學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1.下列問題屬于排列問題的是()①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個不同的數(shù)作logab中的底數(shù)與真數(shù).A.①④ B.①②C.④ D.①③④【解析】根據(jù)排列的概念知①④是排列問題.【答案】A2.從2,3,5,7四個數(shù)中任選兩個分別相除，則得到的結(jié)果有()個 個個 個【解析】符合題意的商有Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12.【答案】C3.某段鐵路所有車站共發(fā)行132種普通車票，那么這段鐵路共有的車站數(shù)是() 【解析】設(shè)車站數(shù)為n，則Aeq\o\al(2,n)＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.【答案】B4.(2023·日照高二檢測)下列各式中與排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)相等的是()\f(n！,n－m＋1！)(n－1)(n－2)…(n－m)\f(nA\o\al(m,n－1),n－m＋1)\o\al(1,n)Aeq\o\al(m－1,n－1)【解析】Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，而Aeq\o\al(1,n)Aeq\o\al(m－1,n－1)＝n×eq\f(n－1！,n－m！)＝eq\f(n！,n－m！)，∴Aeq\o\al(1,n)Aeq\o\al(m－1,n－1)＝Aeq\o\al(m,n).【答案】D5.不等式Aeq\o\al(2,n－1)－n<7的解集為()A.{n|－1<n<5} B.{1,2,3,4}C.{3,4} D.{4}【解析】由Aeq\o\al(2,n－1)－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1<n<5，又因為n∈N＋且n－1≥2，所以n＝3,4.故選C.【答案】C二、填空題6.集合P＝{x|x＝Aeq\o\al(m,4)，m∈N＋}，則集合P中共有______個元素.【解析】因為m∈N＋，且m≤4，所以P中的元素為Aeq\o\al(1,4)＝4，Aeq\o\al(2,4)＝12，Aeq\o\al(3,4)＝Aeq\o\al(4,4)＝24，即集合P中有3個元素.【答案】37.從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為________.(填序號)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙.【解析】這是一個排列問題，與順序有關(guān)，任意兩人對應(yīng)的是兩種站法，故③正確.【答案】③8.如果Aeq\o\al(m,n)＝15×14×13×12×11×10，那么n＝______，m＝________.【解析】15×14×13×12×11×10＝Aeq\o\al(6,15)，故n＝15，m＝6.【答案】156三、解答題9.下列問題中哪些是排列問題？(1)5名學(xué)生中抽2名學(xué)生開會；(2)5名學(xué)生中選2名做正、副組長；(3)從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相乘；(4)從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相除；(5)6位同學(xué)互通一次電話；(6)6位同學(xué)互通一封信；(7)以圓上的10個點為端點作弦；(8)以圓上的10個點中的某點為起點，作過另一點的射線.【解】(2)(4)(6)(8)都與順序有關(guān)，屬于排列；其他問題則不是排列.10.證明：Aeq\o\al(k,n)＋kAeq\o\al(k－1,n)＝Aeq\o\al(k,n＋1).【證明】左邊＝eq\f(n！,n－k！)＋keq\f(n！,n－k＋1！)＝eq\f(n！[n－k＋1＋k],n－k＋1！)＝eq\f(n＋1n！,n－k＋1！)＝eq\f(n＋1！,n－k＋1！)，右邊＝Aeq\o\al(k,n＋1)＝eq\f(n＋1！,n－k＋1！)，所以Aeq\o\al(k,n)＋kAeq\o\al(k－1,n)＝Aeq\o\al(k,n＋1).[能力提升]1.若S＝Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＋…＋Aeq\o\al(100,100)，則S的個位數(shù)字是() 【解析】因為當n≥5時，Aeq\o\al(n,n)的個位數(shù)是0，故S的個位數(shù)取決于前四個排列數(shù)，又Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝33.【答案】C2.若a∈N＋，且a<20，則(27－a)(28－a)…(34－a)等于()\o\al(8,27－a) \o\al(27－a,34－a)\o\al(7,34－a) \o\al(8,34－a)【解析】Aeq\o\al(8,34－a)＝(27－a)(28－a)…(34－a).【答案】D3.有4名司機，4名售票員要分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有一名司機和一名售票員，則可能的分配方法有________種.【導(dǎo)學(xué)號：62980011】【解析】司機、售票員各有Aeq\o\al(4,4)種安排方法，由分步乘法計數(shù)原理知共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)種不同的安排方法.【答案】5764.滬寧鐵路線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門應(yīng)為滬寧線上的這六個大站準備(這六個大站間)多少種不同的火車票？【解】對于兩個大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張車票對應(yīng)于一個起