第三節(jié)一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用第十一章*三、全微分方程區(qū)域D分類(lèi)單連通區(qū)域(無(wú)“洞”區(qū)域)多連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左定理1.設(shè)區(qū)域D是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或一、格林公式證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-型區(qū)域,且則定理1即同理可證①②①、②兩式相加得:定理12)若D不滿足以上條件,則可通過(guò)加輔助線將其分割為有限個(gè)上述形式的區(qū)域,如圖證畢定理1推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積定理1例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:令則利用格林公式,得例2.

計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:令,則利用格林公式,有例3.

計(jì)算其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解:令設(shè)L所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知在D內(nèi)作圓周取逆時(shí)針?lè)较?,對(duì)區(qū)域應(yīng)用格記L和lˉ

所圍的區(qū)域?yàn)榱止?得二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件定理2.設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線L,曲線積分與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).說(shuō)明:積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí),曲線積分可記為證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,則(根據(jù)條件(1))定理2(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無(wú)關(guān),有函數(shù)定理2(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有(3)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即證明

(3)

(4)設(shè)存在函數(shù)u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有定理2證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有定理2說(shuō)明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域D內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;定理24)若已知du=

Pdx+Qdy,則對(duì)D內(nèi)任一分段光滑曲定理2線AB,有注:此式稱(chēng)為曲線積分的基本公式(P211定理4).它類(lèi)似于微積分基本公式:例4.

計(jì)算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈,

則例5.

驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).證:設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使例6.

驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2可知存在原函數(shù)或例7.設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)作用下沿曲線L:由移動(dòng)到求力場(chǎng)所作的功W解:令則有可見(jiàn),在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān).思考:積分路徑是否可以取取圓弧為什么？注意,本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān)!內(nèi)容小結(jié)轉(zhuǎn)內(nèi)容小結(jié)判別:

P,Q在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),③為全微分方程則求解步驟:方法1湊微分法;方法2利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.1.求原函數(shù)u(x,y)2.由du=0知通解為

u(x,y)=C.*三、全微分方程則稱(chēng)為全微分方程.③例8.求解解:因?yàn)楣蔬@是全微分方程.則有因此方程的通解為法1法2此全微分方程的通解為,則有兩邊對(duì)y求導(dǎo)得④⑤由④得與⑤比較得因此方程的通解為例9.求解解:∴這是一個(gè)全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫(xiě)為即故原方程的通解為或思考:如何解方程這不是一個(gè)全微分方程,就化成例9的方程.使為全微分方程,在簡(jiǎn)單情況下,可憑觀察和經(jīng)驗(yàn)根據(jù)微分倒推式得到為原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘注:若存在連續(xù)可微函數(shù)積分因子.內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價(jià)條件在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).在

D

內(nèi)有對(duì)D內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設(shè)P,Q在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有為全微分方程思考與練習(xí)1.設(shè)且都取正向,問(wèn)下列計(jì)算是否正確?提示:2.設(shè)提示:作業(yè)P2122

(1);3;4

(3);

5

(1),(4)；

6(2),(5);

*8(2),(4),(7);9第四節(jié)備用題1.

設(shè)C為沿從點(diǎn)依逆時(shí)針的半圓,計(jì)算解:添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點(diǎn)2.

質(zhì)點(diǎn)M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(3,4),到原點(diǎn)的距離,解:

由圖知故所