線性代數(shù)總復(fù)習(xí)內(nèi)容總結(jié)行列式矩陣線性方程組矩陣的特征值與特征向量二次型一、行列式知識(shí)要點(diǎn)：行列式定義行列式性質(zhì)行列式展開(kāi)行列式計(jì)算（重點(diǎn)掌握）“Crammer”法則行列式定義：一、n級(jí)排列（逆序數(shù)、奇偶性）二、n階行列式的定義特別注意行列式各項(xiàng)的特征項(xiàng)的一

般形式行列式的性質(zhì)換行（換列）反號(hào)倍乘增倍性倍加不變性轉(zhuǎn)置不變性分拆原則，相加原則行列式的展開(kāi)掌握：

1、選取零元素較多的行（列）展開(kāi)；

2、將消元和展開(kāi)結(jié)合起來(lái)，迅速降階.行列式的計(jì)算（重點(diǎn)）常用方法：三角化法展開(kāi)降階法（和消元相結(jié)合最為有效）加邊法歸納法化為已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式等）利用分塊矩陣性質(zhì)Crammer法則方程的個(gè)數(shù)＝未知數(shù)個(gè)數(shù)若系數(shù)行列式不等于零，則方程組有唯一解特別注意方程組為齊次的情況本章所需掌握的題型：行列式計(jì)算（重點(diǎn)）

1、具體階數(shù)行列式計(jì)算

2、較簡(jiǎn)單的n階行列式計(jì)算與行列式定義、性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題需利用行列式進(jìn)行判定的問(wèn)題

如：1、“Crammer”法則判定方程組的解

2、矩陣可逆性

3、向量組相關(guān)性（向量個(gè)數(shù)＝向量維數(shù)）

4、兩個(gè)矩陣相似的必要條件

5、矩陣正定的充要條件二、矩陣知識(shí)要點(diǎn)：矩陣的基本定義和相關(guān)概念矩陣的關(guān)系、運(yùn)算和變換分塊矩陣可逆矩陣初等矩陣和初等變換，逆矩陣的求法矩陣的基本定義和相關(guān)概念矩陣的形狀，行數(shù)，列數(shù)，方陣；常見(jiàn)的特殊矩陣：

行、列矩陣，零矩陣（非零矩陣），三角陣，對(duì)角陣，單位陣，數(shù)量陣，對(duì)稱陣，反對(duì)稱陣、正交陣等；方陣的行列式矩陣的關(guān)系、運(yùn)算和變換矩陣的運(yùn)算：

1.加法、減法、乘法、除法（乘于逆矩陣），乘方（只適用于方陣）特別注意矩陣運(yùn)算中的反常情況（交換律、消去律、和數(shù)運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系）.

2.矩陣的求逆運(yùn)算.矩陣的關(guān)系

1.同型、相等、互逆；

2.等價(jià)關(guān)系、相似關(guān)系、合同關(guān)系

（重點(diǎn)研究）矩陣的分塊處理

1.分塊的合理性要求，保證運(yùn)算可行；

2.分塊運(yùn)算原則：“子塊視如元素”、“大轉(zhuǎn)小轉(zhuǎn)”

3.一些特殊的分塊矩陣（行（列）向量組、準(zhǔn)對(duì)角陣（其逆矩陣）、階梯型矩陣）矩陣的變換：

1.初等變換（最為重要，與初等矩陣乘積的關(guān)系）；

2.等價(jià)變換；

3.相似變換；

4.合同變換掌握要點(diǎn)：變換過(guò)程中的性質(zhì)和規(guī)律變換的最終目標(biāo)變換的具體用途可逆矩陣伴隨矩陣的定義及特性逆矩陣的求法：

1.二階矩陣用伴隨矩陣法；

2.三階以上一般用初等變換法.證明矩陣可逆的常用思路：

1.利用定義構(gòu)造矩陣B，使得AB＝E；

2.證明矩陣的行列式不等于零；

3.證明方陣滿秩；

4.證明矩陣和另外的可逆陣等價(jià)、相似或合同，或由可逆陣的乘積構(gòu)成.本章所需掌握的題型：矩陣的基本運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì)較為簡(jiǎn)單的分快矩陣運(yùn)算和求逆（準(zhǔn)對(duì)角陣）伴隨矩陣、可逆矩陣

1、與伴隨矩陣性質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題

2、矩陣可逆性的證明

3、逆矩陣的求法（初等變換法），求簡(jiǎn)單的矩陣方程

4、初等矩陣的運(yùn)算性質(zhì)、初等矩陣的逆矩陣

5、等價(jià)矩陣的性質(zhì)三、向量的線性相關(guān)性知識(shí)要點(diǎn)：向量的基本定義和相關(guān)概念向量的線性關(guān)系

（1）一個(gè)向量和向量組的關(guān)系；

（2）向量組內(nèi)部的關(guān)系；

（3）向量組與向量組的關(guān)系.向量組的秩、矩陣的秩向量的內(nèi)積、正交化正交矩陣重點(diǎn)要求的幾項(xiàng)技能：判定或證明向量組的線性相關(guān)性（行列式，秩，利用性質(zhì)）求向量組的秩、矩陣秩、極大線性無(wú)關(guān)組及線性表示向量組正交性判定，向量組的正交化、單位化線性表示（單個(gè)向量和向量組的關(guān)系）有解判定方程組特別當(dāng)表出向量組的“向量個(gè)數(shù)＝向量維數(shù)”時(shí)，則有：系數(shù)矩陣、增廣矩陣秩對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化階梯向量組的線性相關(guān)性（向量組內(nèi)部的關(guān)系）判定相關(guān)性：1、利用定義，特別注重線性無(wú)關(guān)判定的邏輯過(guò)程；

2、利用判定方程組（齊次線性方程組）,特別注重一些特殊情形下的判定；

3、利用一些相關(guān)性質(zhì).幾個(gè)重要關(guān)系：1、線性相關(guān)和線性表示的關(guān)系；

2、線性相關(guān)、線性表示、極大線性無(wú)關(guān)組和向量

組秩的關(guān)系.

3、線性表出（或等價(jià)）和向量組“大小”或“秩”的關(guān)系.

4、向量組秩和矩陣秩的關(guān)系.

5、方陣秩、行列式、可逆性、行（列）向量組相

關(guān)性、線性方程組（齊次、非齊次）的解況.

有非零解判定方程線性相關(guān)性的判別特別當(dāng)向量組的

“向量個(gè)數(shù)＝向量維數(shù)”

時(shí)，則有：當(dāng)向量維數(shù)<向量個(gè)數(shù)”時(shí)，則有向量組必線性相關(guān).與向量組線性相關(guān)性相關(guān)的結(jié)論定理：

向量組線性相關(guān)的充要條件是至少有一個(gè)向量可以被其余向量線性表出.定理：

向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是任何一個(gè)向量均不能被其余向量線性表出.“短”向量組無(wú)關(guān)必有“長(zhǎng)”向量組無(wú)關(guān)“長(zhǎng)”向量組相關(guān)必有“短”向量組相關(guān)“多”向量組無(wú)關(guān)必有“少”向量組無(wú)關(guān)

“少”向量組相關(guān)必有“多”向量組相關(guān)“多”向量組被“少”向量組表出，“多”向量組線性相關(guān).“線性無(wú)關(guān)”的向量組只可能被“不少于”它的向量組線性表出.任何向量組只可能被“秩不小于它的秩”的向量組線性表出.“等價(jià)無(wú)關(guān)組”具有相同的“多、少”通俗記憶 任何一個(gè)向量組都與其極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià). 一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組不唯一，且彼此等價(jià)，且含有相同個(gè)數(shù)的向量（秩）.極大線性無(wú)關(guān)組和向量組秩，矩陣秩1、向量組線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)

其“秩”等于向量組所含向量個(gè)數(shù).

2、向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)

其“秩”小于向量組所含向量個(gè)數(shù).兩個(gè)等價(jià)的向量組必定具有相同的秩.

（反之不正確）初等變換不改變矩陣的秩.等價(jià)矩陣具有相同的秩.矩陣轉(zhuǎn)置，秩不變.任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩不變.1.不改變列部分組的線性相關(guān)性.

2.將列極大無(wú)關(guān)組變?yōu)榱袠O大無(wú)關(guān)組.

3.不改變矩陣列向量組的線性表出方式.初等行變換：求向量組秩、極大無(wú)關(guān)組，表示方式行階梯型矩陣一個(gè)極大無(wú)關(guān)組原向量組一個(gè)極大無(wú)關(guān)組與初始向量組等價(jià)正交矩陣定義：正交矩陣的性質(zhì)：有關(guān)于向量組秩和矩陣的等式和不等式本章所需掌握的題型：向量組線性相關(guān)性的判定或證明向量組線性表示的判定或證明求向量組的秩、極大線性無(wú)關(guān)組、將其余向量用極大無(wú)關(guān)組表示線性無(wú)關(guān)向量組的正交化和單位化與向量組或矩陣秩有關(guān)的問(wèn)題與正交陣有關(guān)的一些問(wèn)題線性方程組重點(diǎn)：

利用增廣矩陣的初等變換判定方程組的解況，并求出解（或通解）AX=b有解R(A)=R(A,b)R<n無(wú)窮解無(wú)解R(A)R(A,b)R=n唯一解n-r個(gè)自由未知量一般（非齊次）線性方程組解況判定：AX=0R<n無(wú)窮多解（有非零解）R=n唯一解（只有零解）n-r個(gè)自由未知量必有零解特別，當(dāng)方程個(gè)數(shù)<變?cè)獋€(gè)數(shù)時(shí)，方程必有非零解.齊次線性方程組解況判定：齊次方程組和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系特征（特別所含解向量個(gè)數(shù)）以及通解表示，求法；非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，通解表示以及求法注意所介紹的簡(jiǎn)單求法本章所需掌握的題型：含參數(shù)線性方程組解況以及求解與齊次方程組的基礎(chǔ)解系特征，通解特征，非齊次線性方程組通解特征有關(guān)的問(wèn)題需利用線性方程組的解況判定的相關(guān)問(wèn)題，如向量組的線性相關(guān)性，線性表示等等矩陣的

相似對(duì)角化本章所需掌握的題型：與特征值、特征向量有關(guān)的問(wèn)題

1、特征問(wèn)題、特征多項(xiàng)式、特征矩陣，特征值、特征向量的求法；

2、由矩陣運(yùn)算或變型所演化出來(lái)的特征值、特征向量（逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣多項(xiàng)式等）

3、方陣、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量性質(zhì)相似矩陣

1、相似矩陣的一些性質(zhì)

2、矩陣可相似對(duì)角化的充要條件、充分條件

3、矩陣的相似對(duì)角化、實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化

4、相似矩陣的簡(jiǎn)單用途，求方冪等二次型可逆線性變換對(duì)二次型的變形線性變換可將二次型轉(zhuǎn)化為新二次型新舊矩陣間的關(guān)系A(chǔ)和B為合同矩陣

（合同變換）特征值期末考試的基本題型：選擇題（6題，12分）填空題（