第四章三角函數(shù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式第講21考點(diǎn)搜索●同角三角函數(shù)的三個(gè)基本關(guān)系式●誘導(dǎo)公式●“1”在化簡(jiǎn)、求值、證明中的妙用●已知tanα的值，求sinα和cosα構(gòu)成的齊次式(或能化為齊次式)的值●三角恒等式的證明2高考猜想以同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式作為工具對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行恒等變換.3

一、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式1.平方關(guān)系：

;1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α;2.商數(shù)關(guān)系：

，

3.倒數(shù)關(guān)系：

,cosαsecα=1,sinαcscα=1.

二、誘導(dǎo)公式sin2α+cos2α=1tanα·cotα=141.2kπ+α(k∈Z)，-α，π±α，2π-α的三角函數(shù)值等于α的

三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成

角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).

2.

±α，

±α的三角函數(shù)值等于α的

函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成

角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).記憶口訣為：奇變偶不變，符號(hào)看象限.(注：奇、偶指

的奇數(shù)倍或偶數(shù)倍.)

同名銳互余銳51已知△ABC中，則cosA=()先由知A為鈍角，則cosA<0,排除A和B；再由和sin2A+cos2A=1,求得故選D.D6C73.已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=()8sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ故選D.9

考點(diǎn)1：運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值1.(1)已知求tanα;(1)因sinα=＞0，所以α為第一或第二象限角.當(dāng)α為第一象限角時(shí)，當(dāng)α為第二象限角時(shí)，由(1)知，tanα=.10(2)已知知sinαα=m(m≠0,m≠±±1),求tanαα.(2)因?yàn)闉閟inα=m(m≠0，m≠±±1)，所以以(當(dāng)α在第第一一、、四四象象限限時(shí)時(shí)取取正正號(hào)號(hào),當(dāng)α在第第二二、、三三象象限限時(shí)時(shí)取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)).所以，當(dāng)α為第一、四象象限角時(shí)，當(dāng)α為第二、三象象限角時(shí)，11【點(diǎn)評(píng)】：同角三角函數(shù)數(shù)關(guān)系式是化化異名(函數(shù))為同名(函數(shù))的基礎(chǔ).主要的三個(gè)關(guān)關(guān)系式為sin2x+cos2x=1，tanx·cotx=1.轉(zhuǎn)化時(shí)注意符符號(hào)的取舍，，如果角的范范圍不能確定定，則注意分分類討論.12已知tanα=m(m＜0)，求sinα的值.因?yàn)閠anα=m＜0，所以α在第二、四象象限.當(dāng)α在第二象限時(shí)時(shí),當(dāng)α在第四象限時(shí)時(shí)，132.設(shè)θ是第二、三象象限的角，求證：證明：因?yàn)棣仁堑诙⑷笙笙薜慕?，所以cosθ＜0.所以左邊題型2：運(yùn)用同角三三角函數(shù)關(guān)系系化簡(jiǎn)、證明明14=右邊，所以結(jié)論成立立.【點(diǎn)評(píng)】：解決有關(guān)三角角函數(shù)式的化化簡(jiǎn)與證明的的問(wèn)題,關(guān)鍵是合理選選擇公式和變變形方向,如異名化同名名、整體代換換、切化弦,等等.15化簡(jiǎn)原式=163.化簡(jiǎn)下列各式式：(1)(2)(1)原式=題型3:誘導(dǎo)公式的應(yīng)應(yīng)用17(2)原式=18【點(diǎn)評(píng)】：誘導(dǎo)公式是化化任意角的三三角函數(shù)為銳銳角三角函數(shù)數(shù)的公式，也也是化異角為為同角的公式式，化簡(jiǎn)時(shí)特特別注意符號(hào)號(hào)的規(guī)定.19已知(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若求求f(α)的值；(3)若α=-1860°，求f(α)的值.20(1)(2)由及及得(3)214.已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π).求下列各式的的值：(1)tanθ;(2)sinθ-cosθ;(3)sin3θ+cos3θ.題型4：sinα±cosα與方程思想22解法1：因?yàn)閟inθ+cosθ=,θ∈(0,π),所以(sinθ+cosθ)2==1+2sinθcosθ,所以sinθcosθ=-<0.由根與系數(shù)的的關(guān)系知，sinθ,cosθ是方程x2-x-=0的兩根,解方程得x1=,x2=-.因?yàn)閟inθ>0,cosθ<0,所以sinθ=,cosθ=-.23所以，，(1)tanθ=-；(2)sinθ-cosθ=；(3)sin3θ+cos3θ=.解法2：(1)同解法法1.因?yàn)閟inθ>0,cosθ<0，所以sinθ-cosθ>0，所以sinθ-cosθ=.24(3)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=【點(diǎn)評(píng)】：由sin2α+cos2α=1知,在式子子sinα+cosα,sinα-cosα及sinαcosα中，知知道其其中一一個(gè)，，便可可求得得其余余兩個(gè)個(gè)式子子的值值.求解中中注意意符號(hào)號(hào)的討討論與與取舍舍.25已知α是第二二象限限的角角，且且sinα+cosα=，則sinα-cosα=_____.由α是第二二象限限的角角，知知sinα＞0＞cosα，所以以sinα-cosα＞0.由條件件可得得則2sinαcosα=-.所以得sinα-cosα=.26化簡(jiǎn)解法1：原式=題型：：““1”的妙用用

參考題27解法2：原式=282.已知求求下下列各各式的的值:（1）;（2）sin2α+sinαcosα+2.由已知知得(1)題型：：切割割化弦弦與齊齊次式式的應(yīng)應(yīng)用29(2)301.已知角角α的某一一個(gè)三三角函函數(shù)值值，求求角α的其余余三角角函數(shù)數(shù)值時(shí)時(shí)，要要注意意公式式的合合理選選擇.一般思思路是是按““倒、、平、、倒、、商、、倒””的順順序求求解，，特別別是要要注意意開(kāi)方方時(shí)的的符號(hào)號(hào)選取取.312.在進(jìn)行行三角角函數(shù)數(shù)式化化簡(jiǎn)和和三角角恒等等式的的證明明時(shí)，，細(xì)心心觀察察題目目的特特征，，