切比雪夫不等式大數(shù)定律中心極限定理第四章中心極限定理4.1.切比雪夫不等式若r.v.X的期望和方差存在，則對任意0，有這就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。

它有以下等價的形式：大數(shù)定律已知某種股票每股價格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a,使股價超過1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式令4.2大數(shù)定律與中心極限定理

4.2.1大數(shù)定律

一.依概率收斂設(shè){Xn}為隨機變量序列，X為隨機變量，若任給>0,使得則稱{Xn}依概率收斂于X.可記為切比雪夫不等式如意思是:當(dāng)a而意思是:時,Xn落在內(nèi)的概率越來越大.,當(dāng)二.幾個常用的大數(shù)定律1.切比雪夫大數(shù)定律

設(shè){Xk,k=1,2,...}為獨立的隨機變量序列，且有相同的數(shù)學(xué)期望，及方差2>0，則即若任給>0,使得證明:這里故由切比雪夫不等式2.伯努里大數(shù)定律

設(shè)進(jìn)行n次獨立重復(fù)試驗，每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，記fn為n次試驗中事件A發(fā)生的頻率，則證明:設(shè)第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生則由切比雪夫大數(shù)定理3.辛欽大數(shù)定律

若{Xk,k=1,2,...}為獨立同分布隨機變量序列,EXk=<,k=1,2,…則推論:若{Xi,i=1.2,...}為獨立同分布隨機變量序列,E(X1k)=<,則4.3.中心極限定理

一.依分布收斂

設(shè){Xn}為隨機變量序列，X為隨機變量，其對應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x),F(x).若在F(x)的連續(xù)點，有則稱{Xn}依分布收斂于X.可記為二.幾個常用的中心極限定理1.獨立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg)設(shè){Xn}為獨立同分布隨機變量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,則{Xn}滿足中心極限定理。根據(jù)上述定理，當(dāng)n充分大時例1.將一顆骰子連擲100次，則點數(shù)之和不少于500的概率是多少？解:設(shè) Xk為第k次擲出的點數(shù),k=1,2,…,100,則X1,…,X100獨立同分布.由中心極限定理

設(shè)隨機變量n(n=1,2,...)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項分布，則2.德莫佛-拉普拉斯中心極限定理(DeMoivre-Laplace)證明:設(shè)第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生則由中心極限定理,結(jié)論得證

例2在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問：(1)保險公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？解設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，設(shè)Y表示保險公司一年的利潤，Y=1000012-1000X于是由中心極限定理(1)P{Y<0}=P{1000012-1000X<0}=1P{X120}1

(7.75)=0;P{Y>6