第二章插值法一、引言插值問題的提出插值問題提出原因一些基本概念一、引言插值問題的提出插值問題通俗來說，對(duì)于平面（或空間）中給定一些離散點(diǎn)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)倪B續(xù)函數(shù)使其通過這些離散點(diǎn)提出原因一些基本概念一、引言插值問題的提出插值問題提出原因一些基本概念一、引言插值問題的提出插值問題提出原因?qū)?fù)雜函數(shù)用簡單函數(shù)近似曲線、曲面擬合一些基本概念一、引言插值問題的提出插值問題提出原因一些基本概念一、引言插值問題的提出插值問題提出原因一些基本概念插值節(jié)點(diǎn)插值區(qū)間插值函數(shù)一、引言插值問題的提出插值問題提出原因一些基本概念已知f(x)在點(diǎn)a≤x0<x1<…<xn≤b上的值y0=f(x0),…,

yn=f(xn)，若存在一簡單函數(shù)P(x)，使P(x)為f(x)的插值函數(shù)，點(diǎn)x0,x1,…,xn稱為插值節(jié)點(diǎn)，[a,b]稱為插值區(qū)間，求P(x)的方法稱為插值法.一、引言插值問題的提出插值問題提出原因一些基本概念若是次數(shù)不超過的代數(shù)多項(xiàng)式，其中為實(shí)數(shù)，就稱為插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值.即一、引言插值問題的提出插值問題提出原因一些基本概念若為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值.若為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值.一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性例某地區(qū)某年夏季時(shí)節(jié)間隔30天的日出日落時(shí)間為

5月1日5月31日 6月30日日出5：51 5：17 5：10日落19：04 19：38 19：50求5、6月份的日照時(shí)間的變化規(guī)律。一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性日照時(shí)間的變化設(shè)為

y(x)=a0+a1x+a2x2,根據(jù)三組數(shù)據(jù):

(1,13.53),(31,14.21),(61,14.40)，導(dǎo)出關(guān)于a0，a1，a2的線性方程組一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性定理對(duì)n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn的次數(shù)不超過n的插值多項(xiàng)式P(x)是存在唯一的.一、引言多項(xiàng)式插值一個(gè)例子多項(xiàng)式插值的存在唯一性定理對(duì)n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn的次數(shù)不超過n的插值多項(xiàng)式P(x)是存在唯一的.插值多項(xiàng)式的求解可轉(zhuǎn)化為求解線性方程組.還有更簡單的求解算法：Lagrange和Newton插值.二、拉格朗日插值1.拉格朗日插值多項(xiàng)式問題

設(shè)有n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0<x1<…<xn，且已知

yi=f

(xi) (i=0,1,…,n)構(gòu)造多項(xiàng)式Ln(x)，使Ln(xj)=yj

(

j=0,1,…,n)二、拉格朗日插值1.拉格朗日插值多項(xiàng)式插值基函數(shù)lj(x)(j=0,1,…,n)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0<x1<…<xn上滿足條件(j,k=0,1,…,n)二、拉格朗日插值2.插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)誤差估計(jì)二、拉格朗日插值2.插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)

若在[a,b]上用Ln(x)近似f

(x)，則其截?cái)嗾`差

Rn(x)＝f

(x)-Ln(x)稱插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。誤差估計(jì)二、拉格朗日插值2.插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)誤差估計(jì)二、拉格朗日插值2.插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)插值余項(xiàng)誤差估計(jì)設(shè)f

(x)在[a,b]上具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(n+1)(x)存在,節(jié)點(diǎn)a≤x0<x1<…<xn≤b，Ln(x)是滿足條件

Ln(xj)=yj(j=0,1,2,…,n)的插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何x[a,b]，插值余項(xiàng)三、均差與牛頓插值插值多項(xiàng)式的逐次生成提出原因逐次生成插值多項(xiàng)式的方法三、均差與牛頓插值拉格朗日插值法當(dāng)節(jié)點(diǎn)增減時(shí)，計(jì)算需全部重新進(jìn)行，為了計(jì)算方便，可重新設(shè)計(jì)一種逐次生成插值多項(xiàng)式的牛頓插值方法。在實(shí)際操作執(zhí)行時(shí)，該方法更易實(shí)現(xiàn)且計(jì)算復(fù)雜度更低。三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算1.均差與性質(zhì)均差定義一階均差：性質(zhì)均差的計(jì)算三、均差與牛頓插值

二階均差：k階均差：三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算（1）f

(x)的k階均差可表示為函數(shù)值f

(x0),f

(x1),……,f

(xn)的線性組合，即三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算（2）k階均差可重新寫為：三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算（3）設(shè)f

(x)在[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且x0,x1,…,xn

[a,b]，則n階均差與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系如下：三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算差商表三、均差與牛頓插值1.均差與性質(zhì)均差定義性質(zhì)均差的計(jì)算差商表

x

f(x)一階均差二階均差三階均差-2

-56

-1

-16

400

-2

14

-131

-2

0

-7

23

4

3

1

2三、均差與牛頓插值2.牛頓插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式Newton插值和Lagrange插值的關(guān)系三、均差與牛頓插值2.牛頓插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式根據(jù)均差定義Newton插值和Lagrange插值的關(guān)系將后一式代入前一式，得三、均差與牛頓插值2.牛頓插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式Newton插值和Lagrange插值的關(guān)系其中稱Pn(x)為Newton均差插值多項(xiàng)式。三、均差與牛頓插值2.牛頓插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式Newton插值和Lagrange插值的關(guān)系三、均差與牛頓插值2.牛頓插值多項(xiàng)式Newton插值多項(xiàng)式Newton插值和Lagrange插值的關(guān)系牛頓插值多項(xiàng)式和拉格朗日插值多項(xiàng)式是恒等的，它們的差異僅是書寫形式不同而已，但這種差異卻為計(jì)算帶來了很大方便三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式若x0,x1,…,xn

為等距節(jié)點(diǎn)，即xk=x0+kh(k=0,1,...,n)時(shí)，可將牛頓插值公式簡化三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式設(shè)點(diǎn)的函數(shù)值為，類似地稱為處的二階差分.一般地稱為處的n階差分.稱為xk處的一階（向前）差分.三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式三、均差與牛頓插值3.差分形式的牛頓插值公式差分均差與差分關(guān)系牛頓前插公式稱為牛頓前插公式，其余項(xiàng)為前插公式適用于x在x0附近，除此還有適用于x在xn附近的牛頓后插公式和x在插值區(qū)間中部的Bessel公式四、埃爾米特插值

有時(shí)，我們不但需要插值函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上與函數(shù)值相等，同時(shí)還需要某些節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等。四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型一：考慮滿足條件

的插值多項(xiàng)式P(x)及其余項(xiàng)表達(dá)式.四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型一：考慮滿足條件

的插值多項(xiàng)式P(x)及其余項(xiàng)表達(dá)式.

四個(gè)條件，可確定次數(shù)不超過3的插值多項(xiàng)式由由四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型一：考慮滿足條件

的插值多項(xiàng)式P(x)及其余項(xiàng)表達(dá)式.

令R(x)=f(x)-P(x)=k(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)，反復(fù)運(yùn)用羅爾定理，k(x)=f(4)(ξ)∕4!,因此四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型二：兩點(diǎn)三次埃爾米特插值，插值節(jié)點(diǎn)取為xk和xk+1，插值多項(xiàng)式為H(x)，插值條件為四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型二：兩點(diǎn)三次埃爾米特插值，插值節(jié)點(diǎn)取為xk和xk+1，插值多項(xiàng)式為H(x)，插值條件為基函數(shù)方法，令四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型二：兩點(diǎn)三次埃爾米特插值，插值節(jié)點(diǎn)取為xk和xk+1，插值多項(xiàng)式為H(x)，插值條件為四、埃爾米特插值兩個(gè)典型的埃爾米特插值典型二：兩點(diǎn)三次埃爾米特插值，插值節(jié)點(diǎn)取為xk和xk+1，插值多項(xiàng)式為H(x)，插值條件為令R(x)=f(x)-H(x)=k(x)(x-xk)2(x-xk+1)2，反復(fù)運(yùn)用羅爾定理，k(x)=f(k)(ξ)∕4!,因此四、埃爾米特插值Hermite插值多項(xiàng)式與Newton插值多項(xiàng)式一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0，n+1個(gè)插值條件Hermite插值多項(xiàng)式：四、埃爾米特插值Hermite插值多項(xiàng)式與Newton插值多項(xiàng)式一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0，n+1個(gè)插值條件Newton插值多項(xiàng)式：（相當(dāng)于在x0給出了n+1次插值條件Pn(x0)=f(x0)）四、埃爾米特插值Hermite插值多項(xiàng)式與Newton插值多項(xiàng)式多個(gè)插值節(jié)點(diǎn)yi(i=1,2,...,s)，n+1個(gè)插值條件

Newton插值多項(xiàng)式四、埃爾米特插值Hermite插值多項(xiàng)式與Newton插值多項(xiàng)式多個(gè)插值節(jié)點(diǎn)yi(i=1,2,...,s)，n+1個(gè)插值條件它剛好是在多個(gè)插值節(jié)點(diǎn)yi(i=1,2,...,s)給出n+1個(gè)插值條件的n次Hermite插值多項(xiàng)式（不加證明）五、分段低次插值高次插值的病態(tài)性質(zhì)Runge反例：在[-5,5]上取n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式為計(jì)算在上的函數(shù)值。五、分段低次插值高次插值的病態(tài)性質(zhì)Runge反例：五、分段低次插值高次插值的病態(tài)性質(zhì)Runge反例：L10(x)

f(x)五、分段低次插值在每個(gè)小區(qū)間

上是線性函數(shù).分段線性插值分段線性插值就是通過插值點(diǎn)用折線連接起來逼近f(x)，記分段函數(shù)Ih(x)

五、分段低次插值分段三次埃爾米特插值為保證一定光滑性，在節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,...,n)上除已知函數(shù)值fk之外還給出導(dǎo)數(shù)值fk'(k=0,1,...,n)，可構(gòu)造一個(gè)導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分段插值函數(shù)Ih(x)

在每個(gè)小區(qū)間

上是三次多項(xiàng)式.六、三次樣條插值

利用分段埃爾米特插值，若再要提高光滑性，令二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，就得用分段5次多項(xiàng)式，但插值多項(xiàng)式次數(shù)太高又不可取。而利用三次樣條插值可以既保證二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，又可使插值多項(xiàng)式次數(shù)為3。六、三次樣條插