§1

第一型曲線積分

本節(jié)將研究定義在平面或空間曲線段上的第一型曲線積分.此類積分的典型物理背景是求非均勻分布的曲線狀物體的質(zhì)量.二、第一型曲線積分的計(jì)算

一、第一型曲線積分的定義

第二十章

曲線積分

一、問題的提出實(shí)例1:求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量均勻之質(zhì)量分割求和取極限近似值精確值近似取設(shè)線密度為：(連續(xù))個(gè)可求長(zhǎng)度的小曲線段的弧長(zhǎng),它把定義在上的函數(shù).

對(duì)曲線做分割分成記為分割的細(xì)度為在上任取一點(diǎn)若有極限為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段,定義1設(shè)為且的值與分割的取法無關(guān),

則稱此極限為上的第一型曲線積分,

記作(1)為空間可求長(zhǎng)曲線段,

若為定義在上

的函數(shù),

則可類似地定義在空間曲線上

的第一型曲線積分,并且記作(2)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量注:曲線積分也是一個(gè)確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x,y)及積分弧段L有關(guān).1.

若存在，為

常數(shù),

則也存在,且2.

若曲線段由曲線首尾相接而成,

都存在,則

也存在,且2.第一型曲線積分性質(zhì)3．都存在,且在

則4．也存在,

且5．存在,的弧長(zhǎng)為則存在常數(shù)

使得二．第一型曲線積分的計(jì)算定理20.1

設(shè)有光滑曲線為定義在上的連續(xù)函數(shù),則基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分說明:因此積分限必須滿足(2)注意到上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí),(3)式成為當(dāng)曲線由方程表示,且在上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí),(3)式成為當(dāng)曲線L由方程表示,且在如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算步驟：化為：例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)

B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)例2.解:oayxA所以Ｂ注：第一類曲線積分的對(duì)稱性LL1OyxLL1OxyLL1Oxy例3.計(jì)算其中L為雙紐線解:

在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得例4.計(jì)算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線例5.

計(jì)算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對(duì)稱性可知例6.計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則思考與練習(xí)1.已知橢圓周長(zhǎng)為a,求提示:原式=利用對(duì)稱性分析:作業(yè)：P2011(2)(3)(4)(7);2內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l

曲線弧

的長(zhǎng)度)3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧復(fù)習(xí)思考題1.若在光滑曲線上連續(xù),是否一定存在

使得其中s是曲線L的弧長(zhǎng).2.

設(shè)在光滑曲線L上連續(xù),L滿足條件:若滿足條件:

是否有若滿足條