第四章剛體力學§4.1剛體運動學質量密度在分析剛體運動過程中，可假定各質元的相對位置保持不變。質元具有質量體分布面分布線分布4-1-2剛體的平動和轉動圖4-1剛體的平動平動：剛體在運動中，連接剛體上任意兩點的直線，在各時刻始終保持彼此平行轉動：剛體上所有質元都繞同一直線(轉軸)作圓周運動圖4-3線速度和角速度之間的矢量關系§4.2剛體的定軸轉動定律4-2-1力矩剛體定軸轉動定理4-2-3轉動慣量J【例4-1】計算質量為m，半徑為R的勻質圓盤對通過盤心并垂直于盤面的軸的轉動慣量。圖4-7圓盤通過中心軸的轉動慣量解由于質量均勻分布，單位面積上的質量為，在圓盤上取一半徑為r寬度為dr的窄圓環(huán)，其中所有質點到轉軸的距離都是r，該環(huán)的面積為質量為對軸的轉動慣量為因而對通過盤心且與盤面垂直的軸的轉動慣量為

由于J與圓盤厚度無關，顯然，它也適用于圓柱體。4-2-4剛體定軸轉動定律的應用【例4-3】阿特伍德機。跨過定滑輪的輕繩兩端各懸掛質量為m1和m2的物體，設m1>m2。滑輪可看作為密度均勻的圓盤，半徑為R，質量為m。忽略轉軸對滑輪的摩擦，并且繩與滑輪之間無相對滑動，求兩物體的加速度及繩中張力T1和T2。解:分別列出動力學方程,得:m1：

m2：

滑輪m：

關聯(lián)方程：

聯(lián)立求解，可得

,【例4-4】如圖，一根長為l，質量為m的勻質細桿，可繞水平光滑軸在豎直平面內轉動，最初棒靜止在水平位置，求它下擺角時的角速度和角加速度。解桿在下擺運動中作順時針轉動，選取向內為轉軸正向。桿下擺到角度時，它所產生的重力矩為在桿上取dx小段，其質量整個桿受的重力矩為

根據轉動定律，可得棒的角加速度為

§4.3剛體定軸轉動中的功和能4-3-1力矩的功4-3-2剛體定軸轉動的動能4-3-3剛體定軸轉動的動能定理4-3-4剛體的重力勢能【例4-6】如圖，繞在定滑輪上輕繩的一端固定于定滑輪邊上，另一端與一質量為m=2.00kg的物體相連，已知定滑輪質量M=1.00kg，半徑R=0.100m，且軸承光滑，定滑輪轉動慣量，其初角速度方向垂直于紙面向內，求(1)定滑輪的角加速度(2)定滑輪角速度變化到時，物體上升的高度。=5.00rad／s，解(1)研究定滑輪的轉動，選向內作為轉軸正向，重力、軸支撐力對轉軸力矩為零，對轉動沒有影響，繩張力對轉軸力矩為根據轉動定律，有

選x軸向上，根據牛頓定律，有

T-mg=ma

(2)研究物體m、定滑輪M及地球組成的系統(tǒng)，在物體m上升、定滑輪轉動過程中，機械能守恒，選開始m所在處為重力勢能零點，有

式中，代人數(shù)據，解得

h=0.0159m§4.4剛體定軸轉動的角動量守恒4-4-1剛體定軸轉動的角動量定理剛體在一段時間內所受的沖量矩，等于剛體在這段時間內角動量的增量4-4-2剛體(質點系)定軸轉動的角動量守恒定律【例4-7】如圖，勻質桿質量為M，長l，可繞通過中點的光滑軸在鉛垂面內旋轉。開始桿豎直靜止。有一子彈質量為m，以水平速度v射入桿的下端而不復出，求(1)桿和子彈開始一起旋轉時的角速度；(2)碰撞過程水平方向(圖中x方向)動量是否守恒，為什么?如不守恒，求出動量增量；(3)求出碰撞過程機械能的損失；(4)求桿相對鉛垂線偏轉的最大角度。解(1)碰撞過程經歷的時間極短，因此，系統(tǒng)所受外力(重力與軸的支持力)對于軸O的力矩都為零，因而系統(tǒng)對軸O的角動量守恒。碰前角動量碰后角動量為子彈與桿組成的系統(tǒng)相對于O的轉動慣量，且：

由角動量守恒

(2)在質點與剛體(桿)碰撞過程中，動量一般不守恒，這是因為轉軸對桿有作用力，并且該作用力與子彈和桿的相互作用力(沖力)有關，因而不可忽略。碰撞前水平方向的動量為mv，碰后，由于對稱性，桿沿水平方向的總動量仍為零，子彈在水平方向的動量為動量增量為這說明軸對桿的作用力在x軸方向分量為負值。系統(tǒng)動量減小。動量增量為這說明軸對桿的作用力在x軸方向分量為負值。系統(tǒng)動量減小。

(3)由于碰撞過程勢能不變，機械能損失就是動能的損失，碰撞前系統(tǒng)總動能碰撞后系統(tǒng)總動能得機械能的增量

即在子彈射入并停留在桿的過程中，發(fā)生了完全非彈性碰撞過程，機械能的損失為說明，質點與繞定軸轉動的剛體碰撞過程中角動量一定守恒。但動量不一定守恒，機械能也不一定守恒(完全彈性碰撞則機械能守恒)。

(4)在桿開始轉動到桿轉到最大偏轉角的系統(tǒng)，機械能守恒。如圖，以桿下端最低點作為重力勢能零點，則桿開始轉動時的機械能為

的過程中，研究桿、子彈和地球組成桿轉到最大角度時的機械能(動能為零)為。由機械能守恒，El=E2，則有【例4-8】如圖，質量為M，半徑為R的轉盤，可繞通過中心的豎直軸轉動，阻力忽略不計。開始質量為m的人相對轉盤靜止在離轉軸中心處。開始系統(tǒng)以角速度旋轉。然后人相對于盤以速度v作半徑為R/2的圓周運動(與原轉動方向相反)，求轉盤相對于地的角速度。解研究人與轉盤系統(tǒng)，外力矩為零，因而角動量守恒

開始系統(tǒng)繞軸角動量為(向上為轉軸正向)

設人相對盤轉動后任意