數(shù)列第二章章末復(fù)習(xí)內(nèi)容本章診療一、數(shù)列的概念精要總結(jié)1.數(shù)列的概念的理解。數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們是不同的數(shù)列，例如4，5，6，7，8，9，10與數(shù)列10,9,8,7,6.5.4是兩個不同的數(shù)列.數(shù)列的定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)；數(shù)列的性質(zhì)與集合中的元素相比較：①確定性：一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項是確定的的，集合中的元素也具有確定性；②可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素是不能重復(fù)出現(xiàn)；③有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成的數(shù)列“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列次序有關(guān)，而集合中的元素是無序的；④數(shù)列的每一項是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字的其它事物.2.對數(shù)列通項公式的理解（1）數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的函數(shù)的解析式.（2）如果知道數(shù)列中的通項公式，依次可以用去替代公式中的就可以求出這個數(shù)列中的各項，同時，可以利用數(shù)列的通項公式進行驗證某數(shù)是否是數(shù)列中的某項，是第幾項；（3）如所有的函數(shù)關(guān)系式都不一定有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項公式，例如的近似值，精確到,,，所構(gòu)成的數(shù)列為就寫不出數(shù)列的通項公式.（4）有的數(shù)列的通項公式，在形式上是不一定是唯一確定的，例如數(shù)列：的通項可以寫成也可以寫為，還可以寫為等，但是這些數(shù)列雖然形式不一樣但是實質(zhì)是一樣的，表示同一數(shù)列，還應(yīng)注意數(shù)列的通項還可以是分段函數(shù)的形式.3.數(shù)列與函數(shù)由于數(shù)列是以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序取值時，所對應(yīng)的一列函數(shù)值，因此數(shù)列的圖像是以序號為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)的一系列孤立點，依據(jù)函數(shù)的特性來研究數(shù)列的問題，比如數(shù)列的單調(diào)性、圖像、最值等數(shù)列的概念易錯點，利用函數(shù)研究數(shù)列往往忽視數(shù)列的定義域4.遞推數(shù)列與通項公式（1）通項公式直接反映了與之間的關(guān)系，即是的函數(shù)，知道任意一個值，可以求出該項的值；而遞推數(shù)列則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個（或多個）相鄰項之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由直接推導(dǎo)，（2）.如何用遞推公式給出一個數(shù)列用遞推數(shù)列公式給出一個數(shù)列，必須給出①“基礎(chǔ)”——數(shù)列的第1項或前幾項；②遞推關(guān)系————數(shù)列的任一項與它的前一項（或前幾項）之間的關(guān)系，并且這個關(guān)系可以用一個公式來表示.（3）.給出了遞推公式求數(shù)列的通項公式，常用累加、累乘、周期性等知識求解①如果滿足的規(guī)律時，可以有累加.②滿足時，可以有累乘.③為周期數(shù)列，則周期為（T為正整數(shù)）時，，可將轉(zhuǎn)化為處理.2.錯例辨析例2下列說法哪些是正確的？哪些是錯誤的？并說明理由（1）數(shù)列1,2,3，4可以表示為{1,2,3,4}（2）數(shù)列1,1,2,2與數(shù)列2,2,1,1是相同的數(shù)列（3）數(shù)列的第21項是（4）數(shù)列是無窮數(shù)列錯解：（2）（4）正確剖析：上面全錯搞清數(shù)列的概念正解：（1）錯誤，數(shù)列的表示不能與集合表示，所以是錯誤的；（2）錯誤，兩個數(shù)列的次序不同是不同的數(shù)列；（3）正確，數(shù)列的奇數(shù)項是，所以第項是；（4）錯誤，數(shù)列是有窮數(shù)列.例3已知下面數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的通項公式錯解：，所以通項為.剖析：由求一定要分兩種情況，當(dāng)時，，對含有參數(shù)的問題要注意參數(shù)進行討論正解：，當(dāng)時，.當(dāng)時，適合此等式；當(dāng)時，不適合此等式.時，；當(dāng)時，.二、等差數(shù)列1.精要總結(jié)（1）從第二項起每一項與前一項的差是一個常數(shù)，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列，常數(shù)必須相同，即表示為是同一個常數(shù)，(1)從函數(shù)角度看等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式，可以表示為，所以是的一次函數(shù)，其圖像是一系列孤立點，當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)是常函數(shù)，此時數(shù)列是常數(shù)列.（2）有兩點可以確定一條直線知，知道數(shù)列中的任意兩項可以求出數(shù)列的通項來；由中共含有四個量，知三個量可以求出通項公式中的第四個量，即“知三求一”.利用等差數(shù)列的性質(zhì)可以簡便易行，那么等差數(shù)列的性質(zhì)有搞清等差數(shù)列的性質(zhì)，在解決數(shù)列問題時，性質(zhì)優(yōu)先考慮，所以等差數(shù)列常用的性質(zhì)（1），那么；（2）；（3）分別是公差為等差數(shù)列，那么數(shù)列是公差為

但是注意在等差數(shù)列中，如果，不能推出.熟記等差數(shù)列的求和公式，關(guān)于的二次函數(shù)，但是沒有常數(shù)項，若有常數(shù)項就不是等差數(shù)列的前項和，可以根據(jù)二次函數(shù)求等差數(shù)列和的最大值與最小值；也可以根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性根據(jù)通項的正負確定最大項與最小項，等差數(shù)列和的性質(zhì)滿足每項的和仍成等差數(shù)列即仍成等差數(shù)列.1.等差數(shù)列的前項的和公式：是2.等差數(shù)列的前項和的推導(dǎo)過程相加可得這是數(shù)列求和的方法-----倒序相加求和.3.由等差數(shù)列求和公式若已知中的三個，可以求出其余的兩個.1.等差數(shù)列前項和的性質(zhì)有：①與的關(guān)系滿足；②若項數(shù)為，則且；若項數(shù)為，則.③等差數(shù)列每項的和仍成等差數(shù)列，即仍成等差數(shù)列.2.等差數(shù)列的前項的和公式與函數(shù)的關(guān)系來解決等差數(shù)列的前項和的最值問題（1）二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法來求等差數(shù)列的前項和的最值問題，注意；（2）用圖像法：利用二次函數(shù)的圖像的對稱性來確定的值，使取最值；（3）通項法：當(dāng)，時，為使的最大的正整數(shù)時，最大，這是因為：當(dāng)時，即遞增；當(dāng)時，即遞減；類似地，①當(dāng)為最大值；②當(dāng)為最小值.2.錯例辨析例4成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這四個數(shù).錯解：這四個數(shù)為，則由題設(shè)得解得所以所求的四個數(shù)為2,5,8,11.剖析：四個數(shù)成等差數(shù)列可以按設(shè)，但是注意公差不是，而是，再就是注意2,5,8,11.與與11,8,5,2.是不同的等差數(shù)列.正解：設(shè)這四個數(shù)為，則由題設(shè)得解得或所以，所求這四個數(shù)為2,5,8,11或11,8,5,2.例5在等差數(shù)列中，已知前項的和為，且求當(dāng)取何值時，有最大值，并求出最大項.錯解：設(shè)公差為，因為，所以由等差數(shù)列的前項和公式得，即，所以，當(dāng)時，所以當(dāng)時，最大，剖析：事實上是不正確的，應(yīng)當(dāng)滿足正解：設(shè)公差為，因為，所以由等差數(shù)列的前項和公式得，即，因為，所以，即，又因為，又因為，所以，故當(dāng)時有最大值，為.三、等比數(shù)列1.精要總結(jié)（1）在等比數(shù)列中公比，任何一項也不為零，從第二項起每一項與前一項的比是同一個常數(shù)，各項均不為零的常數(shù)列即是等差又是等比數(shù)列.（2）理解等比數(shù)列的通項公式，在通項公式中，知道中四個量中的三個可以求出另一量，可以推廣為：，三個數(shù)成等比數(shù)列,那么是的等比中項，所以.（3）等比數(shù)列的性質(zhì)①在等比數(shù)列中，公比是，當(dāng)或時，是遞增數(shù)列；當(dāng)或，時，是單調(diào)遞減數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列是常數(shù)列，當(dāng)是擺動數(shù)列；②在等比數(shù)列中，（）③在等比數(shù)列中，當(dāng)時，有.④若有窮等比數(shù)列中，則與首末等距離的兩項的積相等，即⑤在等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，那么成等比數(shù)列.（4）等比數(shù)列的前項和①等比數(shù)列的前項的和公式為，其中共涉及五個量，“知三求二”②前項和公式的應(yīng)用中，要注意前項和公式的分類討論，即與時不同的表達形式，不可忽略的情況，③錯位相減和裂項消去法是數(shù)列求和的基本方法，其中錯位相減法要注意等式兩邊所乘的數(shù)不能為，首末兩位不能含糊不清.（5）等比數(shù)列和的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì)：①與指數(shù)函數(shù)對應(yīng)；②成等比數(shù)列，公比為.③等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則，若項數(shù)為，則，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，可以事半功倍.有關(guān)應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于理解題意，建立起函數(shù)關(guān)系，當(dāng)函數(shù)關(guān)系與數(shù)列的通項公式相對應(yīng)時，考慮這些項是否為特殊的等差、等比數(shù)列中的項，有關(guān)增長率問題，一般歸結(jié)為等比數(shù)列的求通項、求和問題，應(yīng)用等比數(shù)列通項公式和前項和公式便可以解決.2.錯例辨析例6已知數(shù)列是非零等差數(shù)列，又a1,a3,a9組成一個等比數(shù)列的前三項，則的值是.錯解：忘考慮公差為零的情況.剖析：，正解：或，當(dāng)時，，當(dāng)時，.答案：1或例7在等比數(shù)列中，，求錯解：設(shè)公比為，則，兩式相乘可得剖析：一方面是和的等比中項，另一方面的符號確定在等比數(shù)列中的位置，錯解中沒有對的符號進行準(zhǔn)確的判斷致誤.正解：同上當(dāng)為奇數(shù)時，與的奇偶性相反，.當(dāng)為偶數(shù)時，與的奇偶性相同，即與同號，故四、數(shù)列求和的方法1.精要總結(jié)對于數(shù)列求和遇到等差或等比數(shù)列的可以利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式求和，那么不是等差或等比數(shù)列的求和可以有下面的方法①拆項相消求和，一般遇到分式或根式的數(shù)列把通項拆成兩項的差再求和，常用的，，注意拆成的兩項的差一定要與保持一致，否則配如適當(dāng)?shù)南禂?shù)；②錯位相減求和，一般遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列的積可以利用錯位相減求和，就是把寫出來，再同乘以公比，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列再求和，第一注意項數(shù)，再就是公比是參數(shù)時注意討論；③倒序相加求和；向等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，到首末兩端等距離的項數(shù)的和相等，這樣的數(shù)列可以利用倒序相加求和；④分項分別求和：遇到復(fù)雜的數(shù)列可以把數(shù)列的通項拆成幾部分在分別求和，不論采用哪一種方法，一般先求數(shù)列通項，根據(jù)通項再求和.2.錯例辨析例8求