第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應理工學院9.1引言9.1.1數(shù)字系統(tǒng)與有限字長效應

前面的內(nèi)容，都只是涉及信號在時間上是離散的這一特征，并沒有涉及數(shù)值上離散的特征。而對于真正的數(shù)字信號的處理，只需要在前面所討論的離散時間信號處理的原理和方法的基礎上，加入字長效應的影響。實際實現(xiàn)一個離散系統(tǒng)時，無論是軟件還是硬件方式，都是以數(shù)字形式實現(xiàn)的，都要對數(shù)據(jù)進行量化處理（即用有限字長來表示），量化后的數(shù)據(jù)是有限精度的。把一個離散系統(tǒng)的數(shù)據(jù)認為事無限精度的系統(tǒng)稱作取樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)；若離散系統(tǒng)的數(shù)據(jù)是有限字長，則此系統(tǒng)就是數(shù)字系統(tǒng)?！诰耪聰?shù)字信號處理中的有限字長效應——

對于一個數(shù)字系統(tǒng)，由于本應為無限精度的數(shù)據(jù)變?yōu)橛邢拮珠L來進行處理，因此肯定會對系統(tǒng)的特性產(chǎn)生一定影響，這就是有限字長效應問題。這個問題本來是數(shù)字信號處理中的一個重要問題，但是，隨著計算機和微處理器技術的飛速發(fā)展，運算速度和運算精度都在不斷提高，使得有限字長效應的重要性已逐漸降低。不過，在數(shù)字信號處理的一些實際應用中，這個問題還是存在的，因此，有必要了解它的影響以及降低影響的一些方法?！诰耪聰?shù)字信號處理中的有限字長效應——9.1.2關于數(shù)的表示進行數(shù)字信號處理時，數(shù)的表示有定點制和浮點制兩種。浮點制運算比定點制運算的動態(tài)范圍大，處理精度高，但實現(xiàn)較復雜而且運算速度較慢，因而常用于計算機上的軟件實現(xiàn)，進行非實時處理。在實時處理中定點制運算得到廣泛應用，因為它運算速度較快而且硬件實現(xiàn)較經(jīng)濟，但是由于定點運算的動態(tài)范圍和處理精度受限制較大，因而有限字長效應問題比較突出。本章主要討論定點制算法的有限字長效應?！诰耪聰?shù)字信號處理中的有限字長效應——定點表示法所謂定點表示法，是指在計算機中所有數(shù)的小數(shù)點的位置人為約定固定不變。這樣，小數(shù)點的位置就不必用記號“．”表示出來了。一般地說，小數(shù)點可約定固定在任何數(shù)位之后，但常用下列兩種形式：

顯然，定點數(shù)表示法使計算機只能處理純整數(shù)或純小數(shù)，限制了計算機處理數(shù)據(jù)的范圍。為了使得計算機能夠處理任意數(shù)，我們事先要將參加運算的數(shù)乘上一個"比例因子"，轉(zhuǎn)化成純小數(shù)或純整數(shù)后進行運算。運算結果比例因子還原成實際數(shù)值。比例因子要取得合適，使參加運算的數(shù)、運算的中間結果以及最后結果都在該定點數(shù)所能表示的數(shù)值范圍之內(nèi)?！诰耪聰?shù)字信號處理中的有限字長效應——（2）浮點表示法

在浮點表示法中，小數(shù)點的位置是浮動的。為了使小數(shù)點可以自由浮動，浮點數(shù)由兩部分組成，即尾數(shù)部分與階數(shù)部分。其中，尾數(shù)部分表示該浮點數(shù)的全部有效數(shù)字，它是一個有符號位的純小數(shù)；階數(shù)部分指明了浮點數(shù)實際小數(shù)點的位置與尾數(shù)（定點純小數(shù)）約定的小數(shù)點位置之間的位移量P。該位移量P（階數(shù)）是一個有符號位的純小數(shù)。

當階數(shù)當為+P時，則表示小數(shù)點向右移動P位；當階數(shù)為－P時，則表示小數(shù)點和左移動P位。因此，浮點數(shù)的小數(shù)點隨著P的符號和大小而自由浮動。

從上述可知，一個浮點數(shù)是由兩個定點數(shù)組合而成的。而一個定點也可以看成是浮點數(shù)的一個特例。即當浮點數(shù)的階數(shù)部分為零時（表示訪數(shù)實際小數(shù)點的位置與定點小數(shù)約定位置一致），這樣，浮點數(shù)只剩下尾數(shù)部分了。同理，定點數(shù)表示法是浮點數(shù)表示法的基礎，而浮點數(shù)表示法是定點數(shù)表示法的應用——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——9.1.3量化誤差數(shù)的定點表示：設寄存器長L+1位，則除了一位符號位外，可表示的最小數(shù)為q=2-L，這個值稱為量化間距。若要處理的數(shù)有M+1位（含符號位），且M>L，則這個數(shù)要存儲于寄存器中就必須被量化。有兩種量化方法：截尾和舍入。截尾就是將寄存器容納不下的低位數(shù)截斷；舍入是在數(shù)據(jù)的L+1位上加1，然后截斷為L位。可見，在定點制中可表示的數(shù)的位數(shù)由寄存器的長度決定。當數(shù)x被量化時，就引入誤差e，有： (9.1)

其中Q[x]為x的量化值，即經(jīng)截尾或者舍入后的值。——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——由圖9.1可知，定點制截尾處理的量化誤差et的范圍為：補碼：-q<et≤0

原碼、反碼：當x>0時，-q<et≤0

當x<0時，0≤et<q圖9.1定點制截尾處理的量化特性——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——由圖9.2可知定點制舍入處理的量化誤差er的范圍為：

-q/2<er≤q/2圖9.2定點制舍入處理的量化特性——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——9.2A/D變換的字長效應所謂A/D變換即由模擬到數(shù)字的變換，一般可分為兩步，即抽樣與量化編碼。抽樣數(shù)據(jù)信號x(n)=xa(nTs)的每個抽樣值的精度是無限的，經(jīng)過量化編碼之后，成為有限精度的數(shù)字信號。9.2.1量化效應的統(tǒng)計分析

A/D變換的結果一般都用定點制補碼來表示。量化方法無論采取截尾還是舍入，其誤差都可以表示為：e=Q[x]-x。因此，量化后的抽樣值可以表示為：

x^(n)=Q[x(n)]=x(n)+e(n)（9.2）返回——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——圖9.3A/D變換的模型為了對此模型進行統(tǒng)計分析，要對量化誤差序列e(n)作如下假設：1)e(n)是一個平穩(wěn)隨機序列；2)e(n)與信號x(n)不相關；3)e(n)本身樣值間不相關，即為白噪聲過程；4)e(n)具有等概率密度分布（在一定的量化間距上）。我們將e(n)作為量化噪聲，它是白噪聲，量化后的信號可以等效為無限精度信號與一噪聲相疊加。量化噪聲的均值和方差：舍入時：均值補碼截尾時：均值

定義:白噪聲是指功率譜密度在整個頻域內(nèi)均勻分布的噪聲——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——圖9.4量化噪聲的概率密度函數(shù)而信號功率與噪聲功率之比即信噪比為：

用對數(shù)表示：

(9.4)因此，寄存器長度每增加一位（L加上1），信噪比約提高6db。——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——9.2.2線性時不變系統(tǒng)對量化噪聲的響應當已量化的信號通過一LTI系統(tǒng)H(z)時，由于實際的輸入信號如(9.2)式所示，故輸出信號為：(9.5)

其中y(n)是此線性系統(tǒng)對無限精度信號x(n)的響應，f(n)是系統(tǒng)對量化噪聲e(n)的響應，故f(n)為輸出噪聲。輸出噪聲的功率為：

(9.6)

這個積分可以用留數(shù)定理來計算，其中積分圍線C是在H(z)與H(z-1)的公共收斂域內(nèi)的一條圍繞原點的閉合曲線。如果H(z)是穩(wěn)定系統(tǒng)，則可選單位園為圍線C，將z=ejω

代入(9.6)式，可以得到：

(9.7)——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——9.3乘積誤差的影響

在數(shù)字網(wǎng)絡中，典型的乘法運算可以表示為：

y(n)=ax(n)

這里x(n)為數(shù)據(jù)值，a為乘法器系數(shù)。一般來說，每次相乘后要對乘積作舍入或截尾處理。圖9.5相乘運算的統(tǒng)計模型——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——相乘后的實際結果為：由9.1節(jié)，舍入誤差范圍為：

e(n)的統(tǒng)計特性可利用9.2節(jié)的假設，故其均值為0，方差為：——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——9.3.1IIR濾波器的有限字長效應首先來分析一階IIR濾波器：

其中含有乘積項ay(n-1)?？梢詫⑴c系數(shù)a相乘后乘積的舍入誤差所產(chǎn)生的影響等效為存在噪聲源e(n)，如圖9.6所示。ax(n)e(n)圖9.6一階IIR濾波器的統(tǒng)計模型——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——濾波器實際的輸出為：根據(jù)9.2.2節(jié)，可以求出輸出噪聲f(n)的方差（功率）為：

這里σe2如式(9.10)所示。H(z)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，有：

(9.13)式中的 可用留數(shù)定理計算，被積函數(shù)為：——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——選單位園為積分圍線C，故被積函數(shù)在C內(nèi)只有一個極點，即z=a，于是有：

代入(9.13)式可得由于乘積的舍入而產(chǎn)生的誤差中，直接型最大，級聯(lián)型次之，并聯(lián)型最??；這是各種結構中所有舍入誤差所通過網(wǎng)絡的反饋環(huán)節(jié)的積累不同的結果。——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——9.3.2FIR濾波器的有限字長效應一個N階FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

其差分方程為：

FIR濾波器的橫截型結構是對其差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的直接實現(xiàn)，圖9.13中的em(n)(m=0,1,…,N-1)是每次相乘后所產(chǎn)生的舍入噪聲，所有這些噪聲都直接加在輸出端，因而總的輸出噪聲就是這些噪聲的簡單求和。——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——圖9.13FIR濾波器的橫截型結構以及其中的相乘誤差——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——設y(n)是FIR濾波器在無限精度情況下的輸出，而y(n)是乘積為有限精度情況下的輸出，f(n)為輸出噪聲，于是有： （9.29）每一次相乘后產(chǎn)生一個舍入噪聲，故實際的輸出為

——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——比較(9.29)式和(9.30)式，可得：(9.31)故輸出噪聲的方差（功率）為： (9.32)因此，字長越短，濾波器階數(shù)越高，由乘積誤差所產(chǎn)生的輸出噪聲就越大。對于乘積在補碼截尾處理下所產(chǎn)生的誤差，除了輸出噪聲不再具有零均值之外，其分析和計算完全可以同樣進行?！诰耪聰?shù)字信號處理中的有限字長效應——9.4系數(shù)的量化效應在實現(xiàn)數(shù)字濾波器時，系數(shù)的精度都要受到存儲器字長的限制，系數(shù)的量化誤差必然使系統(tǒng)函數(shù)的零極點位置發(fā)生偏差，也必然使頻率響應發(fā)生偏差；在IIR濾波器的情況下，還可能使某些極點從單位圓內(nèi)移出，從而導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。本節(jié)主要討論系數(shù)的量化誤差對IIR濾波器極點位置的影響?！诰耪聰?shù)字信號處理中的有限字長效應——IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：如果IIR濾波器直接按此形式實現(xiàn)，則其結構為直接型或正準型。當系數(shù)量化后，實際的系統(tǒng)函數(shù)為：——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——其中表示量化后的系數(shù)：

(9.35)這里Δai、Δbi是系數(shù)的偏差值，它們將分別引起零點和極點位置的偏差?，F(xiàn)在分析極點的情況。

(9.36)——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——其中zk(k=1,2,…N)是系數(shù)為無限精度時的極點，設位置偏離后的極點為zk+Δzk，Δzk為極點位置偏差量，它是由于系數(shù)偏差Δbi引起的。顯然有：

k=1,2,…,n(9.37)——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——看出，越大，Δbi對Δzk的影響就越大，因此是極點zk的偏差對于系數(shù)bi變化的靈敏度。由復合函數(shù)的求導可知： (9.39)而由(9.36)式可得：

以及——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——故由(9.39)式有：

將上式分子分母同乘以(-zN)，再令z=zk

，得到：

(9.39)——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——

(9.39)式的分母的一個因式表示zk

外的一個極點指向zk的矢量，因此，極點個數(shù)越多，分布越密集，這些矢量的長度就越小，分母也就越小，因而極點zk對系數(shù)變化的靈敏度也就越大。這就說明了為什么高階IIR濾波器若用直接型(正準型)結構實現(xiàn)，則系數(shù)的量化誤差將使極點位置發(fā)生大的偏差。

——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——而級聯(lián)型與并聯(lián)型的情況就不一樣，無論是級聯(lián)的一個子網(wǎng)絡還是并聯(lián)的一個支路，都只實現(xiàn)一對共軛極點或一個單極點，極點間的距離就不會很小，極點對系數(shù)變化的靈敏就不會高。而且無論是級聯(lián)型還是并聯(lián)型，極點都具有獨立性，系數(shù)的量化誤差只是使得本子網(wǎng)絡的極點位置發(fā)生小的變化。

——第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應——因此級聯(lián)型和并聯(lián)型系數(shù)量化對極點位置的影響小。系數(shù)量化對零點位置的影響可以類似地進行分析，但并聯(lián)型結構的IIR濾波器的零點除外?！诰耪聰?shù)字信號處理中的有限字長效應——