奇偶性;(Ⅱ)試求方程 =0 在閉區(qū)間［-2005,2005 ］上的根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.(理)已知,函數(shù)(1)當(dāng) 為何值時(shí), 取得最小值？證明你的結(jié)論 ;(2)設(shè) 在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù),求 的取值范圍.(文)已知 為偶函數(shù)且定義域?yàn)?, 的圖象與 的圖象關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng),當(dāng) 時(shí), , 為實(shí)常數(shù),且.(1)求 的解析式;(2)求 的單調(diào)區(qū)間;(3)若 的最大值為12,求 .20.已知函數(shù) 的圖象過(guò)點(diǎn) （0,2）,且在點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案處的切線(xiàn)方程為 .(1)求函數(shù) 的解析式;(2)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.21.已知向量 若函數(shù) 在區(qū)間（－1,1）上是增函數(shù),求的取值范圍.22. (理)已知函數(shù) , , .若 ,且存在單調(diào)遞減區(qū)間,求 的取值范圍.( 文 ) 已 知 函 數(shù)在區(qū)間 上是減函數(shù),且在區(qū)間 上是增函數(shù),求實(shí)數(shù) 的值.鞏固練習(xí)參考答案1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D8.B9.C10.A11.a=12.-x-x413.B14.D15.A16.B17.018.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x) 得函數(shù) 的對(duì)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案軸為 ,從而知函數(shù) 不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù) 的周期為 又 ,故函數(shù) 是非奇非偶函數(shù);由又故f(x) 在[0,10] 和[-10,0] 上均有有兩個(gè)解 ,從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個(gè)解,在[-2005.0]上有400個(gè)解,所以函數(shù) 在[-2005,2005] 上有802個(gè)解.19.(理)解：（I）對(duì)函數(shù) 求導(dǎo)數(shù)得標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案令 得［ +2(1－ ) －2 ］ =0從而 +2(1－ ) －2 =0解得當(dāng) 變化時(shí)， 、 的變化如下表+ 0 － 0 +遞增 極大值 遞減 極小值 遞增∴ 在 = 處取得極大值，在 = 處取得極小值。當(dāng) ≥0時(shí)， <－1, 在 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù),而當(dāng) 時(shí) = ，當(dāng)x=0時(shí)， .所以當(dāng) 時(shí)， 取得最小值（II）當(dāng) ≥0時(shí)， 在 上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是 ，即 ，解得 ，標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案于是 在[-1，1]上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是 ，即 的取值范圍是(文)解:(1) 先求 在 上的解析式設(shè) 是 上的一點(diǎn),則點(diǎn) 關(guān)于 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 且所以 得 .再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì), 求當(dāng) 上的解析式為所以(2) 當(dāng) 時(shí),因 時(shí),所以標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案因 ,所以 ,所以 而 .所以 在 上為減函數(shù).當(dāng) 時(shí), 因 ,所以因 所以 ,所以 ,即所以 在 上為增函數(shù)(3) 由(2)知 在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù),又因 為偶函數(shù),所以所以 在 上的最大值由 得 .20.解：（Ⅰ）由 的圖象經(jīng)過(guò)P（0，2），知d=2，所以標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案由在 處的切線(xiàn)方程是，知故所求的解析式是（Ⅱ）解得當(dāng)當(dāng)故 內(nèi)是增函數(shù)，在 內(nèi)是減函數(shù)，在 內(nèi)是增函數(shù).解法1：依定義標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，故要使 在區(qū)間（－1，1）上恒成立.解法2：依定義的圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，22.(理)解： ，標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案則 因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以 <0有解.又因?yàn)閤>0時(shí)，則ax2+2x－1>0有x>的解.①當(dāng)a>0時(shí)，y