《函數(shù)及其象》全章復(fù)與鞏固—知講解（基）【習(xí)標(biāo)1.理解變量與常量、變量與函數(shù)直角坐標(biāo)系、函數(shù)圖象、平面直角坐標(biāo)系的概念，能正確畫平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)確定點(diǎn),以及點(diǎn)求出坐標(biāo)，掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的特征；2.了解函數(shù)的三種表示方列法析法和圖象法利用圖象數(shù)形結(jié)合地分析簡單的函關(guān)系；3.理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的念，會畫它們的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的基本性質(zhì)能用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；4.能寫出實(shí)際問題中一次函數(shù)關(guān)與反比例函數(shù)關(guān)系的解析式及自變量的取值范圍，并能應(yīng)用們解決簡單的實(shí)際問題；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，深刻理解和掌握函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)會用數(shù)學(xué)建模的方法與巧．【識絡(luò)【點(diǎn)理要一變與數(shù)常、量函（1）常量：在問題研究過程中取值始終保持不變的量，叫做常.（2）變量：在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量，叫做變.（3）函數(shù)：一般地，在一個變過程中.如果有兩個變量

與

，對于

的每一個值，y

都有唯一的值與之對應(yīng)，那么我們就說

是自變量，y

是因變量，也稱y

是

的函數(shù)

是

的函數(shù)，如果當(dāng)

＝

時

＝

b

，那么

b

叫做當(dāng)自變量為

時的函數(shù)值函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象.要二平直坐系有數(shù)定義：把有順序的兩個數(shù)a與b組成數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a，b)．要詮：有序，即兩個數(shù)的位置不能隨意交換，b)(b順序不同，含義就不同，如電影院的座位是排7號可以寫(，7)形式，而7，6)表示排．平直坐系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標(biāo).水平的數(shù)軸稱為x軸橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸縱軸，取向上方向?yàn)檎较?，兩坐?biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)如圖1).第1頁

共13頁

要詮：面直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成.點(diǎn)坐平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分向y軸作線，垂足在x軸、y軸對應(yīng)的數(shù)a，b分叫點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對a,b叫做點(diǎn)P坐標(biāo)，記:P(a,b)，如圖要詮：（1表示點(diǎn)的坐標(biāo)時，約定橫標(biāo)寫在前，縱坐標(biāo)寫在后，中間用“．（2點(diǎn)P(a，b)中，表點(diǎn)軸的離表示點(diǎn)到軸的離(3)對坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)都有唯一的一對有序數(shù)對x，y)和它對應(yīng),反過來對于任意一對有數(shù)對，在坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的一點(diǎn)與它對應(yīng)，也就是說，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序數(shù)對是一一對應(yīng)的坐平（1象限建立了平面直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面就被兩條坐標(biāo)軸分成如圖所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下圖．要詮：（1坐標(biāo)軸x軸y軸的(括原點(diǎn)不屬于任何象限．（2）方位來說：第一象限在坐標(biāo)平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第象限在右下方（2坐標(biāo)面的結(jié)構(gòu)第2頁

共13頁

坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以劃分為六個區(qū)域x軸y軸、一象限、第二象限、第三象限、第四象.這六個區(qū)域中，除了x軸與y軸一公共點(diǎn)（原點(diǎn)）外，其他區(qū)域之間均沒有公共.坐的征（1各個象限內(nèi)和坐標(biāo)軸上點(diǎn)坐標(biāo)符號規(guī)律要詮：（1對于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一個，不在這四個象限內(nèi)，就在坐標(biāo)軸.（2坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；y上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0．（3）據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號情況可以判斷點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的大概位置；反之，根據(jù)點(diǎn)在坐標(biāo)平面的位置也可以判斷點(diǎn)的坐標(biāo)的符號情況．（2象限的角平分線上點(diǎn)坐標(biāo)特征第一、三象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等，可表示(a；第二、四象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可表示(a，-a)．（3關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐特征P(a，b)關(guān)于x軸對的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,-b)；P(a，b)關(guān)于y軸對的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,b)；P(a，b)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐為(-a,-b)（4平行于坐標(biāo)軸的直線上的平行于軸直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；平行于軸直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相.要三一函、一函的義一次函數(shù)的一般形式為

y，中k是常數(shù)，特別地，當(dāng)b＝0，一次函數(shù)y即ykx（k≠0），是正比例函.、一函的象如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的形，就是這個函數(shù)的圖象要詮：直線

y

可以看作由直線y平移|b|個位長度而得（＞0時向上平移當(dāng)＜0時，向下平移）.說明通過平，函數(shù)

y

與函數(shù)

ykx

的圖象之間可以相互轉(zhuǎn).、一函的質(zhì)掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（對比正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)）第3頁

共13頁

要詮：理解

k

、

b

對一次函數(shù)ykx的象和性質(zhì)的影響：（1）決定直線

y

從左向右的趨勢（及傾斜角的小——傾斜程度b決它與y

軸交點(diǎn)的位置，k、b起決定直線經(jīng)過的象限．（2）兩條直線

l1

：

y1

和

l2

：

yx22

的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：k1

2

l1

與

l2

相交；k，l與l平；1121k，11

l與l重；1（3）直線與一次函數(shù)圖象的聯(lián)與區(qū)別一次函數(shù)的圖象是一條直線；特殊的直線x直線y、求次數(shù)表式

不是一次函數(shù)的圖象待定系數(shù)法：先設(shè)待求函數(shù)表達(dá)式（其中含有待定系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程或方程組，求待定系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù).、用數(shù)觀看程組與等第4頁

共13頁

的的方程（組等式問題

函從“數(shù)”的角度看

數(shù)問題

從“形”的角度看求關(guān)于、

的一元一次

為何值時，函數(shù)

y

的

確定直線

y

與軸方程的解

＝0（a≠0）

值為0？

（即直線＝0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求關(guān)于、y的二一次方程組解．

，1x．2

為何值時ya1函數(shù)x的值相等？22

與確定直線ya與直線1yx的點(diǎn)的坐標(biāo)22求關(guān)于的一元一次不等式＞0（a≠0）解集

為值時，函數(shù)值大于0？

y

的

確定直線在x軸（即直線＝0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍要四反例數(shù)反比例數(shù)定一般地，形如

y

kx

(為常數(shù)，k)的數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是變量，y是函數(shù)，自變量的值范圍是不等于0的一實(shí).反比例函數(shù)解析式的確定方法是待定系數(shù)法.由反比例函數(shù)

中，只有一個待定系數(shù)k，此只需要知道一對x、y的應(yīng)值或圖象上的一個點(diǎn)的標(biāo)，即可求出k的，從而確定其解析.要詮：

y

kx

中，自變量取值范圍是

，

y

x

(

)可以寫成()的式，也可以寫成

的形式反比例數(shù)圖和質(zhì)（1反比例函數(shù)圖象反比例函數(shù)

y

kx

的圖象是雙曲線兩分支個支分別位于第一限第二、四象限它關(guān)于原點(diǎn)對稱反例函數(shù)的圖象與x軸、y軸沒有交，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交．要詮：觀察反比例函數(shù)

的圖象可得：和的都不能為，并且圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)．①

y

kx

(

的圖象是軸對稱圖形，對稱軸為

yx和

兩條直線；第5頁

共13頁

②y

kx

(

的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點(diǎn)0，0k③y和x

(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象關(guān)

軸對稱，也關(guān)于y

軸對稱注：正比例函數(shù)x與比例函數(shù)1

kx

，當(dāng)k時兩圖象沒有交點(diǎn)；k0時兩圖象必有兩個點(diǎn)，且這兩個交點(diǎn)關(guān)于原1點(diǎn)成中心對稱.（2反比例函數(shù)的性質(zhì)①圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)當(dāng)

k

時，、y號，圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)，y隨的大減??；當(dāng)

k時，x、y異，圖象在第二、四象限，且在每個象內(nèi)，隨的大而增.②若點(diǎn)

b)在反比例函數(shù)y

kx

的圖象上，則點(diǎn)（

）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱③正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較正比例函數(shù)解析式

反比例函數(shù)圖像

直線

有兩個分支組成的曲線（雙曲線）位置增減性

kkkk

，一、三象限；，二、四象限，隨x的大而增大，隨x的增大而減小

kkkk

，一、三象限，二、四象限，在每個象限，y隨的大而減小，在每個象限，y隨的大而增大④反比例函數(shù)y＝

中

的意義第6頁

共13頁

過雙曲線y

kx

(

k

≠0)上任一點(diǎn)作軸軸垂線，所得矩形的面積為

.過雙曲線y

kx

(k≠0)上任一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.要五實(shí)與索數(shù)學(xué)建的般路數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程，為了既合乎實(shí)際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進(jìn)行抽象化簡，而這一過恰是我們的分析、抽象、綜合、表達(dá)能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實(shí)際情景通過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為什樣的函數(shù)模型正確認(rèn)實(shí)問的用在實(shí)際生活問題中，如何應(yīng)用函數(shù)知識解題，關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)綜合方程（組式（組）及圖象求.要詮：注意結(jié)合實(shí)際，確定自變量的取值范圍，這是應(yīng)用中的難點(diǎn)，也是中考的熱門考選擇最方問分析問題的實(shí)際背景中包含的變量及對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型在分析解決實(shí)際問題中的重要作【型題類一函的念1.下列說法正確的是）A.變xy

滿足2y

，則

是

的函數(shù)；B.變xy

滿足|x

，則

是

的函數(shù)；C.變

y

滿足

yx

，則

是

的函數(shù)；D.變xy滿足y

2

2

，則y是的數(shù)【答案】；【解析】B、C、D三個項(xiàng)，對一個確定的x的，都有兩個值它應(yīng)，不滿足單值對應(yīng)的條件，所以不是函.【結(jié)華理解函數(shù)的概念，關(guān)鍵是函數(shù)與自變量之間是單值對應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，數(shù)值是唯一確定的舉反：【變式】如圖的四個圖象中，不表示某一函數(shù)圖象的是（）第7頁

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【答案】；類二平直坐系2.已知點(diǎn)A(-3，2)與點(diǎn)，y)同一條平行于軸的線上，且點(diǎn)到x軸距等于3，求B的坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】由“點(diǎn)A(-3，2)點(diǎn)B(x，y)同一條平行于y的直線上”可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；“點(diǎn)B到x軸距離等于3”可得B的坐標(biāo)為﹣，即可確定B的坐．【答案與解析】解：如圖，∵點(diǎn)B與點(diǎn)在同條平行于的直線上，∴點(diǎn)B與點(diǎn)的橫標(biāo)相同，∴x＝-3．∵點(diǎn)B到x軸距離為3，∴y＝3或y＝-3．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是-3，3)或(-3，-3)【總結(jié)升華在B的坐標(biāo)為3的條下，點(diǎn)B到的距離等于3，則點(diǎn)B可在第二象限也可能在第三象限，所以要分類討論，防止漏解．舉反：【變式1】若x軸的點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為3則點(diǎn)的標(biāo)為（）.A，0）B，0）或–3）C，3）D，3）或0，）【答案】B.第8頁

共13頁

【變式2角標(biāo)系中在第二象限且P到軸的距離分別為2的標(biāo)是_________若去掉點(diǎn)P在第象限這個條件，那么P的坐標(biāo)________.【答案）.類三一函3.（春?高新區(qū)期末）已知點(diǎn)A（4，0及在第一象限的動點(diǎn)（x，yx+y=6，O為標(biāo)原點(diǎn)設(shè)△OPA的面積為S．（1求S關(guān)x的數(shù)解析式；（2求x的值范圍；（3當(dāng)S=6時，求P點(diǎn)標(biāo)．【思路點(diǎn)撥）根據(jù)三角形的積公式即可得出結(jié)論根據(jù)1）中函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)P在第象限即可得出結(jié)論）代（）中函數(shù)關(guān)系即可得出值，進(jìn)而得出y的．【答案與解析】解）∵A和P點(diǎn)坐標(biāo)分別是4，0∴S=．∵x+y=6，∴y=6﹣x．∴S=2（6﹣x）=12﹣2x．∴所求的函數(shù)關(guān)系式為：﹣2x+12（2由（）得S=﹣2x+12＞0解得：＜6又∵點(diǎn)在一象限，∴x＞0，綜上可得的范為0＜x＜6（3∵S=6∴﹣2x+12=6，得x=3．∵x+y=6，∴y=6，P（3，3【結(jié)華本考查的是一次函數(shù)的質(zhì)，熟知一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．舉反：【變式秋南校級期末）已知一次函數(shù)y=kx+b的象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，5且y軸相于點(diǎn)P，直線﹣x+3與x軸交點(diǎn)B與軸相交于點(diǎn)，恰與關(guān)于x軸稱（1求這個一次函數(shù)的表達(dá)式（2求△ABP的積．【答案】解）當(dāng)x=0時y=﹣x+3=3則Q（0，3∵點(diǎn)Q恰點(diǎn)P關(guān)x軸稱，∴P（0，﹣3第9頁

共13頁

把P（0，﹣3（﹣2，5）代y=kx+b得所以這個一次函數(shù)解析式為y=﹣4x﹣3（2當(dāng)y=0時，﹣x+3=0，得x=6則（6，0

，解得，當(dāng)y=0時，﹣4x﹣3=0，解得x=，直線y=﹣3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0所以△ABP的積×（6+）×5+×（6+）×3=274.已知正比例函數(shù)

ykx

（

k

）函數(shù)值y

隨

的增大而減小，則一次函數(shù)

y

的圖象大致是圖中的（【答案】；【解析】∵y隨的增大而減小，∴k＜0．∵

y

中

的系數(shù)為1＞0，

k

＜0，∴過一、三、四象，故選B．【結(jié)華本題綜合考查正比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，k＞0時，函數(shù)值隨自變量的大而增大．舉反：【變式正例函數(shù)

的圖象上兩點(diǎn)A(x,y),B(,y)112

x1

時有

y1

2

,那么的值范圍(A．

m

B．

m

C．

D．

【答案】A；提示：由題意y隨著的大而減小，所以類四反例數(shù)

2

，選A答案.5.如圖所示P是比例函數(shù)

y

x

圖象上一點(diǎn)，若圖中陰影部分的面積是2，求此反比例函數(shù)的關(guān)系式．第10頁

共13頁

OBOB【思路點(diǎn)撥要函數(shù)關(guān)系式，必須先求出點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的絕對值是矩形的邊長．【答案與解析】

k

的值P點(diǎn)在函數(shù)的圖象上又是矩形的頂點(diǎn)，也就是說解：設(shè)P點(diǎn)坐為(x，y

)，由圖可知，P點(diǎn)第二象限，x，y

＞0．∴圖陰影部分矩形的長、寬分別為－

、

．∵矩的面積為2，∴－xy

＝2，∴xy

＝．∵

＝

k

，∴

k

＝－2．∴此比例函數(shù)的關(guān)系式是

y

x

．【總結(jié)升華】此類目，要充分用過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸垂所得矩形面積為k這一條件，進(jìn)行坐標(biāo)、線段、面積間的轉(zhuǎn)換．舉反：【變式如圖過反比例函數(shù)

y

x

(

的圖象上任意兩點(diǎn)AB分別作x軸垂線垂為

、

'

，連接OA，'與OB的點(diǎn)為P記AOP與梯形''B的積分別為

、

，試比較

與

的大小【答案】解：∵

S

AOP

AOA

，

SA

OB

且

S

111xSx22∴

.類五實(shí)與索6.（2016?臨沂）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展．小明計劃給朋友快一部分物品，經(jīng)了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適．甲公司表示：快遞物品不超千的，按千克22第11

共13頁

元收費(fèi)；超過1千，超過的部按每千克元收．乙公司表示：按每千克16元費(fèi)，另加包裝費(fèi)3元．設(shè)小明快遞物品x千克．（1請分別寫出甲、乙兩家快公司快遞該物品的費(fèi)用y元）與x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式（2小明選擇哪家快遞公司更錢？【思路點(diǎn)撥）根據(jù)“甲公司費(fèi)起步價超出重量×續(xù)重單價”可得出y關(guān)x的數(shù)系式，根據(jù)“乙公司的費(fèi)用快重量×單+包裝費(fèi)用”即可得出關(guān)x的函數(shù)關(guān)系式；（2分0＜x≤1和x＞