第二章晶體的結(jié)構(gòu)晶體最主要的特點(diǎn)是具有周期性重復(fù)的規(guī)則結(jié)構(gòu)，可以看成是一個(gè)或一組p個(gè)原子（或離子實(shí)）以某種方式在空間周期性重復(fù)平移的結(jié)果。2.1晶格晶體結(jié)構(gòu)包括兩個(gè)方面：一是重復(fù)排列的具體單元，稱為基元（basis）?；蔷w結(jié)構(gòu)中最小的重復(fù)單元（結(jié)構(gòu)單元）。二是基元重復(fù)排列的形式，一般抽象成空間點(diǎn)陣，稱為晶體格子（crystallattice），或簡(jiǎn)稱為晶格，由布拉維格子（Bravaislattice）的形式來概括，基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。晶體結(jié)構(gòu)＝基元＋空間點(diǎn)陣第二章晶體的結(jié)構(gòu)晶體最主要的特點(diǎn)是具有周期性重復(fù)的規(guī)則結(jié)構(gòu)，可以看成是一個(gè)或一組p個(gè)原子（或離子實(shí)）以某種方式在空間周期性重復(fù)平移的結(jié)果。2.1晶格晶體結(jié)構(gòu)包括兩個(gè)方面：一是重復(fù)排列的具體單元，稱為基元（basis）。基元是晶體結(jié)構(gòu)中最小的重復(fù)單元（結(jié)構(gòu)單元）。二是基元重復(fù)排列的形式，一般抽象成空間點(diǎn)陣，稱為晶體格子（crystallattice），或簡(jiǎn)稱為晶格，由布拉維格子（Bravaislattice）的形式來概括，基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。晶體結(jié)構(gòu)＝基元＋空間點(diǎn)陣2.1.1布拉維格子定義：布拉維格子是矢量

全部端點(diǎn)的集合，其中取整數(shù)，是三個(gè)不共面的矢量，稱為布拉維格子的基矢，稱為布拉維格子的格矢，其端點(diǎn)稱為格點(diǎn)（一個(gè)格點(diǎn)代表一個(gè)基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的點(diǎn)子。

）。布拉維格子是一個(gè)無限延展的理想點(diǎn)陣。忽略了實(shí)際晶體中表面、結(jié)構(gòu)缺陷的存在，以及時(shí)原子瞬時(shí)位置相對(duì)平衡位置的偏離。只考慮晶體中原子周期性的規(guī)則排列，或所具有的平移對(duì)稱性，即平移任一格矢，晶體保持不變的特性。(b)(c)(a)基元，格點(diǎn)，晶格（空間點(diǎn)陣）的區(qū)分BA2.1.2原胞原胞（primitivecell）是晶體中體積最小的周期性重復(fù)單元，當(dāng)它平移布拉維格子所有可能的格矢，將精確地填滿整個(gè)空間。常取為以基矢為棱邊的平行六面體。體積為原胞的選取不惟一，習(xí)慣上常取三個(gè)不共面的最短格矢為基矢。原胞具有相同的體積，每個(gè)原胞平均只包含一個(gè)格點(diǎn)。原胞的選取不惟一，只包含一個(gè)格點(diǎn)原胞的選取維格納-賽茨（Wigner-Seitz）原胞，簡(jiǎn)稱WS原胞：以晶格中某一格點(diǎn)為中心，作其與近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面，這些平面所圍成的以該點(diǎn)為中心的最小體積是屬于該點(diǎn)的WS原胞。2.1.3配位數(shù)在布拉維格子中，離某一格點(diǎn)最近的格點(diǎn)，稱為該格點(diǎn)的最近鄰。由于布拉維格子中格點(diǎn)相互等價(jià)，每一格點(diǎn)有相同的最近鄰數(shù)，稱為該格點(diǎn)的配位數(shù)（coordinationnumber）。配位數(shù)：晶體中原子排列緊密程度的標(biāo)志。是一個(gè)原子周圍最近鄰的原子數(shù)。晶體結(jié)構(gòu)中最大配位數(shù)是12

，以下依次是8

，6

，4

，3

，2

。2.1.4單胞（慣用單胞）

晶體學(xué)中，用晶系基矢構(gòu)成的平行六面體作為周期性重復(fù)排列的最小單元，稱為單胞或慣用單胞。單胞的邊長(zhǎng)稱為晶格常數(shù)。單胞與原胞的區(qū)別：原胞只含一個(gè)格點(diǎn)，是體積最小的周期性重復(fù)單元。單胞可含一個(gè)或數(shù)個(gè)格點(diǎn)，體積是原胞的一倍或數(shù)倍。2.1.4幾種常見的布拉維格子1.簡(jiǎn)單立方布拉維格子3個(gè)基矢等長(zhǎng)并相互垂直。

每個(gè)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)單胞包含1個(gè)格點(diǎn)。原胞和單胞的體積都是簡(jiǎn)單立方布拉維格子的配位數(shù)為6。2.體心立方布拉維格子原胞的體積每個(gè)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)單胞包含2個(gè)格點(diǎn)。簡(jiǎn)單立方布拉維格子的配位數(shù)為8。單胞的體積為3.面心立方布拉維格子每個(gè)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)單胞包含4個(gè)格點(diǎn)。簡(jiǎn)單立方布拉維格子的配位數(shù)為12。原胞的體積單胞的體積為4.簡(jiǎn)單六角布拉維格子每個(gè)原胞包含1個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)單胞包含3個(gè)格點(diǎn)。簡(jiǎn)單立方布拉維格子的配位數(shù)為6。原胞的體積單胞的體積為二、復(fù)式格子結(jié)構(gòu)基元中原子數(shù)的稱為復(fù)式晶格。復(fù)式晶格可看成2套或多套簡(jiǎn)單晶格（通常稱為子格子）的相互嵌套。一、簡(jiǎn)單晶格基元中原子數(shù)p=1的晶格稱為簡(jiǎn)單晶格。簡(jiǎn)單晶格必須由同種原子組成；反之，由同種原子組成的晶格卻不一定是簡(jiǎn)單晶格。1、氯化鈉結(jié)構(gòu)

由兩個(gè)面心立方格子套構(gòu)而成。

具有氯化鈉結(jié)構(gòu)的化合物：LiF、LiCl、NaF等。（1~3為晶胞中的立方晶系）2.3幾種常見的晶體結(jié)構(gòu)Cl-和Na+分別組成面心立方子晶格。其布拉維晶格為面心立方。氯化鈉結(jié)構(gòu)屬面心立方。氯化鈉的固體物理學(xué)原胞選取方法與面心立方簡(jiǎn)單格子的選取方法相同?；梢粋€(gè)Cl-和一個(gè)Na+組成。2、氯化銫結(jié)構(gòu)由兩個(gè)簡(jiǎn)單立方格子套構(gòu)而成。具有氯化銫結(jié)構(gòu)的化合物有：

CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。氯化銫結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)簡(jiǎn)立方子晶格沿體對(duì)角線位移1/2的長(zhǎng)度套構(gòu)而成。Cl-和Cs+分別組成簡(jiǎn)立方格子，其布拉維晶格為簡(jiǎn)單立方，氯化銫結(jié)構(gòu)屬簡(jiǎn)單立方。

基元由一個(gè)Cl-和一個(gè)Cs+組成。3、金剛石結(jié)構(gòu)金剛石由碳原子組成。每個(gè)晶胞含有8個(gè)碳原子。由碳原子共價(jià)鍵的取向分析可知，在面心和頂角處的碳原子與體內(nèi)的4個(gè)碳原子是不等價(jià)的。金剛石結(jié)構(gòu)屬面心立方，每個(gè)單胞包含4個(gè)格點(diǎn)。金剛石結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)面心立方子晶格沿體對(duì)角線位移1/4的長(zhǎng)度套構(gòu)而成,其布拉維晶格為面心立方。cc金剛石基元由兩個(gè)碳原子組成。具有這種結(jié)構(gòu)的晶體有：鍺、硅等。閃鋅礦結(jié)構(gòu)：（與金剛石類似結(jié)構(gòu)的化合物）在晶胞頂角和面心處的原子與體內(nèi)原子分別屬于不同的元素。許多重要的半導(dǎo)體化合物都是閃鋅礦結(jié)構(gòu)。六角密積：復(fù)式格子（∵A層原子與B層原子所處的環(huán)境不同），其布拉菲格子是菱形柱體，六角密積由兩個(gè)菱形柱體套構(gòu)而成。立方密積：簡(jiǎn)單格子（∵每一個(gè)原子所處的環(huán)境都是一樣的），其布拉維格子是面心立方。密堆積：晶體內(nèi)全同原子小圓球最緊密的堆積。4、密堆積結(jié)構(gòu)密堆積的配位數(shù)為12。其堆積方式有兩種方式：立方密積、六角密積。一維二維（二維密排堆積）（二維正方堆積）三維

典型晶體：Be、Mg、Zn、Cd、Ti密排六角（hexagonalclose-packed,hcp

）堆積排列方式：ABABAB(六角密堆積)（六角視頻）面心立方（face-centeredcubic,fcc）堆積

排列方式：ABCABC(立方密堆積)典型晶體：Ca、Al、Cu、Ag（立方視頻）一、晶向通過晶格中任意兩個(gè)格點(diǎn)連一條直線稱為晶列，晶列的取向稱為晶向，描寫晶向的一組數(shù)稱為晶向指數(shù)(或晶列指數(shù))2.1.5晶向、晶面和基元的坐標(biāo)過一格點(diǎn)可以有無數(shù)晶列。(3)晶列族中的每一晶列上，格點(diǎn)分布都是相同的(4)在同一平面內(nèi)，相鄰晶列間的距離相等。(1)平行晶列組成晶列族，晶列族包含所有的格點(diǎn)(2)晶列上格點(diǎn)分布是周期性的晶向的特點(diǎn)：軸方向記為，軸方向記為,習(xí)慣將負(fù)號(hào)放在相應(yīng)數(shù)字之上。如沿晶向方向的最短格矢為，該晶向可記為。稱為晶向指數(shù)。在結(jié)晶學(xué)中，以、、為原胞基矢，把、、稱為晶軸，格點(diǎn)的位矢可寫成n’

、m’

、p’

不一定是整數(shù)，但乘上公倍數(shù)后，可得到一組整數(shù)n、m、p，并有稱為晶向指數(shù)。例1：如圖在立方體中，D是BC的中點(diǎn)，求BE,AD的晶向指數(shù)。解：晶列BE的晶向指數(shù)為：[011]OABCDEAD的晶向指數(shù)為:二、晶面晶面：晶體內(nèi)三個(gè)非共線結(jié)點(diǎn)組成的平面。面間距：同族晶面中，相鄰兩晶面的距離。（晶面的概念是以格點(diǎn)組成互相平行的平面，再構(gòu)成晶體。）（1）平行的晶面組成晶面族，晶面族包含所有格點(diǎn)；（3）同一晶面族中的每一晶面上，格點(diǎn)分布(情況)相同；（4）同一晶面族中相鄰晶面間距相等。（2）晶面上格點(diǎn)分布具有周期性；與晶列相似，同族晶面中的晶面完全等同。以原胞基矢、、為坐標(biāo)軸，若一族晶面中任一不過原點(diǎn)的晶面在三個(gè)軸上的截距、、已知，那么這一晶面的取向就完全確定了。習(xí)慣上用三個(gè)截距、

、(以、、為單位）倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)比來表示晶面的取向，三個(gè)互質(zhì)整數(shù)、、稱為該晶面族的面指數(shù)，記為。稱為該晶面族的米勒指數(shù)。例2：如圖所示，I和H分別為BC，EF之中點(diǎn)，試求晶面AEG，ABCD，DIHG的米勒指數(shù)。AEG

ABCD

DIHG111121h'k'l'在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距OABCDEFGHI1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG

的米勒指數(shù)是(111)；ABCD的米勒指數(shù)是(001)；DIHG的米勒指數(shù)是(120)。ABCDEFG晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：1（210）11米勒指數(shù)是(210)的晶面是ABCD面；（121）米勒指數(shù)是（121）的晶面是EFG面；例3:在立方晶系中畫出(210)、(121)晶面。<>表示一組由于對(duì)稱性而相互等價(jià)的晶向。如<100>表示6個(gè)相互等價(jià)的方向，[100]，[100]，[010]，[010]，[001]和[001]。()表示晶面。如(100)，(010)，(001)等。[]表示晶向。如[100]，[010]，[001]等。[100][001][010][100][010][001]簡(jiǎn)單立方格子中的(100)，(110)和(111)面{}表示一組由于對(duì)稱性而相互等價(jià)的晶面。如{100}表示3個(gè)等價(jià)的晶面(100)，(010)和(001)。原胞中原子的坐標(biāo)通常用其在、、軸上的投影表示。投影通常寫成周長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)形式。如：原胞中心點(diǎn)記為：沿體對(duì)角線到體心的一半處，記為：原胞原點(diǎn)附近3個(gè)面心點(diǎn)記為：2.2對(duì)稱性和布拉維格子的分類

對(duì)稱性是指在一定的幾何操作下，物體保持不變的特性。布拉維格子是按其對(duì)稱性來分類的。對(duì)稱操作的集合稱為對(duì)稱群（空間群）。將平移操作除外的剩余部分稱為點(diǎn)群。群是一組元素的集合，G={E,A,B,C,D,…}，其性質(zhì)有：1.群G中任意兩元素的“乘積”仍為群G內(nèi)的元素，這個(gè)性質(zhì)稱為群的閉合性。2.存在單位元素E，使得對(duì)所有元素，有3.對(duì)任意元素，存在逆元素，使得4.元素間的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律2.1.1點(diǎn)群保持空間某一點(diǎn)固定不動(dòng)的對(duì)稱操作稱為點(diǎn)對(duì)稱操作。在點(diǎn)對(duì)稱操作基礎(chǔ)上組成的操作群稱為點(diǎn)群。

對(duì)于點(diǎn)群操作的類型，固體物理中習(xí)慣用熊夫利符號(hào)標(biāo)記。晶體學(xué)家慣用國際符號(hào)標(biāo)記。點(diǎn)對(duì)稱操作：1.繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，，如晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)以后自身重合，則此軸稱為n重對(duì)稱轉(zhuǎn)軸，簡(jiǎn)稱n重軸。2.鏡面反映，，相當(dāng)于把所有的點(diǎn)轉(zhuǎn)換到它們的鏡像位置。如xy平面為反演面，則3.中心反演，，如取原點(diǎn)為反演中心，則4.旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱，，若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)以后，再經(jīng)過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n重旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱軸。（3，4，6重反演軸的視頻。）基本的點(diǎn)對(duì)稱操作3、i（中心反演，）1、E（不變）2、Cn（n重轉(zhuǎn)軸）

n：2346（國際符號(hào)）C2C3C4C6

（熊夫利符號(hào)）最基本的點(diǎn)對(duì)稱操作：E、C2、C3、C4、C6、i、σ、S4

5、（n重旋轉(zhuǎn)反演軸，作n重旋轉(zhuǎn)后再作中心反演）（m）S4

4、鏡面反映表示轉(zhuǎn)動(dòng)軸并非主軸。主軸是晶體中對(duì)稱性最高的轉(zhuǎn)動(dòng)軸。反映面含原點(diǎn)并垂直于主軸。下標(biāo)h表示水平面的意思。反映面含主軸，稱為垂直面。反映面含主軸并平分與主軸垂直的兩2重軸間的夾角。一般點(diǎn)對(duì)稱操作的幾何變換：則與的關(guān)系為xyoθ繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角度的矩陣?yán)阂皇噶吭趏xy平面旋轉(zhuǎn)θ角度（繞z軸），得到矢量，同理，繞x軸旋轉(zhuǎn)θ角度有：繞y軸旋轉(zhuǎn)θ角度有：幾種簡(jiǎn)單操作的變換矩陣：（1）分別繞x，y，z軸轉(zhuǎn)動(dòng)（3）中心反演（2）鏡像反映（對(duì)稱面為oxy平面）晶體的平移對(duì)稱性（或稱周期性排列）對(duì)許可的轉(zhuǎn)動(dòng)操作的限制：0假定（長(zhǎng)度為）是布拉維格子在該方向的最短格矢，并有通過O點(diǎn)與紙面垂直的n重軸。旋轉(zhuǎn)角度，轉(zhuǎn)到，必為格矢，那么其逆操作轉(zhuǎn)動(dòng)所得亦為格矢。在方向，按布拉維格子的定義應(yīng)為格矢，那么有（m為整數(shù)）由于

n只能取1，2，3，4，6五個(gè)值，不可能有5、7等重軸的存在。正五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)720恢復(fù)原狀，但它不能重復(fù)排列充滿一個(gè)平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸中不存在五重軸。晶體中允許的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱軸只能是1，2，3，4和6重軸。根據(jù)對(duì)稱性晶體可分成7個(gè)晶系；14個(gè)布拉維格子；32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群；晶系對(duì)稱性特征晶胞參數(shù)所屬點(diǎn)群Bravais格子三斜

只有1或iabcC1、CiP單斜唯一2或mabc==90oC2、CS、C2hP、C正交三個(gè)2或mabc=＝=90oD2、C2V、D2hP、C、I、F三方唯一3或a=b=c=＝90oC3、S6、D3C3V、D3dR四方唯一4或a=bc=＝=90oC4、S4、C4h、D4C4V、D2d、D4hP、I六方唯一6或a=bc=＝90o=120oC6、C3h、C6h、D6、C6V、D3h、D6hH立方四個(gè)3a=b=c=＝＝90oT、Th、TdO、OhP、I、F簡(jiǎn)單三斜(1)簡(jiǎn)單單斜(2)底心單斜(3)1.三斜晶系：2.單斜晶系：3.三角晶系：三角(4)4.正交晶系：簡(jiǎn)單正交(5)底心正交(6)體心正交(7)面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)體心四角(10)簡(jiǎn)單四角(9)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：簡(jiǎn)立方(12)體心立方(13)面心立方(14)2.2.6點(diǎn)對(duì)稱對(duì)稱性和晶體的物理性質(zhì)晶體的很多物理性質(zhì)是各向異性的，其依賴于測(cè)量方向與晶軸的相對(duì)取向。表征晶體對(duì)稱性和其物理性質(zhì)對(duì)稱性之間的關(guān)系是Neumann原理：晶體的任一宏觀物理性質(zhì)一定具有它所屬點(diǎn)群的一切對(duì)稱性。如某一對(duì)稱操作使坐標(biāo)系從變到有9個(gè)分量的二階張量T相應(yīng)的變化為：由于所討論的晶體是對(duì)稱操作，故操作前后晶體自身重合，有：故，最終有：證明六角晶體的介電常數(shù)張量為證明：對(duì)于六角晶體，有繞x軸轉(zhuǎn)的對(duì)稱操作根據(jù)Neumann定理有那么則對(duì)于六角晶體，有繞y軸轉(zhuǎn)的對(duì)稱操作那么則又對(duì)于六角晶體，有繞z軸轉(zhuǎn)的對(duì)稱操作。則那么命題得證。2.4倒格子本節(jié)主要內(nèi)容:2.4.1倒格子的定義2.4.3倒格子與傅里葉變換2.4.2倒格子與正格子的關(guān)系§2.4倒格子倒格子正格（點(diǎn)位）矢：倒格基矢倒格（點(diǎn)位）矢：晶體結(jié)構(gòu)=晶格+基元正格基矢正格子一個(gè)晶體結(jié)構(gòu)有兩個(gè)格子，一個(gè)是正格子，另一個(gè)為倒格子。2.4.1倒格子定義倒格子基矢定義為：其中是正格基矢，

是固體物理學(xué)原胞體積倒格基矢的方向和長(zhǎng)度如何呢？一個(gè)倒格基矢是和正格原胞中一組晶面相對(duì)應(yīng)的，它的方向是該晶面的法線方向，它的大小則為該晶面族面間距倒數(shù)的2倍。1.2.4.2倒格子與正格子的關(guān)系其中分別為正格子位矢和倒格子位矢。2.(m為整數(shù))hlGR￠￠和3.(其中和*分別為正、倒格原胞體積)4.倒格矢與正格中晶面族(h1h2h3)正交，且其長(zhǎng)度為。(1)證明與晶面族(h1h2h3)正交。BCOA

設(shè)ABC為晶面族(h1h2h3)中離原點(diǎn)最近的晶面，

ABC在基矢上的截距分別為。由圖可知：所以與晶面族(h1h2h3)正交。(2)證明的長(zhǎng)度等于。由平面方程：得：在晶胞坐標(biāo)系中，2.4.3倒格子與傅里葉變換在任意兩個(gè)原胞的相對(duì)應(yīng)點(diǎn)上，晶體的物理性質(zhì)相同。上式兩邊分別按傅里葉