課題3.2立體幾何中的量方法第76-79課時(shí)）（周三、周四、周五、周一；2010年元月6日、7日、8日、日）【教學(xué)標(biāo)】．在學(xué)習(xí)了方向向量的基礎(chǔ)上理解平面的法向量的概念，為進(jìn)一步運(yùn)用打好基礎(chǔ)；．學(xué)會(huì)由直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系及向量的運(yùn)算來判斷或證明直線、平面的位置系；．學(xué)會(huì)運(yùn)用直線的方向向量、平面的法向量及向量的運(yùn)算來解決關(guān)于直線、平面的夾角及距離問題（主要是關(guān)于角的問題）；．能初步利用向量知識(shí)解決相關(guān)的實(shí)際問題及綜合問題?！窘虒W(xué)點(diǎn)】【教學(xué)點(diǎn)】【教學(xué)程】

向量運(yùn)算在立體幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．在運(yùn)用向量知識(shí)解決立體幾何問題時(shí)的向量問題的轉(zhuǎn)化與恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方式．前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量的基本知識(shí)，并利用空間向量初步解決了一些立體幾何問題，已初步感受到空間向量在解決立體幾何問題中的重要作用，并從中體會(huì)到了向量運(yùn)算的強(qiáng)大作用。這一節(jié)，我們將全面地探究向量在立體幾何中的運(yùn)用，較系統(tǒng)地總結(jié)出立體幾何的向量方法。為此，首先簡(jiǎn)單回顧一下相關(guān)的基本知識(shí)和方法：．線l的方向的義．量特關(guān)及角最的空用標(biāo)示

（1a//b

；（2⊥

；（3aa=

；（4cos＜a,＞

。前面，我們主要是利用向量的運(yùn)算解決了立體幾何中關(guān)于直線的問題，如：兩直線垂直問題；兩直線的夾角問題；特殊線段的長(zhǎng)的問題等等……若再加入平面，會(huì)出現(xiàn)更多的的問題，如：線面、面面的位置關(guān)系問題；線面的夾角問題；二面角的問題等等……而且都是立體幾何中的重要問題，這些問題用向量的知識(shí)怎樣來解決呢？直線可由其方向向量確定并由其來解決相關(guān)的問題，平面又由怎樣的向量來確定呢？—這問就我將探或決主問…同學(xué)們都知道：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面。由此我們應(yīng)該會(huì)想象出怎樣的向量可確定平面的方向了……下面請(qǐng)同學(xué)們合作探究一下這方面的知識(shí)和方法：（）平的向：。（）直、面幾重的置系充條：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的幾何意義直觀地得出直線、平面的幾種特殊的位置關(guān)系的充要條件（用直線的方向向量或平面的法向量來表達(dá)）設(shè)直線l,的向向量分別為

a面，的法向量分別為

u，v

則：l

∥

；

l

⊥

；l

∥

；

l

⊥

∥；⊥

?！?/p>

小試牛】1．設(shè)直線l,的向向量分別為

a

，

，根據(jù)下列條件判斷直l,m的位置關(guān)系：

aaa

=（2，-1），=（1，2），b=（0，0），b

=（6，-3，-6；=（-2，32；=（0，0）。2．平面

的法向量分別為

u，v

，根據(jù)下列條件判平

置關(guān)系：

uuu

=（-2，2，），v=（1，2），v=（2v

=（6，-4，4；=（-2，-4，4；3．如圖，在正方體ABCDACD中，、分是BB、1111的中點(diǎn)，求證：D平．（你能用幾種方法呢？）

（）用量法明—面平平的定理【

定理】個(gè)面的兩相直與一平平，這個(gè)面行已：線

l,m和

平面

，ll與m交，l

∥

m∥證∥的法向量【分】據(jù)∥u∥v都是平

以只要證明∥v

即可需要證明u，v【證明直

l,m

的方向向量分別為

a

b

的法向量分別為

uv

，D11D11【點(diǎn)評(píng)量法解題“三步曲”：（1）化向量問題→（2進(jìn)行向量運(yùn)算→（3翻譯向量運(yùn)算結(jié)果，回到圖形問題.關(guān)于兩殊點(diǎn)間距離問題此類問題前面已經(jīng)接觸過，下面再來總結(jié)及拓展一下：?jiǎn)栴}

如圖一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行面,其中頂點(diǎn)A端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等,且它們彼此的夾角都是60°,么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系。【分析【解析

1

CA

D

BCA

B【點(diǎn)評(píng)到空間兩點(diǎn)間的距離問題，往往把兩點(diǎn)間的距離表示為以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向的。把向進(jìn)恰分解運(yùn)向量

模滿的系式：?uu

來進(jìn)行針對(duì)性地運(yùn)算和求解……【探究本題中平行六面體的另一條對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)?如果一個(gè)平行六面體的各棱長(zhǎng)都相,并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱的夾角都是等于這個(gè)平行六面體的對(duì)角線長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)?

,那么由3.本題的晶體相對(duì)的兩個(gè)面之間的距離是多?【分析顯然，第個(gè)問題問題.1似；第２個(gè)問題問題1逆向問題所列的式子應(yīng)該是一樣的，只不過未知數(shù)的位置不同……；第３個(gè)問題略有挑戰(zhàn)性，可把兩個(gè)面之間的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離或點(diǎn)到面的距離——對(duì)于這個(gè)問題，同學(xué)們可在課后先探究一下，以后在進(jìn)行總結(jié)……下面我們?cè)賮砜匆粋€(gè)問題.1逆向問題：?jiǎn)栴}.２圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B。從A，B直線

l

（庫(kù)底與水壩的交線）的距離和BD分為和b的為c,的長(zhǎng)為d。求庫(kù)底與水壩所成二面角余弦值。/8【分析如上面的分析，此題問題.1逆向問題，解決方法問題致……【解析

BCD

A【點(diǎn)評(píng)此可體會(huì)解決一類數(shù)學(xué)問題的方法，從而以靜制動(dòng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、法應(yīng)用的本質(zhì)。

方【探究

．題中如果AC和BD夾可以測(cè)出，而AB知，其他條件不變，可以計(jì)算出AB長(zhǎng)嗎？．果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角的長(zhǎng)且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？．果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于a，且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等，么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值嗎？【分析】然個(gè)問題又回到問題.1形式２個(gè)問題是問題.1逆向問題但第３個(gè)問題又是略有挑戰(zhàn)性，需要通過做輔助線構(gòu)出問.

２

的圖形模式……對(duì)于這個(gè)問題，同樣是同學(xué)們先課后探究一下，以后在進(jìn)行總結(jié)……關(guān)于直、平面的位關(guān)系的證及夾角問問題

如，在四棱錐—ABCD中底面ABCD是方形，側(cè)棱⊥底面ABCD，E是的點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)。求證：PA∥平面；求證：⊥面EFD求二面角－PBD的小。【分析題包括：判定直線與平面平行和垂直及計(jì)算二面角的大小——均可用向量方法來解決。題目中的

ＰＦＥＤＣ垂直條件非常適合建立空間直角坐標(biāo)系來表示向量。【解析

Ａ

Ｂ【點(diǎn)評(píng)此題涉及到的問題都是立體幾何中的重點(diǎn)問題。通過解決過程來看，若條件適合建立空間坐標(biāo)系系表示向量來解決問題還是較簡(jiǎn)潔的——轉(zhuǎn)化為目標(biāo)明確的坐標(biāo)運(yùn)算……(2)同學(xué)們可用傳統(tǒng)法（不用向量）解決一下，比較各自的特點(diǎn)，便于解決問題時(shí)能恰當(dāng)選擇方法——可大體上分為三種方法：傳統(tǒng)法；向量法；坐標(biāo)向量法。當(dāng)然也可把這三種方法結(jié)合起來使用……直線與平面所成的角怎樣用向量來解決呢？同學(xué)們可借助此題的背景來求直線PA與平PBC成角：關(guān)于點(diǎn)平面的距離題利用問題的條件（改為）求出點(diǎn)A平面PBC的離——總結(jié)出點(diǎn)到平面的距離的求法：/8關(guān)于實(shí)問題問題4.塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為在它的頂點(diǎn)處分別受力，，F(xiàn)，每個(gè)12力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是o，

FFF200kg2

，塊鋼板在這些力的作用下將怎樣運(yùn)動(dòng)？這三個(gè)力是多少時(shí)，才能提起這塊鋼板？【分析鋼板所受重力500

，

垂直向下作用在三角形的中心若能將各頂點(diǎn)處所受的力，，F(xiàn)用向量形式表示，求出合力，就能判斷鋼板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。12【解析【點(diǎn)評(píng)題是力的合成問題，用向量將其表示，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量來表示……知線思方線題線1．）設(shè)平的法向量為(1,2,-2),平面法向量為(-2,-4,k),∥則k=；則k=。（2l的方向向量為(2,1,m),平的法向量為(1,

,2),l

⊥

則m=；若l∥

則m=.2．圖，已知線段AB在面，段AC，段⊥AB，線段DD，DBD'30，如果AB＝，＝＝，求CD間的距離．或一個(gè)矩形ABCD以BD為折成直二面角求A、C之的距離3（）如圖，空間四邊形BCD的每條邊和長(zhǎng)都等于，點(diǎn)M,N分是CD的中點(diǎn)，求證：⊥ABMN⊥CDAMBNC（2）如圖，已知正方體ABCD——’CDC和CB相于點(diǎn)O,連結(jié)DO，求證：⊥C

DD

C’

’D

CA

B4.

如圖，、N分是棱長(zhǎng)為1的方體C'D

的棱'

、'

的中點(diǎn)．求異面直線MN與CD

所成的角．5．

如圖，正方體ABCD——’B’D中，點(diǎn)EF別是BB，CD的點(diǎn)。求證：面AED面AF’D’

C’A’

B’D

F

C

6．

如圖，正方體ABCD——’B’D中，點(diǎn)EF,GH,KL分別是AB，B，B’C，D’，’D，棱的中點(diǎn)。求證：A’⊥平面EF