4.1自來水輸送與貨機裝運

某市有甲，乙，丙，丁四個居民區(qū)，自來水由A，B，C三個水庫供應(yīng)．四個區(qū)每天必須得到保證的基本生活用水量分別為30，70，10，10千噸，但由于水資源緊張，三個水庫每天最多只能分別供應(yīng)50，60，50千噸自來水。問題由于地理位置的差別，自來水公司從各水庫向各區(qū)送水所需付出的引水管理費不同(見表4－1.其中C水庫與丁區(qū)之間沒有輸水管道)。其他管理費用都是450元/千噸.根據(jù)公司規(guī)定，各區(qū)用戶按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)900元/千噸收費。此外四個區(qū)都向公司申請了額外用水量，分別為每天50，70，20，40千噸。該公司應(yīng)如何分配供水量，才能獲利最多?由為了增加供水量，自來水公司正在考慮進行水庫改造，使三個水庫每天的最大供水量都提高一倍，問那時供水方案應(yīng)如何改變?公司利潤可加到多少？引水管理費（元/千噸）甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/表4－1從水庫向各區(qū)送水的引水管理費分析分配供水量就是安排從三個水庫向四個區(qū)送水的方案，目標(biāo)是獲利最多.

而從題目給出的數(shù)據(jù)看，A，B，C三個水庫的供水量160千噸，不超過四個區(qū)的基本生活用水量與額外用水量之和300千噸，因而總能賣出并獲利，于是自來水公司每天的總收入是元，與送水方案無關(guān)．同樣，公司每天的其它管理費用元也與送水方案無關(guān)．

所以，要使利潤最大．只需使引水管理費最小即可．另外，送水方案自然要受三個水庫的供應(yīng)和四區(qū)的需求量的限制．分析模型建立決策變量為A，B，C三個水庫分別向甲，乙，丙，丁四個區(qū)的供水量，設(shè)水庫向區(qū)的日供水量為．由于C水庫與丁區(qū)之間沒有輸水管道，即，因此只有11個決策變量．由上分析，問題的目標(biāo)可以從獲利最多轉(zhuǎn)化為引水管理費最少，于是有（4.1.1）約束條件有兩類；一類是是水庫的供應(yīng)量限制，另一類是各區(qū)的需求量限制

由于供水量總能賣出并獲利，水庫的供應(yīng)量限量可以表示為：

考慮的各區(qū)的基本生活用水量與額外用水量，需求量限制可以表示為：模型求解（4.1.1）～（4.1.8）構(gòu)成一線性規(guī)劃模型（當(dāng)然加上的非負約束）．輸入LINDO求解，得到如下結(jié)果。

送水方案為：

A水庫向乙區(qū)供水50千噸，

B水庫向乙，丁區(qū)分別供水50，10，千噸，

C水庫向甲，丙分別供水40，10千噸．引水管理費為24400元，利潤為144000-72000-24000=47600元

討論如果A，B，C三個水庫每天的最大供水量都提高一倍，則公司總供水能力為320千噸，大于總需求量300千噸，水庫供水量不能全部賣出，因而不能像前面那樣，將獲利最多轉(zhuǎn)化為引水管理費最少。因此需要計算A，B，C三個水庫分別向甲，乙，丙，丁四個區(qū)供應(yīng)每千噸水的凈利潤，既從收入900元中減去其他管理費450元，再減去表4－1中的引水管理費，得表4－2．

凈利潤（元/千噸）甲乙丙丁A290320230280B310320260300C260250220/表4－2從水庫向各區(qū)送水的凈利潤

決策目標(biāo)為

（4.1.9）由于水庫供水量不能全不賣出，所以上面約束（4.1.2）—（4.1.4）的右端增加一倍的同時，應(yīng)將等號改為小于，既

約束（4.1.5）～（4.1.8）不變．將（4.1.5）～（4.1.12）構(gòu)成的線性規(guī)劃模型輸入LINDO求解。送水方案：A水庫向乙區(qū)供水100千噸，B水庫向甲，乙，丁區(qū)分別供水30，40，50千噸C水庫甲，丙區(qū)分別供水50，30千噸總利潤為88700元．本題考慮的是將某種物質(zhì)從若干供應(yīng)點運往一些需求點，在供需量約束條件下使總費用最小，或總利潤最大，這類問題一般稱為運輸問題，是線性規(guī)劃應(yīng)用最廣泛的領(lǐng)域之一．評注在標(biāo)準(zhǔn)的運輸問題中，供需量通常是不平衡的，擔(dān)這并不會引起本質(zhì)的區(qū)別，一樣可以方便的建立線性規(guī)劃模型求解．貨機裝運

問題某架貨機有三個貨艙；前艙，中艙，后艙，三個貨艙所能裝載的貨物的最大重量和體積都有限制，如表4－3所示.為了保持飛機的平衡,三個貨艙中實際裝載貨物的重量必須與其最大容許重量成比例

。前倉中倉后倉重量限制(噸)10168體積限制（立方米）680087005300表4－3三個貨艙裝載貨物的最大容許重量和體積

現(xiàn)有四類貨物供該貨機本次飛行裝運，其有關(guān)信息如表4－4．最后一列指裝運后所獲得的利潤

重量（噸）空間（立方米/噸）利潤（元/噸）貨物1184803100貨物2156503800貨物3235803500貨物4123902850表4－4四類裝運貨物的信息

應(yīng)如何安排裝運，使該貨機本次飛行獲利最大?模型假設(shè)1每種貨物可以分割到任意??；2每種貨物可以在一個或多個貨艙中任意分布；3多種貨物可以混裝，并保證不留空隙．模型建立決策變量:用

表示第種貨物裝入第個貨艙的重量(噸)，貨艙分別表示前倉、中倉、后倉.決策目標(biāo)是最大化總利潤，即

（4.1.13）約束條件包括以下4個方面：1)供裝載的四種貨物的總重量約束，即

（4.1.14）（4.1.15）（4.1.16）（4.1.17）2)三個貨艙的重量限制，即

（4.1.18）（4.1.19）（4.1.20）3)三個貨艙的空閑限制，即（4.1.21）（4.1.22）（4.1.23）4)三個貨艙裝入重量的平衡約束，即(4.1.24）模型求解

將以上模型輸入LINDO求解，可以得到結(jié)果為：貨物2裝入前倉10噸、裝入后倉5噸；貨物3裝入中倉13噸、裝入后倉3噸；貨物4裝入中倉3噸.最大利潤約121516元．（最優(yōu)解四舍五入