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文檔簡介

1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)一般地，對于nN*有二項定理:一、新課引入二項展開式中的二項式系數(shù)指的是哪些？共有多少個？

下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過楊輝三角觀察n為特殊值時，二項式系數(shù)有什么特點？1．“楊輝三角”的來歷及規(guī)律

楊輝三角展開式中的二項式系數(shù)，如下表所示：

11

121

1331

1464115101051

1615201561

………………二項式系數(shù)的性質(zhì)

展開式的二項式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當時，其圖象是右圖中的7個孤立點．二項式系數(shù)的性質(zhì)2．二項式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對稱軸：二項式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由于：所以相對于的增減情況由決定．

二項式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由：

二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。

可知，當時，二項式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

因此，當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)

取得最大值；

當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)、相等，且同時取得最大值。（3）各二項式系數(shù)的和

二項式系數(shù)的性質(zhì)在二項式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：同時由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：

（1）

（2）

（3）當時，

（4）

當時，課堂練習：2）的展開式中，二項式系數(shù)的最大值是

；3）若的展開式中的第十項和第十一項的二項式系數(shù)最大，則n=

；

二項展開式中的二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時要注意“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項式系

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