第九節(jié)

函數模型及其應用考綱考情廣東五年0考高考指數:★☆☆☆☆

1.了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征,結合具體實例體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義2.了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用五年考題無單獨命題考情播報1.利用函數圖象刻畫實際問題及建立函數模型解決實際問題,有可能會成為高考命題的熱點2.將會與函數的圖象、單調性、最值以及基本不等式、導數的應用交匯命題,考查建模能力及分析問題和解決問題的能力3.選擇題、填空題、解答題三種題型都有考查,但以解答題為主【知識梳理】1.指數、對數及冪函數三種增長型函數模型的圖象與性質函數性質y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性___________________________增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與____平行隨x的增大逐漸表現為與____平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0,當x>x0時,有l(wèi)ogax<xn<ax單調遞增單調遞增單調遞增y軸x軸2.常見的幾種函數模型(1)直線模型:y=___________型,圖象增長特點是直線式上升(x的系數k>0),通過圖象可以直觀地認識它,特例是正比例函數模型y=________.(2)反比例函數模型:y=

型,圖象增長特點是y隨x的增大而減小.(3)指數函數模型:y=a·bx+c(b>0,b≠1,a≠0)型,圖象增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越快(底數b>1,a>0),常形象地稱為指數爆炸.kx+b(k≠0)kx(k>0)(4)對數函數模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,圖象增長特點是隨著自變量的增大,函數值增大的速度越來越慢(底數a>1,m>0).(5)冪函數模型:y=a·xn+b(a≠0)型,其中最常見的是二次函數模型:__________(a≠0),圖象增長特點是隨著自變量的增大,函數值先減小,后增大(a>0).y=ax2+bx+c(6)分段函數模型:圖象特點是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同.可以先將其當作幾個問題,將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一起,要注意各段自變量的取值范圍,特別是端點.3.建立函數模型解決實際應用問題的步驟(四步八字)(1)審題:閱讀理解、弄清題意,分清條件和結論,理順數量關系,弄清數據的單位等.(2)建模:正確選擇自變量,將自然語言轉化為數學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用數學知識,建立相應的數學模型.(3)求模:求解數學模型,得出數學結論.(4)還原:將數學問題還原為實際問題.以上過程用框圖表示如下:【考點自測】1.(思考)給出下列命題:①函數y=2x的函數值在(0,+∞)上一定比y=x2的函數值大;②在(0,+∞)上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y=xα(α>0)的增長速度;③“指數爆炸”是指數型函數y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增長速度越來越快的形象比喻;④冪函數增長比直線增長更快;⑤指數函數模型,一般用于解決變化較快,短時間內變化量較大的實際問題中.其中正確的命題是(

)A.①②B.②③C.③④D.②⑤【解析】選D.①錯誤.當x∈(0,2)和(4,+∞)時,2x>x2,當x∈(2,4)時,x2>2x.②正確.由兩者的圖象易知.③錯誤.增長越來越快的指數型函數是y=a·bx+c(a>0,b>1).④錯誤.冪函數y=xn(0<n<1,x>1)的增長速度比直線y=x(x>1)的增長速度慢.⑤正確.根據指數函數y=ax(a>1)函數值增長特點知⑤正確.2.(2014·宜春模擬)在某種新型材料的研制中,實驗人員獲得了下列一組實驗數據.現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規(guī)律,其中最接近的一個是(

)A.y=2x

B.y=log2xC.y=(x2-1)D.y=2.61cosxx1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61【解析】選B.由表格知當x=3時,y=1.59,而A中y=23=8,不合要求,B中y=log23∈(1,2)接近,C中y=(32-1)=4,不合要求,D中y=2.61cos3<0,不合要求,故選B.3.(2013·湖北高考)小明騎車上學,開始時勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時間,后為了趕時間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是(

)【解析】選C.距學校越來越近則圖象下降,交通堵塞時距離不變,后加速行駛,直線變陡.4.某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關系為y=alog3(x+1),設這種動物第2年有100只,到第8年它們發(fā)展到(

)A.200只B.300只C.400只D.500只【解析】選A.由已知得100=alog3(2+1),得a=100,則當x=8時,y=100log3(8+1)=200(只).5.某種儲蓄按復利計算利息,若本金為a元,每期利率為r,存期是x,本利和(本金加利息)為y元,則本利和y隨存期x變化的函數關系式是

.【解析】已知本金為a元,利率為r,則1期后本利和為y=a+ar=a(1+r),2期后本利和為y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3期后本利和為y=a(1+r)3,…x期后本利和為y=a(1+r)x,x∈N.答案:y=a(1+r)x,x∈N6.(2014·安陽模擬)某工廠生產某種產品固定成本為2000萬元,并且每生產一單位產品,成本增加10萬元.又知總收入K是單位產品數Q的函數,K(Q)=40Q-Q2,則總利潤L(Q)的最大值是

萬元.【解析】由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2000=(40Q-Q2)-10Q-2000=-(Q-300)2+2500，所以當Q=300時，L(Q)max=2500(萬元).答案：2500

考點1用函數圖象刻畫實際問題中兩變量的變化過程

【典例1】(1)(2014·南昌模擬)如圖,下面的四個容器高度都相同,將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中,注滿為止.用下面對應的圖象表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關系,其中不正確的有(

)A.1個B.2個C.3個D.4個(2)(2013·江西高考)如圖,半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1,l2之間,l∥l1,l與半圓相交于F,G兩點,與三角形ABC兩邊相交于E,D兩點.設弧FG的長為x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l從l1平行移動到l2,則函數y=f(x)的圖象大致是(

)【解題視點】(1)根據實際問題中兩變量的變化過程,結合容器中水面的高度h與時間t的關系作出選擇.(2)注意到弧FG所對的圓心角為x,可構造y關于x的三角函數,借助于三角函數的圖象可解決.【規(guī)范解答】(1)選A.將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和時間t之間的關系可以從高度隨時間的變化率上反映出來,圖①應該是勻速的,故下面的圖象不正確,②中的變化率是越來越慢的,正確;③中的變化規(guī)律是逐漸變慢再變快,正確;④中的變化規(guī)律是逐漸變快再變慢,也正確,故只有①是錯誤的.(2)選D.△ABC的高為圓的半徑1，可求邊長為，弧FG所對的圓心角為x，所以O到FG的距離為cos

，則EB==，故y=，0＜x＜π，結合余弦函數的圖象知選項D正確.【易錯警示】關注變量的范圍根據實際意義設出變量后,列式解決問題始終要注意變量的范圍,解決過程中易忽視變量范圍而致誤.【規(guī)律方法】判斷函數圖象與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法(1)構建函數模型法:當根據題意易構建函數模型時,先建立函數模型,再結合模型選圖象.(2)驗證法:當根據題意不易建立函數模型時,則根據實際問題中兩變量的變化特點,結合圖象的變化趨勢,驗證是否吻合,從中排除不符合實際的情況,選擇出符合實際情況的答案.【變式訓練】(2014·武漢模擬)如圖(1)是反映某條公共汽車線路收支差額(即營運所得票價收入與付出成本的差)y與乘客量x之間關系的圖象.由于目前該條公交線路虧損,公司有關人員提出了兩種調整的建議,如圖(2)(3)所示.給出以下說法:①圖(2)的建議是:提高成本,并提高票價;②圖(2)的建議是:降低成本,并保持票價不變;③圖(3)的建議是:提高票價,并保持成本不變;④圖(3)的建議是:提高票價,并降低成本.其中所有正確說法的序號是(

)A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】選C.對于圖(2),當x=0時,函數值比圖(1)中的大,表示成本降低,兩直線平行,表明票價不變,故②正確;對于圖(3),當x=0時,函數值不變表示成本不變,當x>0時,函數值增大表明票價提高,故③正確.【加固訓練】1.(2014·北京模擬)某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長18%,經過x年,綠化面積與原綠化面積之比為y,則y=f(x)的圖象大致為(

)【解析】選D.設某地區(qū)起始年的綠化面積為a,因為該地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長18%,所以經過x年,綠化面積g(x)=a(1+18%)x,因為綠化面積與原綠化面積之比為y,則y=f(x)==(1+18%)x=1.18x,因為y=1.18x為底數大于1的指數函數,故可排除C,當x=0時,y=1,可排除A,B,故選D.2.在翼裝飛行世界錦標賽中,某翼人空中高速飛行,如圖反映了他從某時刻開始的15分鐘內的速度v(x)與時間x的關系,若定義“速度差函數”u(x)為時間段[0,x]內的最大速度與最小速度的差,則u(x)的圖象是(

)【解析】選D.由題意可得,當x∈[0,6]時,翼人做勻加速運動,v(x)=80+x,“速度差函數”u(x)=x.當x∈[6,10]時,翼人做勻減速運動,速度v(x)從160開始下降,一直降到80,u(x)=160-80=80.當x∈[10,12]時,翼人做勻減速運動,v(x)從80開始下降,v(x)=180-10x,u(x)=160-(180-10x)=10x-20.當x∈[12,15]時,翼人做勻加速運動,“速度差函數”u(x)=160-60=100,結合所給的圖象,故選D.3.如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a米(0<a<12)、4米,不考慮樹的粗細.現在想用16米長的籬笆,借助墻角圍成一個矩形的花圃ABCD.設此矩形花圃的面積為S平方米,S的最大值為f(a),若將這棵樹圍在花圃內,則函數u=f(a)的圖象大致是

(

)【解析】選C.設BC=x，則CD=16-x，由得a≤x≤12.S=x(16-x)=-(x-8)2+64.當0＜a＜8時，f(a)=64，當8≤a＜12時，f(a)=-(a-8)2+64，即f(a)=故選C.

考點2應用所給函數模型解決實際問題

【典例2】(1)(2014·沈陽模擬)一個容器裝有細沙acm3,細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出,tmin后剩余的細沙量為y=ae-bt(cm3),經過8min后發(fā)現容器內還有一半的沙子,則再經過

min,容器中的沙子只有開始時的八分之一.(2)(2014·廣州模擬)某企業(yè)生產A,B兩種產品,根據市場調查與預測,A產品的利潤與投資成正比,其關系如圖1;B產品的利潤與投資的算術平方根成正比,其關系如圖2(注:利潤和投資單位:萬元).①分別將A,B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式.②已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部投入A,B兩種產品的生產.(ⅰ)若平均投入生產兩種產品,可獲得多少利潤?(ⅱ)問:如果你是廠長,怎樣分配這18萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?【解題視點】(1)根據已知條件先確定所給函數模型中待定系數b,進而利用該模型求得所求.(2)①結合圖象,利用待定系數法求得函數關系式;②根據①所求函數模型求解.【規(guī)范解答】(1)依題意有a·e-b×8=a,所以b=,所以y=a·.若容器中的沙子只有開始時的八分之一,則有a·=a,解得t=24,所以再經過的時間為24-8=16(min).答案:16(2)①設A,B兩種產品分別投資x萬元,x萬元,x≥0，所獲利潤分別為f(x)萬元、g(x)萬元.由題意可設f(x)=k1x,g(x)=k2.根據圖象可解得f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2(x≥0).②(ⅰ)由①得f(9)=2.25,g(9)=2=6.所以總利潤y=8.25萬元.(ⅱ)設B產品投入x萬元,A產品投入(18-x)萬元,該企業(yè)可獲總利潤為y萬元.則y=(18-x)+2,0≤x≤18.令

=t,t∈［0,3］,則y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.所以當t=4時,ymax==8.5,此時x=16,18-x=2.所以當A,B兩種產品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤,約為8.5萬元.【規(guī)律方法】應用所給函數模型解決實際問題的關注點(1)認清所給函數模型,弄清哪些量為待定系數.(2)根據已知利用待定系數法,確定模型中的待定系數.(3)利用該模型求解實際問題.提醒:解決實際問題時要注意自變量的取值范圍.【變式訓練】(2014·佛山模擬)據市場分析,粵西某海鮮加工公司,當月產量在10噸至25噸時,月總成本y(萬元)可以看成月產量x(噸)的二次函數,當月產量為10噸時,月總成本為20萬元;當月產量為15噸時,月總成本最低為17.5萬元.(1)寫出月總成本y(萬元)關于月產量x(噸)的函數關系.(2)已知該產品銷售價為每噸1.6萬元,那么月產量為多少時,可獲最大利潤?(3)當月產量為多少噸時,每噸平均成本最低,最低成本是多少萬元?【解析】(1)由題意可設y=a(x-15)2+17.5(a∈R,a≠0).將x=10,y=20代入上式得:20=25a+17.5,解得a=,所以y=(x-15)2+17.5(10≤x≤25).(2)設最大利潤為Q(x),則Q(x)=1.6x-y=1.6x-=-(x-23)2+12.9(10≤x≤25),因為x=23∈[10,25],所以月產量為23噸時,可獲最大利潤12.9萬元.(3)當且僅當

即x=20∈[10,25]時上式“=”成立.故當月產量為20噸時,每噸平均成本最低,最低成本為1萬元.【加固訓練】1.某工廠產生的廢氣經過過濾后排放,過濾過程中廢氣的污染物數量Pmg/L與時間th間的關系為P=P0e-kt.若在前5個小時消除了10%的污染物,則污染物減少50%所需要的時間約為

h.

(

)A.26B.33C.36D.42【解析】選B.由題意,前5個小時消除了10%的污染物,因為P=P0e-kt,所以(1-10%)P0=P0e-5k,所以k=-ln0.9,所以P=當P=50%P0時,有50%P0=,所以ln0.9=ln0.5,所以t=≈33,即污染物減少50%需要的時間約為33h.2.某化工廠打算投入一條新的生產線,但需要經環(huán)保部門審批同意方可投入生產.已知該生產線連續(xù)生產n年的累計產量為f(n)=n(n+1)(2n+1)噸,但如果年產量超過150噸,會給環(huán)境造成危害.為保護環(huán)境,環(huán)保部門應給該廠這條生產線擬定最長的生產期限是(

)A.5年B.6年C.7年D.8年【解析】選C.第n年的年產量y=因為f(n)=n(n+1)(2n+1),所以f(1)=3,當n≥2時,f(n-1)=n(n-1)(2n-1),所以f(n)-f(n-1)=3n2.n=1時,也滿足上式,所以第n年的年產量為y=3n2,令3n2≤150,所以n2≤50,因為n∈N,n≥1,所以1≤n≤7,所以nmax=7.3.(2014·蘇州模擬)為了保護環(huán)境,發(fā)展低碳經濟,某單位在國家科研部門的支持下,進行技術攻關,新上了把二氧化碳處理轉化為一種可利用的化工產品的項目,經測算,該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似地表示為y=

且每處理1噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元,若該項目不獲利,國家將給予補償.(1)當x∈[200,300]時,判斷該項目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損?(2)該項目每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?【解析】(1)當x∈［200,300］時，設該項目獲利為S，則S=200x-(x2-200x+80000)=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以當x∈［200,300］時，S<0,因此該項目不會獲利.當x=300時，S取得最大值-5000,所以國家每月至少補貼5000元才能使該項目不虧損.(2)由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為①當x∈［120,144)時，所以當x=120時，取得最小值240.②當x∈［144,500］時，當且僅當即x=400時，取得最小值200.因為200<240,所以當每月的處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低.

考點3構建函數模型解決實際問題【考情】對函數的實際應用問題的考查，以根據已知條件構建函數模型解決實際問題為重要考向，常與二次函數、基本不等式及導數等知識交匯，以解答題為主要形式出現，考查用函數知識解決以社會實際生活為背景的成本最低、利潤最高、產量最大、效益最好、用料最省等實際問題.高頻考點

通關【典例3】(1)(2013·陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為

m.(2)(2014·蘇州模擬)已知一家公司生產某種產品的年固定成本為10萬元,每生產1千件該產品需另投入2.7萬元,設該公司一年內生產該產品x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬元,且R(x)=①寫出年利潤W(萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式;②年產量為多少千件時,該公司在這一產品的產銷過程中所獲利潤最大?【解題視點】(1)根據相似三角形的性質將內接矩形的另一邊用x表示，進而構建目標函數求最值.(2)①根據利潤=收入-成本，其中成本包括固定成本和變化成本，列式得函數解析式，但要分段表示；②在①得出式子的基礎上選擇適當的方法求最值.【規(guī)范解答】(1)設矩形高為y,由三角形相似得:且x>0,y>0,x<40,y<40?40=x+y≥,當且僅當x=y=20時，矩形的面積S=xy取最大值400.答案：20(2)①當0＜x≤10時，W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10,當x＞10時，W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x,所以②(i)當0＜x≤10時，由W′=8.1-=0，得x=9,當x∈(0,9)時，W′＞0;當x∈(9,10］時，W′＜0,所以當x=9時，W取得最大值，即Wmax=8.1×9-×93-10=38.6.(ii)當x＞10時，當且僅當，即x=時，W取得最大值38.綜合(i)(ii)知：當x=9時，W取得最大值為38.6萬元，故當年產量為9千件時，該公司在這一產品的產銷過程中所獲利潤最大.【通關錦囊】高考指數重點題型破解策略◆◆◆構建二次函數模型求解選擇恰當的量為自變量x,將相關量用x表示,根據題中條件的等量關系得二次函數模型,利用二次函數的圖象與性質求解◆◆◆構建對勾函數f(x)=x+(a>0)模型求解根據題意構建函數模型f(x)=x+(a>0),用基本不等式或導數法求其最值高考指數重點題型破解策略◆◆◆構建高次函數或復雜的分式結構函數模型(1)根據題意,抓住題中的等量關系,構建高次或復雜的分式結構函數模型(2)用導數法求最值◆◆

構建分段函數模型(1)根據題意,分別求出不同范圍的函數表達式,做到分段合理、不重不漏(2)分段函數的最值是各段最大(或最小)者的最大者(最小者)【特別提醒】(1)構建函數模型時不要忘記考慮函數的定義域.(2)對構建的較復雜的函數模型,要適時地用換元法轉化為熟悉的函數問題求解.【通關題組】1.(2014·廣州模擬)如圖所示,已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為了合理利用這塊鋼板,將在五邊形ABCDE內截取一個矩形塊BNPM,使點P在邊DE上.(1)設MP=x米,PN=y米,將y表示成x的函數,求該函數的解析式及定義域.(2)求矩形BNPM面積的最大值.【解析】(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8-y，EQ=x-4，在△EDF中，所以所以y=-x+10,定義域為{x|4≤x≤8}.(2)設矩形BNPM的面積為S，則S(x)=xy=x(10-)=-(x-10)2+50,所以S(x)是關于x的二次函數，且其開口向下，對稱軸為x=10,所以當x∈［4,8］時，S(x)單調遞增，所以當x=8時，矩形BNPM面積取得最大值48平方米.2.(2014·廈門模擬)國家推行“節(jié)能減排,低碳經濟”政策后,環(huán)保節(jié)能的產品供不應求.為適應市場需求,某企業(yè)投入98萬元引進環(huán)保節(jié)能生產設備,并馬上投入生產.第一年需各種費用12萬元,從第二年開始,每年所需費用會比上一年增加4萬元.而每年因引入該設備可獲得年利潤為50萬元.請你根據以上數據,解決以下問題:(1)引進該設備多少年后,該廠開始盈利?(2)若干年后,因該設備老化,需處理老設備,引進新設備,該廠提出兩種處理方案:第一種:年平均利潤達到最大值時,以26萬元的價格賣出.第二種:盈利總額達到最大值時,以8萬元的價格賣出.問哪種方案較為合算?【解析】(1)設引進該設備x年后開始盈利，盈利額為y萬元.則y=50x-98-=-2x2+40x-98,令y＞0,得10-＜x＜10+，因為x∈N*,所以3≤x≤17.即引進該設備三年后開始盈利.(2)第一種：年平均盈利為當且僅當2x=,即x=7時，年平均利潤最大，共盈利12×7+26=110(萬元).第二種：盈利總額y=-2(x-10)2+102,當x=10時，取得最大值102,即經過10年盈利總額最大，共計盈利102+8=110(萬元)，兩種方案獲利相等，但由于方案二時間長，采用第一種方案較合算.【加固訓練】1.(2012·湖南高考)某企業(yè)接到生產3000臺某產品的A,B,C三種部件的訂單,每臺產品需要這三種部件的數量分別為2,2,1(單位:件).已知每個工人每天可生產A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產這三種部件,生產B部件的人數與生產A部件的人數成正比,比例系數為k(k為正整數).(1)設生產A部件的人數為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產需要的時間.(2)假設這三種部件的生產同時開工,試確定正整數k的值,使完成訂單任務的時間最短,并給出時間最短時具體的人數分組方案.【解析】(1)設完成A,B,C三種部件的生產任務需要的時間(單位:天)分別為T1(x),T2(x),T3(x),由題設有其中x,kx,200-(1+k)x均為1到200之間的正整數.(2)完成訂單任務的時間為f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定義域為.易知,T1(x),T2(x)為減函數,T3(x)為增函數.注意到T2(x)=T1(x),于是①當k=2時,T1(x)=T2(x),此時f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max.由函數T1(x),T3(x)的單調性知,當

時f(x)取得最小值,解得x=.由于44<<45,而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)<f(45),故當x=44時完成訂單任務的時間最短,且最短時間為f(44)=.②當k>2時，T1(x)>T2(x),由于k為正整數，故k≥3，此時記T(x)=,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函數，則f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x)=由函數T1(x)，T(x)的單調性知，當時φ(x)取最小值，解得x=.由于36<<37，而φ(36)=T1(36)=,φ(37)=T(37)=此時完成訂單任務的最短時間大于.③當k<2時，T1(x)<T2(x)，由于k為正整數，故k=1,此時f(x)=max{T2(x),T3(x)}=.由函數T2(x),T3(x)的單調性知，當

時f(x)取最小值，解得x=，類似①的討論，此時完成訂單任務的最短時間為,大于.綜上所述，當k=2時，完成訂單任務的時間最短，此時，生產A，B，C三種部件的人數分別為44，88，68.2.(2011·山東高考)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設計要求容器的容積為立方米,且l≥2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元,半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元.設該容器的建造費用為y千元.(1)寫出y關于r的函數表達式,并求該函數的定義域.(2)求該容器的建造費用最小時的r.【解析】(1)因為容器的體積為

立方米，所以,解得由于l≥2r因此0＜r≤2.所以圓柱的側面積為兩端兩個半球的表面積之和為4πr2,所以建造費用y=-8πr2+4πcr2,定義域為(0,2］.(2)因為0＜r≤2，由于c>3,所以c-2>0,所以令y′＞0得:r＞;令y′＜0得:0＜r＜

,①≥2時，即當3＜c≤時，函數y在(0，2)上是單調遞減的，故建造費最小時r=2.②當0＜

＜2時，即c＞

時，函數y在(0，2)上是先減后增的，故建造費最小時r=.3.(2014·揭陽模擬)甲、乙兩公司同時開發(fā)同一種新產品,經測算,對于函數f(x),g(x)以及任意的x≥0,當甲公司投入x萬元進行宣傳時,若乙公司投入的宣傳費小于f(x)萬元,則乙公司對這一新產品的開發(fā)有失敗的風險,否則沒有失敗的風險;當乙公司投入x萬元進行宣傳時,若甲公司投入的宣傳費小于g(x)萬元,則甲公司對這一新產品的開發(fā)有失敗的風險,否則沒有失敗的風險.(1)試解釋f(0)=10,g(0)=20的實際意義.(2)設f(x)=x+10,g(x)=+20,甲、乙兩公司為了避免惡性競爭,經過協商,同意在雙方均無失敗風險的情況下盡可能少地投入宣傳費用,問甲、乙兩公司各應投入多少宣傳費?【解析】(1)f(0)=10表示當甲公司不投入宣傳費時,乙公司要避免新產品的開發(fā)有失敗的風險,至少要投入10萬元宣傳費;g(0)=20表示當乙公司不投入宣傳費時,甲公司要避免新產品的開發(fā)有失敗的風險,至少要投入20萬元宣傳費.(2)設甲公司投入宣傳費x萬元,乙公司投入宣傳費y萬元.依題意,當且僅當時,雙方均無失敗的風險.由①,②得即4y--60≥0,左邊因式分解得:(-4)(4+15)≥0,因為≥0,所以4+15>0,所以≥4,所以y≥16,所以x≥+20≥4+20=24,所以xmin=24,ymin=16.答:在雙方均無失敗風險的情況下,甲公司至少要投入24萬元,乙公司至少要投入16萬元.【規(guī)范解答2】利用函數模型解決實際問題【典例】(12分)(2013·重慶高考)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設建造成本僅與表面積有關,側面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).(1)將V表示成r的函數V(r),并求該函數的定義域.(2)討論函數V(r)的單調性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.【審題】分析信息,形成思路信息提取思路分析(1)將V表示成r的函數V(r),并求該函數的定義域利用總成本為12000π元將高h用r表示→構建函數模型V(r)→由r>0且h>0得V(r)的定義域(2)討論函數V(r