(省懷寧縣江學(xué)sinγin則sinθ2 一般符合某種條件的定點(diǎn)都具有兩個(gè)性質(zhì)

又AB=S△PAB=sinγ 一是存在性;二是唯一性.也就是說,它既 S AR=S△GAR=sin S 通過研究定值,尋找定點(diǎn)的位 定點(diǎn)問題與定值問題關(guān)系密切,前者 BC=RC2,即RC BC究定值來尋找定點(diǎn)的位置,無疑是一種有 由于ABBC皆為定長線段,

的方法例 已知直線上的三個(gè)定點(diǎn)依次ABC,Γ為過AC且圓心不在AC

由于QPAC內(nèi)部,由塞瓦定理的三sinγsinβsinβ圓.AC兩點(diǎn)作與圓Γ

=于點(diǎn)P,PB交圓Γ于點(diǎn)Q.證明∠AQC的平分AC的交點(diǎn)是定點(diǎn).講解:如圖1∠AQC的平分線交AC于點(diǎn)R,延長QR交圓Γ于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)AG、CG易知AG=CGPA=APQ 其余相等的角用αβ表示

收稿日期:2005-12-定值,AR為定值因此,點(diǎn)R的位置固定不變,即不論圓Γ的大小怎樣變化,∠AQC的平分線與AC的交點(diǎn)R恒為定點(diǎn).思考:若點(diǎn)Q在優(yōu)弧AC,仍然作∠AQC的平分線交AC于點(diǎn)R.此時(shí),?2ABOQ是OBPQ⊥AB,PO上,MNO上,

=∠PQNMN∩AB=S.證明O⊙O延長NQM,OMOM.因?yàn)椤?∠PQNPQ⊥AB,QM.ABO∠MQM的公共對(duì)稱軸,從而,AM,AOM.1

EO·BD·AC=OBDA∠AOM

DA2 ·2 A=∠MNM=∠MNQMOQN四點(diǎn)共圓.,∠BQN=∠OMN.OROQ=aRa均為OQM=∠BQN=∠OMN=∠OMS

△DB △CAQEOBQ AD AB∠QOM=∠MOS

··

·OBQF

BDAC AD △OQM△OMSOQ=OM OS=OM2 OSAB,O為定點(diǎn),故S是一個(gè)定點(diǎn).思考:PO的切線是否通過定線與直線MN的交點(diǎn)是定點(diǎn)”,你看如何?通過研究動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律,不離.研究動(dòng)點(diǎn)的活動(dòng)規(guī)律,對(duì)于尋找定點(diǎn)的例3已知銳角△ABC是一個(gè)定三角,兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)DE分別在邊ABAC又DF⊥BC,EG⊥BC,FG是垂足.設(shè)BE∩CD=OFE∩GD=P證明:OP

=ABDFCE=ABAQAC=· ·ACBD· ·OP注:OPBC點(diǎn)Q,然后設(shè)法證明AQ⊥BC.感的讀者例 已知定直線l與定⊙O相離,⊥lD.過l上的動(dòng)點(diǎn)PPA、PB⊙OAB,DMPAMDNN證明:MN恒過某一個(gè)定點(diǎn).(1994塞浦路斯數(shù)學(xué)競賽)講解:如圖4OPOAOB、DB,ABODQ,DL⊥AB于L=∠OB一定點(diǎn)

= = 高AQ,則垂足Q是一個(gè)定點(diǎn)下面證明:OPQ,OPQ三點(diǎn)共線 圖

所以,PAOBD五點(diǎn)共圓即點(diǎn)D△PAB的外接圓上MNL三點(diǎn)共線MNODGOP⊥AB∠GLD=∠NLD==∠PBD=∠POD故GL=GD.由于QDRt△QDL的斜邊,易得下面只須證明QD的長度為定值.O半徑為ROD=d,Rd均為定長PAOBDAOBDODB=∠OAB=∠OBA=∠OBQ所以, OQ=OD=d

定點(diǎn)(46講解:這是一個(gè)饒有趣味且頗費(fèi)思考的競賽題ACBD中垂線的交點(diǎn)S.5,BX∥AC∥DY,XY都在直線EF上.聯(lián)結(jié)SASBSCSDSQSR.易得 △EXBQD=d

d2-d

DF=BEAF=CE,QB=BX,AR=AF=CE=CRQD,MNOD的交點(diǎn)即QD中點(diǎn)G當(dāng)然是定點(diǎn).

DYRC=BX

B 注:OPD,∠OPAβ,=α+∠NDGαβ.可利用三角法本文所涉及的定點(diǎn)問題可分為兩條直線的交點(diǎn)

,QB=RC QB= 1故RC=AC=2 =CN 1 2一條直線與一條圓弧的交點(diǎn)兩條圓弧的交點(diǎn)無論屬于哪一種情況應(yīng)該說難度都很大難就難在:定點(diǎn)到底在哪里?從何下手?5ABCDBC=AD,且BC不平行于ADEF分別在邊BC、AD,BE=DFACBD相交于點(diǎn)P,直線BDEFQ,直線

EFACR.證明:當(dāng)點(diǎn)EF△PQRP外=CN-RC=NRBM- ,NR=AC SA=SCSD=SBAD=BC, △SCBASD=

=因此, △BSD SN=AC 所以,Rt SRN=∠SQM=外接圓通過定點(diǎn)S.

=∠L=∠MLNE=BN+BE=AM+AC+=AM+AC+CL=ML 注:本例中的BC=AD和BC不平行 sin∠N sin∠NAD是十分必要的.否則,若BC∥AD,則四 形ABCD為平行四邊形.這時(shí),ACBD的 sin∠ML sin∠MP分別ACBD的中而符合條件的EFP.,△PQR就蛻化為一個(gè)例 在△ABC中,D是AB的中點(diǎn),EBCAC=BE-ECCACBMNAMBN,ED交MNF求證:過FMN的直線講解:這又是一個(gè)頗費(fèi)思考且饒有趣味的幾何題.其定點(diǎn)是AB的中垂線與△外接圓的交點(diǎn)G,它是優(yōu)弧ACB的中點(diǎn) △GBNGM=GN△GMN為等腰三角形.欲證過點(diǎn)F且垂直于MNG,FMN的中點(diǎn)即可,延長BCK使CK=AC.AK,再延長FEAC得交點(diǎn)LBE-EC=AC,BE=EC+AC=EC+CK=故DEBAK的中位線.

∠NEF∠K=∠CA,得NF1NF=FGMNMN的中,GF必是底MN的中垂,即過F作MN的垂線通過定點(diǎn)G.注:本題的關(guān)鍵是證明FMN的中點(diǎn),這得益于一道早先就流傳過的幾何題:“凸四邊形的一組對(duì)邊相等且不平行,則另一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線與相等的那一組對(duì)邊延長線夾等角”77,△ABC是一個(gè)定三角形,動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上,PM∥AC,∥AB,點(diǎn)MN分別在邊ABAC上今有一定點(diǎn)Q,滿AMQN四點(diǎn)共圓Q的幾

探索這個(gè)定點(diǎn)Q是這樣確定的:AB⊙O1使AC⊙O1相切(作?想想看),ACO2ABO2相切.此時(shí)AQBQCQMQNQ∠ABQ=∠CAQ,∠BAQ=∠ACQ所以, △CAQBQ=AB (省高級(jí)中學(xué),解題又離不開閱讀已有的解答.

na1

≤a1+a2+?+ann掘和吸收問題解決所蘊(yùn)含的營養(yǎng),取得長足平均值不等式的證明這一側(cè)面,來談?wù)剛€(gè)人a1a2?an∈R+,n∈N收稿日期:2006-01-BM=BM=AB, BQ=BM △ANQ=AMQN四點(diǎn)共圓思考⊙O1O2為什么一定相交?擔(dān)心是多余的O1、⊙O2外切于點(diǎn)A,A作兩圓的公切線XY,易證XYAC在了.這就是說,⊙O1、⊙O2非相交不可.ABO,⊙C是一個(gè)動(dòng)圓它⊙O內(nèi)切于P且與ABQ求證:恒通過某定點(diǎn)(提示:PQOROCP三點(diǎn)共線.聯(lián)結(jié)ORCQ.設(shè)法證OR∥CQ.)ABCAB=AC,⊙OABAC皆相XAB上的切點(diǎn)CYOY(Y在

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an,立此不等式通常稱為平均值不等式,是應(yīng)證法1是最常見的一種.形內(nèi)求證:O的大小怎樣變,XY恒(提示:OBX△OCY.XYBC于點(diǎn)M,進(jìn)而可證OXBM四點(diǎn)共圓.)AB上有一定DAD>DB⊥ABD為垂足動(dòng)點(diǎn)Cl,AE⊥CBE、BF⊥CA于F.證明:直線FE恒過一定點(diǎn).(提示:AB的中M,AD=aDB=babFE∩AB=PBP=xMDEF四點(diǎn)共九點(diǎn)圓定義)已知正方ABCD,動(dòng)點(diǎn)EF分別AB,滿足EF=BE+DF.作EG⊥CDGFHH證明:直線