實(shí)用文檔研究生《現(xiàn)代控制理論及其應(yīng)用》課程小論文一級(jí)倒立擺的建模與控制分析學(xué)院：機(jī)械工程學(xué)院班級(jí)：機(jī)研131姓名：尹潤(rùn)豐學(xué)號(hào)：2013212020162014 年6月2日實(shí)用文檔目錄1.問(wèn)題描述及狀態(tài)空間表達(dá)式建立............................-1-1.1問(wèn)題描述.................................................................-1-1.2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立.....................................................-1-1.2.1直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型...........................................-1-1.2.2直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程......................................-5-2.應(yīng)用MATLAB分析系統(tǒng)性能..................................-6-2.1直線一級(jí)倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析.........................................-6-2.2系統(tǒng)可控性分析..........................................................-7-2.3系統(tǒng)可觀測(cè)性分析........................................................-8-3.應(yīng)用matlab進(jìn)行綜合設(shè)計(jì).................................-8-3.1狀態(tài)反饋原理.............................................................-8-3.2全維狀態(tài)反饋觀測(cè)器和simulink仿真........................................-9-4.應(yīng)用Matlab進(jìn)行系統(tǒng)最優(yōu)控制設(shè)計(jì).........................-11-5.總結(jié)....................................................-13-實(shí)用文檔問(wèn)題描述及狀態(tài)空間表達(dá)式建立1.1問(wèn)題描述倒立擺是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種技術(shù)的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，可以作為一個(gè)典型的控制對(duì)象對(duì)其進(jìn)行研究。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實(shí)驗(yàn)手段，為自動(dòng)控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以用來(lái)檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。下對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，它就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。下面采用其中的牛頓—?dú)W拉方法建立直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1.2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型實(shí)用文檔圖1.1直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)1.1所示。本文中倒立擺系統(tǒng)描述中涉及的符號(hào)、物理意義及相關(guān)數(shù)值如表圖1.2是系統(tǒng)中小車(chē)的受力分析圖。其中，N和P為小車(chē)與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。實(shí)用文檔圖1.2系統(tǒng)中小車(chē)的受力分析圖圖1.3是系統(tǒng)中擺桿的受力分析圖。Fs是擺桿受到的水平方向的干擾力,Fh是擺桿受到的垂直方向的干擾力，合力是垂直方向夾角為α的干擾力Fg。圖1.3擺桿受力分析圖分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下方程：MxFfxN11設(shè)擺桿受到與垂直方向夾角為α的干擾力Fg，可分解為水平方向、垂直方向的干擾力，所產(chǎn)生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力FS、垂直干擾力Fh產(chǎn)生的力矩。Fh12FSFgsinFgcos對(duì)擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：2NFSmd2xlsin13dt實(shí)用文檔即：Nmxmlcosml2sinFfsin14對(duì)圖1.3擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程：md2lcosPmgFh2l15dt即PmgFgcosmlsinml2cos1 6力矩平衡方程如下：FglsincosFglcossinPlsinNlcosI017代入P和N，得到方程：2Fglsincos2FglcossinIml2cos2mglsinml22sin2mlxcos018設(shè)，（φ是擺桿桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度），代入上式。假設(shè)φ<<1，則可進(jìn)行近似處理：2cos1,sin,d0,cos21,sin2dt由于：I1ml23方程化為：2Fgsincos4mlmgmx193令：FfFgsincos，則19可化為：2Ff4mlmgmx1103110即是化簡(jiǎn)后的直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)微分方程。帶入實(shí)際數(shù)據(jù)后，微分方程為：29.43x2Ff111m當(dāng)忽略了F時(shí)，系統(tǒng)的微分方程如式（1-12）所示f29.43x112忽略干擾力后，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是單輸入二輸出的四階系統(tǒng)，考慮干擾力后，實(shí)用文檔直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是二輸入二輸出的四階系統(tǒng)。其內(nèi)部的4個(gè)狀態(tài)量分別是小車(chē)的位移x、小車(chē)的速度x、擺桿的角度θ、擺桿的角速度。系統(tǒng)輸出的觀測(cè)量為小車(chē)的位移x、擺桿的角度θ。其控制量為小車(chē)的加速度將微分方程（1-12）化為關(guān)于加速度輸入量和角度輸出量的傳遞函數(shù)：s3113Rss229.4 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)驗(yàn)所使用的直線一級(jí)倒立擺系系統(tǒng)是加速度x作為系統(tǒng)的控制輸入，所以根據(jù)式（1-12）建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：xxxx3g3x4l4l整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)方程：x0100x000001xxx00010003g03g4l4lxyx1000x0x00100將實(shí)際參數(shù)代入得到一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：實(shí)用文檔x0100x0x0000x10001x00029.403xyx1000x00010x0010000000110000A001BC010D00000029.403應(yīng)用MATLAB分析系統(tǒng)性能2.1直線一級(jí)倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析構(gòu)建如圖1.4所示閉環(huán)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為（ -5.1381）、（5.1381）:圖1.4閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由于有實(shí)部為正的極點(diǎn)，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，必須設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)穩(wěn)定。可以通過(guò)MATLABSimulink中對(duì)其進(jìn)行仿真，判斷其穩(wěn)定性。構(gòu)建圖1.4所示系統(tǒng)的仿真程序e1，加入1m/s2的階躍信號(hào)實(shí)用文檔由上圖也能清楚的知道一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2.2 系統(tǒng)可控性分析系統(tǒng)的可控性可根據(jù)秩判據(jù)進(jìn)行可控性判斷。 線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：rank(B AB An1B) n，其中 n為系統(tǒng)矩陣 A的階次，M (BAB An1B)為系統(tǒng)的可控性矩陣。matlab程序及運(yùn)行結(jié)果如下：A=[0100;0000;0001;0029.40];B=[0;1;0;3];T=ctrb(A,B);rank(T)ans=4由于rank（Ic）=4，可見(jiàn)該系統(tǒng)是完全可控的。實(shí)用文檔2.3 系統(tǒng)可觀測(cè)性分析系統(tǒng)的可控性可根據(jù)秩判據(jù)進(jìn)行可控性判斷。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：CCArank N rank n或rank(CT ATCT(AT)2CT (AT)n1CT) nCAn1其中n為系數(shù)矩陣A的階次。matlab程序及運(yùn)行結(jié)果如下：A=[0100;0000;0001;0029.40];C=[1000;0010];T0=obsv(A,C);rank(T0)ans=4由于rank（T0）=4，故該系統(tǒng)是可觀測(cè)的。應(yīng)用matlab進(jìn)行綜合設(shè)計(jì)3.1狀態(tài)反饋原理設(shè)ｎ維線性定常系統(tǒng)：x Ax Bu,y Cx其中x,u,y分別是n維、p維、q維向量；A、B、C分別是n*n維，n*p維，n*q維實(shí)數(shù)矩陣。狀態(tài)反饋系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)x的線性函數(shù)：實(shí)用文檔u v Kx其中，v為p參考輸入向量，K為p*n維實(shí)反饋增益矩陣。加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 3.1所示：圖3.1系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖則系統(tǒng)狀態(tài)反饋的動(dòng)態(tài)方程為：ABKxBv,yCx3.2全維狀態(tài)反饋觀測(cè)器和 simulink 仿真狀態(tài)反饋的的實(shí)現(xiàn)是利用狀態(tài)反饋使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于所希望的極點(diǎn)位置。而狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充分必要條件是被控系統(tǒng)可控。直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是可控的。設(shè)系統(tǒng)期望極點(diǎn)為1234=2343i43i，則系統(tǒng)期望特征多項(xiàng)式為：a*ss1s2s3s4列寫(xiě)狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：detSIABK令兩個(gè)特征多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等， 則可解出K陣。由matlab求出狀態(tài)反饋矩陣K，編程如下：A=[0100;0000;0001;0029.40];B=[0;1;0;3];K=acker(A,B,[-2-3-4+3i-4-3i])K=實(shí)用文檔-5.1020 -5.8844 35.1673 6.2948系統(tǒng)加入0.1m/s2的階躍輸入，在構(gòu)成的狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器控制下，MATLAB中進(jìn)行系統(tǒng)的階躍響應(yīng)仿真，編程如下：A=[0100000000010029.40];B1=[0103];C=[1000010000100001];D1=[0000]';dt=0.005;ieof=801;fori=1:ieof;U(:,i)=[0.1];T(i)=i*dt;end;%%離散化op=[-2 % 期望極點(diǎn)-3-4+3i-4-3i];K=place(A,B1,op)Ak0=[(A-B1*K)];Bk0=[B1];Ck0=[C];Dk0=[D1];lqrop=eig(Ak0);x=[0000]';dt=0.005;%離散時(shí)[dA,dB]=c2d(Ak0,Bk0,dt);% 經(jīng)離散化得到離散狀態(tài)方程Ak1=[(A-B1*K)];Bk1=[B1];Ck1=[C];Dk1=[D1];sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);實(shí)用文檔[Y,X]=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;legend('Cart','VCart','single','Vs');圖3.2 極點(diǎn)配置為[-2-3-4+3i-4-3i] 時(shí)的全狀態(tài)反饋仿真圖橫軸時(shí)間單位秒，從圖中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定。應(yīng)用Matlab進(jìn)行系統(tǒng)最優(yōu)控制設(shè)計(jì)最優(yōu)控制問(wèn)題就是尋找一個(gè)控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)能最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。對(duì)于線性連續(xù)系統(tǒng)，提出二次型目標(biāo)函數(shù)：J1xT(tf)Sx(tf)1tfxTtQtxtuTtRtutdt22t0其中，R(t)正定，S及Q（t)半正定，且設(shè)它們?yōu)閷?duì)稱(chēng)矩陣， t0,tf固定。當(dāng)tf趨近無(wú)窮時(shí)，在y(t) x(t)情況下，該問(wèn)題即為無(wú)限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題。 此時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差項(xiàng)趨于零，在此題目中假設(shè)二次型最優(yōu)控制性能指標(biāo)為：J [xTQx uTRu]dt0實(shí)用文檔50000003000其中：Q050R=10000010Matlab編程如下：A=[0100;0000;0001;0029.40];B=[0;1;0;3];C=[1000;0100;0010;0001];D=[0000];Q=[500000;03000;00500;00010];R=1;[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R)K=-22.3607-17.469770.104113.2462在simulink 下進(jìn)行仿真模型的建立，如圖 4.1：圖4.1LQR仿真模型將K輸入后，進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖 4.2：實(shí)用文檔圖4.2LQR仿真結(jié)果由圖可見(jiàn)，在二次型最優(yōu)控制下系統(tǒng)穩(wěn)定性得到明顯改善?？偨Y(jié)通過(guò)對(duì)一級(jí)倒立擺的分析