第一節(jié)線性空間的定義與性質(zhì)揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作向量空間，進而通過研究向量空間來解決實際問題．一、線性空間的定義

若對于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個元素與之對應(yīng)，稱為與的積，記作定義１設(shè)是一個非空集合，為實數(shù)域．如果對于任意兩個元素，總有唯一的一個元素與之對應(yīng)，稱為與的和，記作如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那么就稱為數(shù)域上的向量空間（或線性空間）．

2．向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組．

3．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說明

1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，稱為線性運算．（１）一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性．例１

實數(shù)域上的全體矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律．例４

正弦函數(shù)的集合對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．是一個線性空間.例５

在區(qū)間上全體實連續(xù)函數(shù)，對函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間．一般地例６

正實數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運算為驗證對上述加法與乘數(shù)運算構(gòu)成線性空間．（２）一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運算不是通常的實數(shù)間的加乘運算，則必需檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律．證明所以對定義的加法與乘數(shù)運算封閉．下面一一驗證八條線性運算規(guī)律：所以對所定義的運算構(gòu)成線性空間．不構(gòu)成線性空間．對于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例７

個有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體1．零元素是唯一的．證明

假設(shè)是線性空間V中的兩個零元素，由于所以則對任何，有二、線性空間的性質(zhì)2．負元素是唯一的．證明假設(shè)有兩個負元素與，那么則有向量的負元素記為證明4．如果，則或

.證明假設(shè)那么又同理可證：若則有三、線性空間的子空間定義2設(shè)是一個線性空間，是的一個非空子集，如果對于中所定義的加法和乘數(shù)兩種運算也構(gòu)成一個線性空間，則稱為的子空間．定理線性空間的非空子集構(gòu)成子空間的充分必要條件是：對于中的線性運算封閉．解(1)不構(gòu)成子空間.因為對例8有即對矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.對任意有于是滿足且線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等.線性空間是一個集合對所定義的加法及數(shù)乘運算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運算四、小結(jié)線性空間是二維、三維幾何空間及維向量空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性.思考題思考題解答第二節(jié)維數(shù)、基、坐標(biāo)揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)一、線性空間的基與維數(shù)

已知：在中，線性無關(guān)的向量組最多由個向量組成，而任意個向量都是線性相關(guān)的．

問題：線性空間的一個重要特征——在線性空間中，最多能有多少線性無關(guān)的向量？定義１在線性空間中，如果存在個元素滿足：當(dāng)一個線性空間中存在任意多個線性無關(guān)的向量時，就稱是無限維的．定義２二、元素在給定基下的坐標(biāo)注意線性空間的任一元素在不同的基下所對的坐標(biāo)一般不同，一個元素在一個基下對應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．例２所有二階實矩陣組成的集合，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間．對于中的矩陣三、線性空間的同構(gòu)定義設(shè)是兩個線性空間，如果它們的元素之間有一一對應(yīng)關(guān)系，且這個對應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對應(yīng)，那末就稱線性空間與同構(gòu).例如與維數(shù)組向量空間同構(gòu).

因為形成一一對應(yīng)關(guān)系；則有３．同維數(shù)的線性空間必同構(gòu)．２．同構(gòu)的線性空間之間具有反身性、對稱性與傳遞性．結(jié)論１．?dāng)?shù)域上任意兩個維線性空間都同構(gòu)．同構(gòu)的意義在線性空間的抽象討論中，無論構(gòu)成線性空間的元素是什么，其中的運算是如何定義的，我們所關(guān)心的只是這些運算的代數(shù)性質(zhì)．從這個意義上可以說，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)．１．線性空間的基與維數(shù)；２．線性空間的元素在給定基下的坐標(biāo)；

坐標(biāo)：（１）把抽象的向量與具體的數(shù)組向量聯(lián)系起來；３．線性空間的同構(gòu)．四、小結(jié)（２）把抽象的線性運算與數(shù)組向量的線性運算聯(lián)系起來．生成的子空間的基與維數(shù).思考題思考題解答第三節(jié)基變換與坐標(biāo)變換揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)一、基變換公式與過渡矩陣那么，同一個向量在不同的基下的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)如何改變呢？

問題：在維線性空間中，任意個線性無關(guān)的向量都可以作為的一組基．對于不同的基，同一個向量的坐標(biāo)是不同的．稱此公式為基變換公式．由于基變換公式矩陣稱為由基到基的過渡矩陣．過渡矩陣是可逆的．若兩個基滿足關(guān)系式二、坐標(biāo)變換公式則有坐標(biāo)變換公式或證明１．基變換公式三、小結(jié)２．坐標(biāo)變換公式或思考題思考題解答第四節(jié)線性變換揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)

線性空間中向量之間的聯(lián)系，是通過線性空間到線性空間的映射來實現(xiàn)的．１．映射一、線性變換的概念變換的概念是函數(shù)概念的推廣．2．從線性空間到的線性變換說明３．從線性空間到其自身的線性變換下面主要討論線性空間中的線性變換．證明設(shè)則有例３定義在閉區(qū)間上的全體連續(xù)函數(shù)組成實數(shù)域上的一個線性空間，在這個空間中變換是一個線性變換.故命題得證.證明則有設(shè)例４線性空間中的恒等變換（或稱單位變換）：是線性變換．所以恒等變換是線性變換．證明設(shè)則有所以零變換是線性變換．例５線性空間中的零變換：是線性變換．證明證畢.例６在中定義變換則不是的一個線性變換．二、線性變換的性質(zhì)證明從而由于由上述證明知它對中的線線性運算封閉，故它是的子空間．證明則則三、小結(jié)要證一個變換是線性變換，必須證保持加法和數(shù)量乘法，即若證一個變換不是線性變換，只須證不保持加法或數(shù)量乘法，并且只須舉出一個反例即可．思考題思考題解答第五節(jié)線性變換的矩陣表示式揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)一、線性變換的矩陣表示式二、線性變換在給定基下的矩陣定義１設(shè)是線性空間中的線性變換，在中取定一個基，如果這個基在變換下的象為其中上式可表示為那末，就稱為線性變換在基下的矩陣．結(jié)論此例表明：同一個線性變換在不同的基下一般有不同的矩陣．

同一個線性變換在不同的基下有不同的矩陣，那么這些矩陣之間有什么關(guān)系呢？三、線性變換在不同基下的矩陣上面的例子表明定理１設(shè)線性空間中取定兩個基由基到基的過渡矩陣為，中的線性變換在這兩個基下的矩陣依次為和，那末于是證明因為線性無關(guān)，所以證畢.定理表明：與相似，且兩個基之間的過渡矩陣就是相似變換矩陣．例４解解

由條件知給定了線性空間的一組基以后，中的線性變換與中的矩陣形成一一對應(yīng)．因此，在線性代數(shù)中，可以用矩陣來研究變換，也可以用變換來研究矩陣．同一變換在不同基下的矩陣是相似的．四、小結(jié)思考題思考題解答第六章習(xí)題課揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院線性代數(shù)１線性空間的定義那么，就稱為（實數(shù)域上的）向量空間（或線性空間），中的元素不論其本來的性質(zhì)如何，統(tǒng)稱為（實）向量．簡言之，凡滿足八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，就稱為線性運算；凡定義了線性運算的集合，就稱為向量空間．２線性空間的性質(zhì)３子空間定義設(shè)是一個線性空間，是的一個非空子集，如果對于中所定義的加法和乘數(shù)兩種運算也構(gòu)成一個線性空間，則稱為的子空間．定理線性空間的非空子集構(gòu)成子空間的充分必要條件是：對于中的線性運算封閉．定義４線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)定義一般地，設(shè)與是兩個線性空間，如果在它們的元素之間有一一對應(yīng)關(guān)系，且這個對應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對應(yīng)，那么就說線性空間與

同構(gòu)．線性空間的結(jié)構(gòu)完全被它的維數(shù)所決定．任何維線性空間都與同構(gòu)，即維數(shù)相等的線性空間都同構(gòu)．５基變換６坐標(biāo)變換７線性變換的定義變換的概念是函數(shù)概念的推廣．８線性變換的性質(zhì)９線性變換的矩陣表示10線性變換在給定基下的矩陣同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的，反之，相似矩陣也可以看成是同一線性變換在不同基下的矩陣．11線性變換在不同基下的矩陣典型例題一、線性空間的判定二、子空間的判定三、求向量在給定基下的坐標(biāo)四、由基和過渡矩陣求另一組基五、過渡矩陣的求法六、線性變換的判定七、有關(guān)線性變換的證明八、線性變換在給定基下的矩陣九、線性變換在不同基下的矩陣線性空間中兩種運算的８條運算規(guī)律缺一不可，要證明一個集合是線性空間必須逐條驗證．若要證明某個集合對于所定義的兩種運算不構(gòu)成線性空間，只需說明在兩個封閉性和８條運算規(guī)律中有一條不滿足即可．一、線性空間的判定解解二、子空間的判定證一三、求向量在給定基下的坐標(biāo)證二四、由基和過渡矩陣求另一組基解五、過渡矩陣的求法解一

由過渡矩陣的定義有整理得從上面的解法可以看到，由定義出發(fā)，利用解方程組，求出線性表達式中的系數(shù)，得到過渡矩陣，這種方法計算量太大，因此，當(dāng)線性表達式不容易得到時，可采用下面的解法．解二

引入一組新的基解六、線性變換的判定七、有關(guān)線性變換的證明解解八、線性變換在給定基下的矩陣九、線性變換在不同基下的矩陣解第六章測試題一、填空題(每小題4分，共24分