導(dǎo)數(shù)的預(yù)備知識(shí)

——極限與平均變化率教學(xué)目標(biāo)

了解函數(shù)的極限和平均變化率教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的平均變化率無(wú)論x+或x-

一、函數(shù)的極限

一、函數(shù)的極限x110100100010000100000···y10.10.010.0010.00010.00001···考察函數(shù)當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)．yxO當(dāng)自變量x取正值并無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨近于0，即|y-0|可以變得任意小．當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)的極限是0，記作函數(shù)的極限yxO當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)的極限是0，記作函數(shù)的極限就說(shuō)當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)的極限是a，記作一般地，當(dāng)自變量x取正值并且無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a，也可記作:當(dāng)當(dāng)就說(shuō)當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)的極限是a，記作當(dāng)自變量x取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a，也可記作:函數(shù)的極限如果那就是說(shuō)當(dāng)x趨向于也可記作:當(dāng)無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)的極限是a，記作對(duì)于常數(shù)函數(shù)也有函數(shù)的極限x取正值并且無(wú)限增大無(wú)限趨近于常數(shù)a

極限表示

值的變化趨勢(shì)

自變量x的變化趨勢(shì)

x取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大無(wú)限趨近于常數(shù)a

x取正值并且無(wú)限增大，x取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大無(wú)限趨近于常數(shù)a

函數(shù)的極限例1、分別就自變量x趨向于的情況，討論下列函數(shù)的變化趨勢(shì)：（1）解：當(dāng)時(shí)，無(wú)限趨近于0，即當(dāng)時(shí)，趨近于函數(shù)的極限（2）解：當(dāng)時(shí)，的值保持為1．即當(dāng)時(shí)，的值保持為-1，即研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化導(dǎo)數(shù)研究的問(wèn)題的快慢程度．變化率問(wèn)題

二、

平均變化率變化率問(wèn)題問(wèn)題1氣球膨脹率

我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么

二、

平均變化率我們來(lái)分

析一下:當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為顯然0.62>0.16問(wèn)題1氣球膨脹率我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?思考?當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?

二、

平均變化率問(wèn)題2高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?請(qǐng)計(jì)算hto請(qǐng)計(jì)算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均變化率定義:若設(shè)Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)

則平均變化率為這里Δx看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用x1+Δx代替x2同樣Δf=Δy==f(x2)-f(x1)上述問(wèn)題中的變化率可用式子表示稱(chēng)為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率思考?觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直線AB的斜率PQoxyy=f(x)割線切線T三、平均變化率的極限的幾何意義:

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PQ如果有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱(chēng)為曲線在點(diǎn)P處的切線.設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱(chēng)為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無(wú)切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多個(gè).PQoxyy=f(x)割線切線T練習(xí)：2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),求在4s附近的平均變化率.A3:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:①