2022年山西省忻州市蘭村中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，則的最大值為（

）

A.5

B.3

C.2

D.6參考答案：A2.如圖（右）是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是（

）A．65

B．64

C．63

D．62參考答案：B3.函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內極值點有（

）

A、1個

B、2個

C、3個

D、4個參考答案：C略4.已知函數(shù)在區(qū)間上不存在極值點，則的最大值是（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C略5.在等差數(shù)列A.13

B.18

C.20

D.22參考答案：A6.等比數(shù)列{an}的首項a1=1，公比為q，前n項和是Sn，則數(shù)列的前n項和是（）A． B． C． D．參考答案：C考點：等比數(shù)列的前n項和．

專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結論．解答：解：由題意，數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列∴數(shù)列的前n項和是==故選C．點評：本題考查等比數(shù)列的求和公式，考查學生的計算能力，屬于基礎題7.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像如圖所示，對于滿足的任意、，給出下列結論：；；．其中正確結論的序號是（

）.A.①②

B.②③

C.

①③

D.③參考答案：B略8.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖都是斜邊長為2的直角三角形，俯視圖是半徑為1的四分之一圓周和兩條半徑，則這個幾何體的體積為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)三視圖判斷出幾何體的結構，并由此求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為四分之一的圓錐，其體積為，故選C.【點睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查圓錐的體積計算公式，屬于基礎題.9.奇函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+2）為偶函數(shù)，且f（1）=1，則f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1參考答案：D【考點】函數(shù)奇偶性的性質．【專題】函數(shù)的性質及應用．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質，得到f（x+8）=f（x），即可得到結論．【解答】解：∵f（x+2）為偶函數(shù)，f（x）是奇函數(shù)，∴設g（x）=f（x+2），則g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），則f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故選：D．【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，利用函數(shù)奇偶性的性質，得到函數(shù)的對稱軸是解決本題的關鍵．10.已知函數(shù)，設是函數(shù)的零點的最大值，則下列論斷一定錯誤的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.現(xiàn)有3個大人，3個小孩站一排進行合影.若每個小孩旁邊都不能沒有大人，則不同的合影方法有________種．（用數(shù)字作答）參考答案：360根據(jù)題意可得可以小孩為對象進行分類討論：第一類：2個小孩在一起:,第二類：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360種.

12.如圖是一個類似“楊輝三角”的圖形，第n行共有個數(shù)，且該行的第一個數(shù)和最后一個數(shù)都是,中間任意一個數(shù)都等于第－1行與之相鄰的兩個數(shù)的和，分別表示第行的第一個數(shù)，第二個數(shù)，…….第個數(shù),那么

.參考答案：13.經過點，的雙曲線方程是___________________.

參考答案：略14.直線y=2x+1的斜率為

．參考答案：2【考點】直線的斜率．【分析】根據(jù)斜截式直線方程y=kx+b的斜率為k，寫出斜率即可．【解答】解：直線y=2x+1的斜率為2．故答案為：2．15.已知函數(shù)沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍為_________.參考答案：(－2,+∞)【分析】利用換元法，設，得到在(0,+∞)上無解，然后分離參數(shù)，求出的范圍，從而得到a的取值范圍.【詳解】設，在上無解，分離參數(shù)得，則，當且僅當，即時取等號，因為與在上沒有交點，所以，故本題答案為.【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的應用，其中解答中把方程的根的個數(shù)問題轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題.16.已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像都過，如果，那么

．參考答案：17.在三棱錐P–ABC中，∠APC=∠CPB=∠BPA=，并且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC內一點，則M到三棱錐三個側面的距離的平方和的最小值是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去一部分后的直觀圖與三視圖中的側(左)視圖、俯視圖，側(左)視圖是底邊長分別為2和4的直角梯形，俯視圖是直角邊長為2的等腰直角三角形．（Ⅰ）求出該幾何體的體積；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCD；（Ⅲ）求直線CE與平面BDE的夾角正弦值．參考答案：解：（Ⅰ）由題意可知，四棱錐B－ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，所以，AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，則四棱錐B－ACDE的體積為．……4分（Ⅱ）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，

………5分設平面BDE和平面BCD的法向量分別為，取

………6分，取

………7分，∴平面BDE⊥平面BCD

………8分（Ⅲ），

………11分直線CE與平面BDE的夾角正弦值為

………12分略19.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2﹣n（n∈N*）．正項等比數(shù)列{bn}的首項b1=1，且3a2是b2，b3的等差中項．（I）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（II）若cn=an?bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和．【分析】（I）數(shù)列{an}的前n項和sn=n2﹣n，當n=1時，a1=s1；當n≥2時，an=sn﹣sn﹣1．可得an．利用等比數(shù)列的通項公式可得bn．（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：（I）數(shù)列{an}的前n項和sn=n2﹣n，當n=1時，a1=s1=0；當n≥2時，an=sn﹣sn﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．當n=1時上式也成立，∴an=2n﹣2．設正項等比數(shù)列{bn}的公比為q，則，b2=q，b3=q2，3a2=6，∵3a2是b2，b3的等差中項，∴2×6=q+q2，得q=3或q=﹣4（舍去），∴bn=3n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=an?bn=（2n﹣2）3n﹣1=2（n﹣1）3n﹣1，∴數(shù)列{cn}的前n項和Tn=2×0×30+2×1×31+2×2×32+…+2（n﹣2）3n﹣2+2（n﹣1）3n﹣1，…①

3Tn=2×0×31+2×1×32+2×2×32+…+2（n﹣2）3n﹣1，+2（n﹣1）3n，…②①﹣②得：﹣2Tn=2×31+2×32+…+2×3n﹣1﹣2（n﹣1）3n=2×=3n﹣3﹣2（n﹣1）3n=（3﹣2n）3n﹣3∴Tn=．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）討論函數(shù)的單調性；（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。參考答案：解：(1)的定義域為。

2分（i）若即,則故在單調增加。

3分

(II)考慮函數(shù)則由于1<a<5,故，即g(x)在(4,+∞)單調增加，從而當時有，即，故，當時，有·········12分21.（本小題滿分13分）某中學高二(1)班男同學有45名，女同學有15名，老師按照性別分層抽樣的方法組建了一個由4人組成的課外學習興趣小組．(1)求課外興趣小組中男、女同學的人數(shù)；(2)經過一個月的學習、討論，這個興趣小組決定從該組內選出2名同學分別做某項試驗，求選出的2名同學中恰有1名女同學的概率；(3)試驗結束后，同學A得到的試驗數(shù)據(jù)為68,70,71,72,74；同學B得到的試驗數(shù)據(jù)為69,70,70,72,74；請問哪位同學的試驗更穩(wěn)定？并說明理由．參考答案：略22.如圖，ABCD是塊矩形硬紙板，其中AB=2AD，，E為DC的中點，將它沿AE折成直二面角D﹣AE﹣B．（1）求證：AD⊥平面BDE；（2）求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】方法一：（1）由題設可知AD⊥DE，取AE的中點O，連結OD，BE．證明BE⊥AD即可得到AD⊥平面BDE．（2）由（1）知AD⊥平面BDE．AD⊥DB，AD⊥DE，故∠BDE就是二面角B﹣AD﹣E的平面角在Rt△BDE中，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值為．方法二（1）取AE的中點O，連結OD，BE，取AB的中點為F，連結OF，以O為原點，OA，OF，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系利用向量求解．【解答】方法一：解：（1）證明：由題設可知AD⊥DE，取AE的中點O，連結OD，BE．∵∴OD⊥AE．﹣﹣﹣﹣1

分又∵二面角D﹣AE﹣B為直二面角．∴OD⊥平面ABCE∴OD⊥BE﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵AE=BE=2∴AB2=AE2+BE2∴AE⊥BE又∵OD∩AE=O∴BE⊥平面ADE∴BE⊥AD﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵BE∩DE=E∴AD⊥平面BDE﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）知AD⊥平面BDE∴AD⊥DBAD⊥DE∴∠BDE就是二面角B﹣AD﹣E的平面角﹣﹣又∵BE⊥平面ADE∴BE⊥DE在Rt△BDE中，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，∴二面角B﹣AD﹣E的余弦值為﹣﹣﹣﹣﹣﹣

方法二（1）證明：由題設可知AD⊥DE，取AE的中點O，連結OD，BE．∵∴OD⊥AE．﹣﹣﹣﹣又∵二面角D﹣AE﹣B為直二面角，∴OD⊥平面ABCE﹣﹣﹣﹣﹣又∵AE=BE