學(xué)業(yè)分層測評(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξ－10123Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(2,5)則P(ξ＜3)＝________.【解析】P(ξ＜3)＝1－P(ξ≥3)＝1－P(ξ＝3)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)2．設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布P(ξ＝i)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))i，i＝1,2,3，則a＝________.【解析】由P(ξ＝i)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))i，i＝1,2,3，得P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,9)＋\f(1,27)))＝1，∴a＝eq\f(27,13).【答案】eq\f(27,13)3．籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為，則他罰球一次得分的概率分布為________．【答案】ξ01P4.(2023·蘇州高二檢測)對一批產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測，第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為ξ，則ξ＝k表示的試驗(yàn)結(jié)果為________．【答案】前k次檢測到正品，而第k＋1次檢測到次品5．隨機(jī)變量ξ的等可能取值為1,2，…，n，若P(ξ＜4)＝，則n＝________.【解析】∵ξ等可能取值為1,2，…，n.∴P(ξ＜4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＝，∴n＝10.【答案】106．若隨機(jī)變量X～0-1分布，P(X＝0)＝a，P(X＝1)＝eq\f(3,2)a，則a＝________.【導(dǎo)學(xué)號：29440036】【解析】∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3,2)a＝1，,0≤a≤1，,0≤\f(3,2)a≤1，))解得a＝eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)7．隨機(jī)變量ξ的概率分布列為P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)，n＝1,2,3,4，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))的值為________．【解析】∵P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))a，∴eq\i\su(i＝1,4,P)(ξ＝i)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))a＝eq\f(4,5)a＝1，∴a＝eq\f(5,4).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,6).【答案】eq\f(5,6)8．某籃球運(yùn)動(dòng)員在一次投籃訓(xùn)練中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差數(shù)列，且c＝ab，X023Pabc則這名運(yùn)動(dòng)員得3分的概率是________．【解析】由題中條件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性質(zhì)，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非負(fù)數(shù)，由三個(gè)方程聯(lián)立成方程組，可解得a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,6)，所以得3分的概率是eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)二、解答題9．寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)盒中有6支白粉筆和8支紅粉筆，從中任意取3支，其中所含白粉筆的支數(shù)為X；(2)從4張已編號(1～4號)的卡片中任意取出2張，被取出的卡片編號數(shù)之和為X.【解】(1)X可取0,1,2,＝i表示取出i支白粉筆，(3－i)支紅粉筆，其中i＝0,1,2,3.(2)X可取3,4,5,6,＝3表示取出分別標(biāo)有1,2的兩張卡片；X＝4表示取出分別標(biāo)有1,3的兩張卡片；X＝5表示取出分別標(biāo)有1,4或2,3的兩張卡片；X＝6表示取出分別標(biāo)有2,4的兩張卡片；X＝7表示取出分別標(biāo)有3,4的兩張卡片．10．已知隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)(1)求η1＝eq\f(1,2)ξ的概率分布；(2)求η2＝ξ2的概率分布．【解】(1)η1＝eq\f(1,2)ξ的概率分布為η1－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)(2)η2＝ξ2的概率分布為η20149Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)能力提升]1．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.令Y＝3X－2，則P(Y＝－2)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：29440037】【解析】由Y＝－2，得3X－2＝－2，X＝0.∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝.【答案】2．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X＝k)＝eq\f(c,kk＋1)，k＝1,2,3，c為常數(shù)，則P＜X＜＝________.【解析】∵ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋\f(1,3×4)))＝1，∴c＝eq\f(4,3)，∴P＜X＜＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).【答案】eq\f(8,9)3．已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是________．【解析】設(shè)隨機(jī)變量ξ取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質(zhì)得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))解得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))4．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝i)＝eq\f(i,10)，i＝1,2,3,4，求：(1)P(ξ＝1或ξ＝2)；(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(7,2))).【解】(1)∵P(ξ＝1)＝eq\f(1,10)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,10)，∴P(ξ＝1或ξ＝2)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＝eq\f(3,1