山西省大同市吉家莊鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，集合，若，則的值為（

）.

A.

B.

C.或

D.0，或參考答案：D2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．y=x﹣1 B．y=（）x C．y=x+ D．y=ln（x+1）參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得出判斷單調(diào)區(qū)間，即可判斷即可．【解答】解：①y=x﹣1在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，②y=（）x是減函數(shù)，③y=x+，在（0，1）是減函數(shù)，（1，+∞）上為，增函數(shù)，④y=lnx在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，∴A，B，C不正確，D正確，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基本題目，關(guān)鍵掌握好常見的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．3.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A.

B.

C.

D.參考答案：D

當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，不論取何值都有成立.考察二次函數(shù)，可得所以.選D.4.已知某三棱錐的三視圖均為腰長為2的等腰直角三角形（如圖），則該棱錐的表面積為(

) A．6+2 B．6+4 C．12+4 D．8+4參考答案：A考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：先由三視圖判斷出幾何體的形狀及度量長度，然后利用三棱錐的表面積公式求出該幾何體的表面積．解答： 解：由三視圖得，該幾何體為底面和兩個(gè)側(cè)面為直角邊邊長為2的等腰直角三角形，另外一個(gè)側(cè)面是一個(gè)邊長為2的等邊三角形，故該棱錐的表面積為S=3××2×2+×=6+2，故選：A點(diǎn)評(píng)：解決三視圖的題目，關(guān)鍵是由三視圖判斷出幾何體的形狀及度量長度，然后利用幾何體的面積及體積公式解決．5.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（）A．

B．

C．

D．參考答案：A6.數(shù)列共有12項(xiàng)，其中，，，且，則滿足這種條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A.84

B.168 C.76

D.152參考答案：A略7.已知向量，=（3，m），m∈R，則“m=﹣6”是“”的（） A．充要條件 B． 充分不必要條件 C．必要不充分條件 D． 既不充分也不必要條件參考答案：C8.若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，⊥平面，，，，則球的表面積為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.若全集為實(shí)數(shù)集，集合=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.已知集合A＝{1，2，4}，則集合B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)為

A．3

B．6

C．8

D．9參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)=lg，若f(a)=，則f(－a)=

參考答案：答案：

12.某城市為促進(jìn)家庭節(jié)約用電，計(jì)劃制定階梯電價(jià)，階梯電價(jià)按年月均用電量從低到高分為一、二、三、四檔，屬于第一檔電價(jià)的家庭約占10，屬于第二檔電價(jià)的家庭約占40，屬于第三檔電價(jià)的家庭約占30，屬于第四檔電價(jià)的家庭約占20。為確定各檔之間的界限，從該市的家庭中抽查了部分家庭，調(diào)查了他們上一年度的年月均用電量（單位：千瓦時(shí)），由調(diào)查結(jié)果得下面的直方圖由此直方圖可以做出的合理判斷是

①．年月均用電量不超過80千瓦時(shí)的家庭屬于第一檔②．年月均用電量低于200千瓦時(shí)，且超過80千瓦時(shí)的家庭屬于第二檔③．年月均用電量超過240千瓦時(shí)的家庭屬于第四檔④．該市家庭的年月均用電量的平均數(shù)大于年月均用電量的中位數(shù)參考答案：①③④，

13.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，則=________；的解集為___________.參考答案：2；略14.函數(shù)的定義域是

參考答案：15.在直角坐標(biāo)平面xoy中，過定點(diǎn)（0,1）的直線L與圓交于A、B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程為_____________________．參考答案：16.（5分）已知x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a＞0）僅在點(diǎn)（2，0）處取得最大值，則a的取值范圍是．參考答案：（，+∞）【考點(diǎn)】：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【專題】：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的斜率k=﹣a＜0，要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)A（2，0）處取得最大值，則此時(shí)﹣a≤kAB=﹣，即a＞，故答案為：（，+∞）【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．17.設(shè)點(diǎn)滿足條件，點(diǎn)滿足恒成立，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積是

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．E5∵，∴，∵作出點(diǎn)P（x，y）滿足條件的區(qū)域，如圖，即，且點(diǎn)Q（a，b）滿足恒成立，只須點(diǎn)P（x，y）在可行域內(nèi)的角點(diǎn)處：A（1，0），B（0，2），成立即可，∴，即，它表示一個(gè)長為1寬為的矩形，其面積為：，故答案為．【思路點(diǎn)撥】由已知中在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y），則滿足的點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足，畫出滿足條件的圖形，即可得到點(diǎn)Q的軌跡圍成的圖形的面積．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）設(shè)拋物線C：y2=2x，點(diǎn)A(2,0)，A(－2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)．⑴當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；⑵證明：∠ABM=∠ABN．

參考答案：解：（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=2，可得M的坐標(biāo)為（2，2）或（2，–2）．所以直線BM的方程為y=或．（2）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN．當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2），則x1>0，x2>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．直線BM，BN的斜率之和為．①將，及y1+y2，y1y2的表達(dá)式代入①式分子，可得．所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM=∠ABN．綜上，∠ABM=∠ABN．

19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求三棱錐P－BCD的體積．參考答案：(1)證明省略；（2）820.已知函數(shù)，a∈R.（Ⅰ）若函數(shù)在(－∞,+∞)上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)在[a,a+2]上的最大值為3，求a的值．參考答案：（Ⅰ）依題意，函數(shù)在上至少有一個(gè)零點(diǎn)即方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.所以，解得.┅┅┅┅┅┅

5分（Ⅱ）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程是.①當(dāng)，即時(shí)，.解得或.又,所以.②當(dāng)，即時(shí)，解得.又,所以.綜上，或.

┅┅┅┅┅┅

14分21.已知函數(shù)f（x）=2x3+ax2+bx+3在x=﹣1和x=2處取得極值．（1）求f（x）的表達(dá)式和極值．（2）若f（x）在區(qū)間[m，m+4]上是單調(diào)函數(shù)，試求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的值為0，列出方程組，求出a，b，代入f（x）和f′（x）；令f′（x）＞0求出x的范圍即為遞增區(qū)間，令f′（x）＜0求出x的范圍為遞減區(qū)間，并利用極值的定義求出極值．（2）根據(jù)題意，令[m，m+4]在（﹣∞，﹣1）內(nèi)或在（2，+∞）內(nèi)或在（﹣1，2）內(nèi)，列出不等式組，求出m的范圍．【解答】解：（1）∵f′（x）=6x2+2ax+b∴即解得∴f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+3f′（x）=6x2﹣6x﹣12f′（x）＞0解得x＜﹣1或x＞2由f′（x）＜0解得﹣1＜x＜2故函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）遞增，函數(shù)在（﹣1，2）遞減所以當(dāng)x=﹣1時(shí)，有極大值10；當(dāng)x=2時(shí)，有極小值﹣17（2）由（1）知，若f（x）在區(qū)間[m，m+4]上是單調(diào)函數(shù)，需m+4≤﹣1或或m≥2所以m≤﹣5或m≥2【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性、考查極值的求法、考查函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間的子集上都是單調(diào)的．22.在高中學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們經(jīng)常這樣說：“數(shù)學(xué)物理不分家，如果物理成績好，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就沒什么問題．”某班針對(duì)“高中生物理學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響”進(jìn)行研究，得到了蘇俄生的物理成績與數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系的結(jié)論．現(xiàn)從該班隨機(jī)抽取5名學(xué)生在一次考試中的數(shù)學(xué)和物理成績，如表：成績

編號(hào)12345物理（x）9085746863數(shù)學(xué)（y）1301251109590（1）求數(shù)學(xué)成績y對(duì)物理成績x的線性回歸方程=x+（精確到0.1）．若某位學(xué)生的物理成績?yōu)?0分，預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績；（2）要從抽取的這五位學(xué)生中隨機(jī)選出2位參加一項(xiàng)知識(shí)競賽，求選中的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少有一位高于120分的概率．（參考公式：=，=﹣）（參考數(shù)據(jù)：902+852+742+682+632=29394，90××125+74×110+68×95+63×90=42595）參考答案：【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)先做出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即樣本中心點(diǎn)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程，利用方程，x=80