復(fù)數(shù)的應(yīng)用本節(jié)我們研討復(fù)數(shù)應(yīng)用與幾何不等式。每個復(fù)數(shù)都對應(yīng)于復(fù)數(shù)平面上的一點，所有的復(fù)數(shù)都屬于復(fù)數(shù)集合，其標(biāo)準(zhǔn)符號為.下列的基本不等式是應(yīng)用的主要手段。定理：若，則證明：由復(fù)數(shù)定義：，（其中），則：，而：于是求證：即：當(dāng)時，左邊：右邊：可見左右兩邊的差異是與將它們的差異項平方后得到：左邊差異項：而右邊差異項：由均值定理：故：左邊右邊，即：式當(dāng)時成立，即：當(dāng)時，由已證：得：遞推下去得：.證畢。式是重要的不等式，它與絕對值不等式類似。由于復(fù)數(shù)平面是二維平面，所以常?？梢耘c平面向量不等式比較確認(rèn)。定理：對復(fù)數(shù)平面內(nèi)任意點，都有：此不等式稱為托勒密不等式。證明：設(shè)是對應(yīng)于在復(fù)數(shù)平面的復(fù)數(shù)，（點是個原點，對應(yīng)于）.于是，托勒密不等式變?yōu)椋?1\*GB3①恒等式：應(yīng)用三角不等式：=1\*GB3①式得證?！驹囶}7】設(shè)是內(nèi)任意一點，是的重心，證明下列不等式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵.PCABxy【解析】我們只證=1\*GB2PCABxy=2\*GB2⑵留給讀者.設(shè)為復(fù)數(shù)平面內(nèi)的點，并使對應(yīng)于點。我們需要證明的是：=1\*GB3①將三角不等式應(yīng)用于下列恒等式：則=1\*GB3①式得證?！驹囶}8】設(shè)內(nèi)部存在一點，使得成立。設(shè)直線和分別交邊和邊于和，試證：.ABCFDG【解析】設(shè)，，，（ABCFDG設(shè)，（）則：=1\*GB3①我們選擇用復(fù)數(shù)集合來解決這個幾何問題。點在復(fù)數(shù)平面的對應(yīng)點分別是：.（）這是因為，所以，則，ABCABCFDG由于是的角平分線，，由角平分線的長公式得：=2\*GB3②而由余弦定理得：=3\*GB3③將=3\*GB3③代入=2\*GB3②得：=4\*GB3④故：，，由于與轉(zhuǎn)角是，而對比=1\*GB3①式得：，則：，.這樣：，，則：要證明：即：=5\*GB3⑤由于=1\*GB3①式：，則：，于是：故=5\*GB3⑤式變?yōu)椋?6\*GB3⑥上式可以加強(qiáng)為：=7\*GB3⑦換元，令：，，，代入=7\*GB3⑦式得：=8\*GB3⑧因為：，，故：，即.同樣：，，故：，即：則：=9\*GB3⑨這里，為的共軛復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時，等號成立。由=9\*GB3⑨式