第一章數(shù)制編碼與邏輯代數(shù)

——第二部分邏輯代數(shù)1.4邏輯代數(shù)

1.4.1基本邏輯

1.4.2基本邏輯的運(yùn)算規(guī)則

1.4.3基本邏輯函數(shù)及其表示方法

1.4.4邏輯函數(shù)的基本公式和定律

1.4.5邏輯函數(shù)的三個規(guī)則

1.4.6邏輯函數(shù)化簡常用公式

1.4.7邏輯函數(shù)的公式化簡法1.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡方法

1.5.1邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式

1.5.2圖解法（卡諾圖法）

1.5.3包含無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡1.4邏輯代數(shù)基本概念

邏輯：事物的因果關(guān)系 邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：邏輯代數(shù) 在二值邏輯中的變量取值：

0/11.4.1基本邏輯

與（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示開關(guān)A合上，A=0表示開關(guān)A斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路的因果關(guān)系不同：與條件同時具備，結(jié)果發(fā)生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY0000100011或條件之一具備，結(jié)果發(fā)生Y=AORB=A+BABY0000110111非條件不具備，結(jié)果發(fā)生

AY01101.4.2基本邏輯運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則記好八字口訣：與：有0則0，全1則1

或：全0則0，有1則1推導(dǎo)一般形式：A·1=()A·0=()A·A=()A+1=()A+0=()A+A=()AA01AA10A一、基本邏輯運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則二、幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算與非 或非 與或非異或Y=ABABY0000110110同或Y=A⊙BABY0010100011異或和同或運(yùn)算相關(guān)結(jié)論A⊙0=()A⊙1=()A⊙A=()A⊙A=（）A⊕B=A⊕B=A⊙B=A⊙BA⊙B=A⊙B=A⊕B=A⊕B01AA⊕0=()A⊕

1=()A⊕

A=()A⊕

A=（）A10一邏輯函數(shù)（邏輯表達(dá)式）Y=F(A,B,C,······)

若以邏輯變量為輸入，運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關(guān)系。注：在二值邏輯中，輸入/輸出都只有兩種取值：0/1。1.4.3邏輯函數(shù)及其表示方法常量，原變量，反變量？二、邏輯函數(shù)的表示方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖計算機(jī)軟件中的描述方式各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換真值表輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應(yīng)的取值邏輯式將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運(yùn)算式表示就得到邏輯式。邏輯圖用邏輯圖形符號表示邏輯運(yùn)算關(guān)系，與邏輯電路的實(shí)現(xiàn)相對應(yīng)。波形圖將輸入變量所有取值可能與對應(yīng)輸出按時間順序排列起來畫成時間波形?？ㄖZ圖EDA中的描述方式

HDL(HardwareDescriptionLanguage)

VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)

VerilogHDL EDIF DTIF

。。。

舉例：舉重裁判電路ABCY00000010010001101000101111011111各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換：真值表邏輯式例：奇偶判別函數(shù)的真值表A=0,B=1,C=1使

A′BC=1A=1,B=0,C=1使AB′C=1A=1,B=1,C=0使

ABC′=1這三種取值的任何一種都使Y=1,所以

Y=?ABCY00000010010001111000101111011110真值表邏輯式：找出真值表中使Y=1的輸入變量取值組合。每組輸入變量取值對應(yīng)一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。將這些變量相加即得Y。把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y，列表邏輯式邏輯圖1.用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符。邏輯式邏輯圖2.從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應(yīng)的邏輯運(yùn)算式。波形圖真值表從波形圖上找出每個時間段里輸入變量與函數(shù)輸出的取值，將輸入、輸出取值對應(yīng)列表輸入變量的取值與對應(yīng)輸出值按照時間順序依次排列起來1.4.4邏輯函數(shù)的基本公式和定律一基本公式根據(jù)與、或、非的定義，得表2.3.1的布爾恒等式證明方法：推演真值表序號公式序號公式101′

=0;0′=110

A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A變量與常量的關(guān)系結(jié)合律交換律分配律反演律重疊率此頁中′符號表示取非運(yùn)算。公式（17）的證明（公式推演法）：序號公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C吸收律還原律冗余律此頁中′符號表示取非運(yùn)算。1.4.5邏輯函數(shù)的三個規(guī)則一代入規(guī)則在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。應(yīng)用舉例：式（17）A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)？應(yīng)用舉例：式（8）？因此也可以推得（式中M為任意表達(dá)式）：二反演規(guī)則等式中

?

＋

＋

?0

1

1

0原變量反變量反變量原變量2個或2個以上變量的非號照寫

常量：運(yùn)算符：

⊙⊕⊕⊙保持運(yùn)算優(yōu)先順序不變得到原函數(shù)的反函數(shù)表達(dá)式例2求F=A+B+C+D+E的反演CF的反演=?D

?

?EAB?注意：不是單個變量上的反號應(yīng)保持不變例1求

F=AB+

?C?D+0的反演F的反演=(A+B)?(CD

+)

?1例3：三對偶規(guī)則等式中0

1

1

0變量不變

常量：

?

＋

＋

?運(yùn)算符：

⊙⊕⊕⊙2個或2個以上變量非號照寫

保持運(yùn)算優(yōu)先順序不變得到原函數(shù)的對偶函數(shù)表達(dá)式例1求F=A?(B+C)的對偶式F’F’=A+B?C例2求F=A?+A(0+C)的對偶式F’BF’=（A+?(A+1?C)B）例3F=A?B?C求的對偶F’

F’=A+B+C

對偶規(guī)則應(yīng)用舉例性質(zhì)推理①：F與F’

互為對偶②：兩個邏輯式相等，它們的對偶也一定相等（意義：邏輯函數(shù)基本公式的擴(kuò)展，等式證明和化簡中簡化復(fù)雜的乘積項展開過程）A+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)例

A?(B+C+D)=AB+AC+AD對偶對偶1.4.6邏輯函數(shù)化簡常用公式吸收律還原律冗余率冗余擴(kuò)展一、最簡的概念一個邏輯函數(shù)有多種不同的表達(dá)式F=AB+AC=AB+AC=(A+B)+(A+C)…..與或式…..與非/與非式…..或/與非式…..或非/或式=(A+B)?(A+C)=(A+B)?(A+C)=(A+B)+(A+C)=A?B+A?C=AB?AC…..或與式....或非/或非式…..與/或非式…..與非/與式=AB?ACF=(A+B)?(A+C)1.4.7邏輯函數(shù)的公式法化簡同一類型的表達(dá)式也不是唯一的F=AB+AC=AB+AC+BC=ABC+ABC+ABC+ABC………..①………..②………..③

+F1

+F3

+F2

F1最簡，元件少，可靠化簡方法

代數(shù)法卡諾圖法目的：①降低成本②提高可靠性邏輯函數(shù)的最簡形式最簡與或

------包含的乘積項已經(jīng)最少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。1、并項法邏輯函數(shù)的公式化簡法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則來化簡邏輯函數(shù)。利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。

若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。二、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法運(yùn)用摩根定律運(yùn)用分配律運(yùn)用分配律2、吸收法如果某乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。運(yùn)用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的變量。

如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。3、配項法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進(jìn)行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項配上其所能合并的項。（3）利用公式ＡB＋ＡC+BC＝ＡB+AC，為某項配上其所能合并的項。4、消去冗余項法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去?！剑记衫?F=A+ABC+ACD+CE+DE=A+ACD+CE+DE=A+CD+CE+DE=A+CD+E(C+D)=A+CD+ECD=A+CD+E反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。

×例2F=AB+AC+BC+BC+BD+BD+ADE(F+G)=A+BC+BC+BD+BD+ADE(F+G)=A(BC)+BC+BC+BD+BD+ADE(F+G)=A+BC+BC+BD+BD+CD=A+BC+BC+BD+BD+CD=A+BC+BC+BD+CD×=A+BC+BD+CD×例3F=(B+D)(B+D+A+G)(C+E)(C+G)(A+E+G)F’=BD+BDAG+CE+CG+AEG=BD+CE+CG+AEG=BD+CE+CG(F’)’=(B+D)(C+E)(C+G)例4F=A+AB+AC+BD+ACEF+BE+DEF=A+C+BD+BE歸納：

優(yōu)點(diǎn)是——不受變量數(shù)目的約束；當(dāng)對公理、定理和規(guī)則十分熟練時，化簡比較方便。

缺點(diǎn)是——沒有一定的規(guī)律和步驟，技巧性很強(qiáng)，而且在很多情況下難以判斷化簡結(jié)果是否最簡。公式法化簡法

一、最小項m：m是乘積項包含n個因子n個變量必以原變量和反變量的形式在m中出現(xiàn)一次且只出現(xiàn)一次對于n變量函數(shù)有2n個最小項1.5.1邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式

邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式

最小項之和-與或式最大項之積-或與式1.5邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式最小項舉例：兩變量A,B的最小項三變量A,B,C的最小項最小項的編號：最小項取值對應(yīng)編號ABC十進(jìn)制數(shù)0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項的和必為1。ABCABC②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。④兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。二、最小項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1。全體最小項之和為1

。任何兩個最小項之積為0

。兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。

------相鄰：僅一個變量不同的最小項如三、標(biāo)準(zhǔn)與或式——邏輯函數(shù)最小項之和的形式

求取方法1：例：利用公式可將任何一個函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)與或式——邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)與或式——邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：利用公式可將任何一個函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)與或式——邏輯函數(shù)最小項之和的形式：例：標(biāo)準(zhǔn)與或式——邏輯函數(shù)最小項之和的形式：

求取方法2：利用真值表——使函數(shù)值為1的變量取值對應(yīng)的最小項之和如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達(dá)式。m1＝ABCm5＝ABCm4＝ABCm2＝ABC將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項相加，便可得到反函數(shù)的最小項表達(dá)式。一、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)所有最小項1、卡諾圖的構(gòu)成

將邏輯函數(shù)真值表中的最小項重新排列成矩陣形式，并且使矩陣的橫方向和縱方向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列，這樣構(gòu)成的圖形就是卡諾圖。

2、卡諾圖的特點(diǎn)

卡諾圖的特點(diǎn)是任意兩個相鄰的最小項在圖中也是相鄰的。（相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項）。1.5.2圖解法——卡諾圖法每個4變量的最小項有4個最小項與它相鄰最左列的最小項與最右列的相應(yīng)最小項也是相鄰的最上面一行的最小項與最下面一行的相應(yīng)最小項也是相鄰的3、最小項的卡諾圖表示每個2變量的最小項有兩個最小項與它相鄰每個3變量的最小項有3個最小項與它相鄰二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)（1）將函數(shù)變換為與或表達(dá)式（不必變換為最小項之和的形式）；

（2）根據(jù)邏輯式中的變量數(shù)，畫出變量的卡諾圖；（3）在卡諾圖上將函數(shù)表達(dá)式中出現(xiàn)最小項對應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0或不填。1、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的步驟：m1m3m4m6m7m11m14m15變換為與或表達(dá)式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子

說明：如果求得了函數(shù)Ｙ的反函數(shù)Ｙ，則對Ｙ中所包含的各個最小項，在卡諾圖相應(yīng)方格內(nèi)填入0，其余方格內(nèi)填入1。2、卡諾圖的性質(zhì)（1）任何兩個（21個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。（2）任何4個（22個）標(biāo)1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。ＡＤＢＤＢＤ

相鄰最小項的數(shù)目必須為個才能合并為一項，并消去n個變量。包含的最小項數(shù)目越多，即由這些最小項所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達(dá)式就越簡單。這就是利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理。小結(jié)三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法和步驟：1）、畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；

2）、合并卡諾圖中的相鄰最小項（即將卡諾圖中相鄰的1方格畫在一個圈中）；

3）、將合并化簡后的各與項進(jìn)行邏輯加，便求得邏輯函數(shù)的最簡與--或式。邏輯表達(dá)式或真值表卡諾圖112、化簡示例合并最小項①圈越大越好，但每個圈中標(biāo)１的方格數(shù)目必須為個。②同一個方格可同時畫在幾個圈內(nèi)，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個標(biāo)１的方格。最簡與或表達(dá)式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項2233將代表每個圈的乘積項相加兩點(diǎn)說明

①在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達(dá)式各不相同，哪個是最簡的，要經(jīng)過比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最簡

②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達(dá)式都是最簡形式。即一個函數(shù)的最簡與或表達(dá)式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ約束項任意項邏輯函數(shù)中的無關(guān)項：約束項和任意項可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關(guān)項。在邏輯函數(shù)中，對輸入變量取值的限制（即不允許出現(xiàn)這些輸入變量取值），在這些取值下為1的最小項稱為約束項。在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或?yàn)?不影響邏輯電路的功能，在這些取值下