第1章邏輯代數(shù)及

邏輯函數(shù)化簡（數(shù)制與編碼一章自學）1.1數(shù)字與邏輯1.2邏輯代數(shù)的基本運算與公式1.3公式法化簡邏輯函數(shù)1.4邏輯函數(shù)的標準形式1.5圖解法(卡諾圖)化簡（重點）1.6表格法化簡(Q-M法)1.7邏輯函數(shù)的實現(xiàn)數(shù)字與邏輯(Digital&Logic)邏輯：研究思維的規(guī)律性；關于思維形式及其規(guī)律的科學；研究概念、判斷和推理以及相互聯(lián)系的規(guī)律、規(guī)則，以幫助人們正確地思維和認識客觀真理。學習工作時時處處離不開“邏輯”：講話要有邏輯性、寫論文邏輯層次要清晰；邏輯推理能力、邏輯判斷能力……數(shù)理邏輯：研究推理、計算等邏輯問題，又稱符號邏輯，是離散數(shù)學的重要內容，是計算機科學的基礎。數(shù)字邏輯：用二進制為基礎的數(shù)字化技術解決邏輯問題。數(shù)字與邏輯(Digital&Logic)邏輯代數(shù)：應用代數(shù)方法研究邏輯問題，又稱布爾代數(shù)，開關代數(shù)（還有開關理論，開關電路等），是邏輯化簡的主要工具。

數(shù)字邏輯電路的設計、分析，要借助于邏輯代數(shù)這一數(shù)學工具。邏輯代數(shù)中二值運算的公式、運算及定律要應用到數(shù)字邏輯電路。實現(xiàn)邏輯功能可用的數(shù)字電路： 1、數(shù)字集成電路 2、可編程邏輯器件(PLD)數(shù)字與模擬(Digital&Analog)

（離散與連續(xù)）digit原意泛指“數(shù)目的文字”。在計算機領域，digital與其它詞一起使用，主要用于區(qū)別“模擬”，指將連續(xù)變化的模擬量用二進制數(shù)表達和處理?，F(xiàn)實世界中存在模擬與數(shù)字兩大系統(tǒng)，電子數(shù)字計算機是最典型的數(shù)字系統(tǒng)。模擬量經(jīng)采樣、量化可轉換為數(shù)字量。數(shù)字量更便于加工、處理、傳輸、存儲等，可靠，抗干擾能力強。數(shù)字集成電路是實現(xiàn)數(shù)字量處理和運算的功能單元。+V-V電壓p2p時間+V-V電壓p2p時間+V-V電壓p2p時間(a)模擬表示(b)離散表示(c)脈沖表示無所不在的“數(shù)字化”技術以二進制為代表的數(shù)字化技術已經(jīng)滲透到人們日常生活的各個領域，改變了人們的工作和生活方式。現(xiàn)代數(shù)字化技術的核心就是計算機和網(wǎng)絡，計算機和網(wǎng)絡已經(jīng)溶入到各個領域，各個方面，無所不在，無所不能。DigitalX舉例：數(shù)字電視，數(shù)字電話，數(shù)碼相機，數(shù)字化儀表，數(shù)字化醫(yī)療設備，數(shù)字圖書館，數(shù)字博物館，數(shù)字化地球，數(shù)字化城市，西部數(shù)字鴻溝……數(shù)字邏輯領域的前沿技術多值邏輯模糊邏輯計算機輔助邏輯設計集成電路設計自動化可編程邏輯設計數(shù)字系統(tǒng)與模擬系統(tǒng)的混合設計數(shù)字電路的故障診斷與可靠性，等等軟件固化的設計方法

計算機系統(tǒng)演變過程系統(tǒng)的設計過程：第一步：軟件算法模擬；第二步：硬件固化硬件系統(tǒng)的發(fā)展：onsystemonboardonchip專用與通用結合，逐步由專用到通用軟件：靈活，可任意修改，但速度慢硬件：速度快，不可任意修改軟件與硬件在邏輯功能上是統(tǒng)一的，在硬件設計中逐步引進軟件可編程的思想，“以存代算的思想，各種可編程邏輯器件（PLD）為硬件設計帶來方便。1.1邏輯代數(shù)的基本運算與公式邏輯代數(shù)：二進制運算的基礎。應用代數(shù)方法研究邏輯問題。由英國數(shù)學家布爾(Boole)和德.摩根于1847年提出，又叫布爾代數(shù)，開關代數(shù)。邏輯函數(shù)的表示：真值表，表達式，邏輯門邏輯函數(shù)的生成：邏輯問題的描述，由文字敘述的設計要求，抽象為邏輯表達式的過程。然后才能化簡、實現(xiàn)，邏輯設計的第一步。邏輯代數(shù)的基本運算：與、或、非 (1)“與”運算，邏輯乘 (2)“或”運算，邏輯加 (3)“非”運算，取反邏輯代數(shù)的基本運算ABF真值表F=AB信息論的創(chuàng)始人香儂(Shannon)在1940年首先建立了用電子線路來實現(xiàn)布爾代數(shù)表達式，0，1分別代表電路的開、關狀態(tài)或高、低電平；命題為真，線路建立連結；命題為假，線路斷開連結。與非門（A、B是輸入，F(xiàn)是輸出）真值表，表達式，邏輯門ABF真值表F=AB實現(xiàn)“與非”邏輯

(NAND——NOT-AND)例：與非門（A、B是輸入，F(xiàn)是輸出）真值表，表達式，邏輯門ABF+實現(xiàn)“或非”邏輯(NOR——NOT-OR)真值表真值表，表達式，邏輯門ABF+實現(xiàn)“或非”邏輯(NOR——NOT-OR)真值表基本公式互補律1律0律BACK基本公式（續(xù)）交換律結合律分配律

基本公式（續(xù)）吸收律反演律(德·摩根定律)基本公式（續(xù)）包含律 推論：對合律重疊律如何驗證公式的正確性真值表利用基本定理化簡公式例：真值表驗證摩根定律1000A＋B1110A＋B1110AB100000011011ABAB如何驗證公式的正確性真值表利用基本定理化簡公式AB+AC+BC=AB+AC(?)（包含律）證明：AB+AC+BC=AB(C+C)+AC(B+B)+BC(A+A)=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=AB+AC1.2公式法化簡邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)化簡的目的:省器件！用最少的門實現(xiàn)相同的邏輯功能，每個門的輸入也最少。主要掌握與或表達式的化簡：(1)乘積的個數(shù)最少(用門電路實現(xiàn)，所用與門的個數(shù)最少)(2)在滿足(1)的條件下，乘積項中的變量最少(與門的輸入端最少)最簡的目標不同，達到的效果也不同。如果功耗最小或者可靠性最高是目標，化簡的結果完全不同！BACK與或表達式化簡例：展開：結合：互補律：互補律：BACK與或表達式化簡（續(xù)）例：BACK反演律:B+C=BC吸收律：A＋AB＝AB與或表達式化簡（續(xù)）包含配項展開合并例：與或表達式化簡（續(xù)）續(xù)上頁吸收律D+DC＝D＋C分配反演D＋C＝DC吸收律：BACK1.3邏輯函數(shù)的標準形式邏輯函數(shù)可以表示為最小項之和的形式（與或表達式）或者最大項之積的形式（或與表達式）應用最多的是最小項之和的形式，也叫最小項標準式。最小項也是卡諾圖化簡的基礎。BACK最小項(MinTerm)邏輯函數(shù)有n個變量，由它們組成的具有n個變量的乘積項中，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，這個乘積項為最小項。N個變量有2n個最小項。例如：n=3，對A、B、C，有8個最小項最小項(續(xù))對任意最小項，只有一組變量取值使它的值為1，其他取值使該最小項為0為方便起見，將最小項表示為mi n=3的8個最小項為：

最小項(續(xù))任何邏輯函數(shù)均可表示為唯一的一組最小項之和的形式，稱為標準的與或表達式某一最小項不是包含在F的原函數(shù)中，就是包含在F的反函數(shù)中例：BACK最大項(MaxTerm)n個變量組成的或項，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，則稱這個或項為最大項

例如：n=3的最大項為最大項(續(xù))對任意一個最大項，只有一組變量取值使它的值為0，而變量的其他取值使該項為1將最大項記作Mi任何一個邏輯函數(shù)均可表示為唯一的一組最大項之積，稱為標準的或與表達式n個變量全體最大項之積必為“0”某個最大項不是含在F的原函數(shù)中，就是在F的反函數(shù)中最大項(續(xù))例如：BACK1.4圖解法(卡諾圖)化簡邏輯函數(shù)卡諾圖(KarnaughMap):邏輯函數(shù)的圖示表示，把最小項填入卡諾圖，利用相鄰最小項的互補性，消去一個變量，實現(xiàn)化簡。卡諾圖的構成 (1)、由矩形或正方形組成的圖形 (2)、將矩形分成若干小方塊，每個小方塊對應一個最小項BACK2變量卡諾圖(KarnaughMap)2變量卡諾圖1整體為1左、右部分表示上、下部分表示2變量卡諾圖(KarnaughMap)2變量卡諾圖可由代表4個最小項的四個小方格組成m1

m2

m3m0

AB改畫成

2變量卡諾圖3變量KarnaughMap3變量卡諾圖由8個最小項組成，對應圖中8個小方格

BAC1000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m7

m6

注意：表中最小項編碼按00－01―11－10循環(huán)碼順序排列，而不是00－01－10－11（二進制計數(shù)的順序）什么是循環(huán)碼相鄰兩個編碼之間只有一位數(shù)不同，而且首尾兩個編碼之間也只有一位數(shù)不同，這種編碼叫循環(huán)碼。2位循環(huán)碼：000111103位循環(huán)碼：000001011010

110111101100特點：每次只變一位，相鄰兩數(shù)間只有一位不同；用在卡諾圖上，可以消去最小項的多余變量。循環(huán)碼是無權碼，而且不是唯一的編碼，如：01，00，10，11同樣具有2位循環(huán)碼的性質。4變量KarnaughMapBADC0011011000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m7

m6

m13

m12

m15

m14

m9

m8

m11

m10

卡諾圖化簡的步驟1按照循環(huán)碼規(guī)律指定卡諾圖變量取值；2在函數(shù)最小項對應的小方塊填“1”，其他方塊填“0”；3合并相鄰填“1”的小方塊，兩個方塊合并消去一個變量（一維塊）；4個方塊合并消去兩個變量（二維塊）；4合并過程中先找大圈合并，圈越大消去的變量越多；5使每一最小項至少被合并包含過一次；每個合并的圈中，至少要有一個“1”沒有被圈過，否則這個圈就是多余的?！芭c或”式化簡：例1將表達式F=AB+AC填入卡諾圖

BAC10001101100

0

10

01

1

1“與或”式化簡：例2BADC

110011011000110110“與或”式化簡：例2（續(xù)）BADC

1111110011011000110110“與或”式化簡：例2（續(xù)）BADC

111111001101100011011011“與或”式化簡：例2（續(xù)）BADC

11111100110110001101101111“與或”式化簡：例2（續(xù)）BADC

11111100110110001101101111“與或”式化簡：例2（續(xù)）BADC00110110001101100

0

1

1

1