§1.3幾何概率

概率的古典定義是在“有限等可能”的情形下給出的，不適用于試驗(yàn)的可能結(jié)果有無窮多個(gè)的情形。下面仍以“等可能性”為基礎(chǔ)，把這個(gè)定義作推廣。幾何概型(古典概型的推廣)特點(diǎn)：“無限等可能”

引例某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺報(bào)時(shí)，已知電臺是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問他等待報(bào)時(shí)的時(shí)間短于十分鐘的概率.9點(diǎn)10點(diǎn)10分鐘幾何概率（概率的幾何定義）

設(shè)樣本空間為有限區(qū)域S（線段、平面區(qū)域空間區(qū)域）,若樣本點(diǎn)落入S內(nèi)任何區(qū)域G

中的可能性大小與區(qū)域G

的測度(長度、面積、或體積）成正比,則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概率為（其中A表示隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)落入S內(nèi)的區(qū)域G

中）例

兩船欲停同一碼頭,設(shè)兩船在一晝夜內(nèi)獨(dú)立隨機(jī)地到達(dá)碼頭.若兩船到達(dá)后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1小時(shí)與2小時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率.解設(shè)船1到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為x,0x<24船2到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為y,0y<24設(shè)事件A表示任一船到達(dá)碼頭時(shí)需要等待空出碼頭例10xy2424y=xy=x+1y=x-2作業(yè)習(xí)題一：13，16，19，20?！?.2概率定義計(jì)算歷史上概率的三次定義③公理化定義②統(tǒng)計(jì)定義①古典定義概率的最初定義基于頻率的定義1930年后由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出§1.4頻率概率的公理化定義

概率的“統(tǒng)計(jì)定義”也稱為經(jīng)驗(yàn)觀點(diǎn)或統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)，主要由德國應(yīng)用數(shù)學(xué)家馮`米塞斯在1919年所倡導(dǎo)。設(shè)在n

次試驗(yàn)中，事件A

發(fā)生了m

次，

頻率則稱為事件A發(fā)生的頻率。頻率的性質(zhì)

若事件A,B互斥，則（可推廣到有限個(gè)兩兩互斥事件的和事件）非負(fù)性歸一性可加性穩(wěn)定性某一定數(shù)

試驗(yàn)投一枚硬幣觀察正面H向上的次數(shù)

n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069

n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005頻率穩(wěn)定性的實(shí)例

蒲豐(Buffon)投幣

皮爾森(Pearson)投幣頻率的應(yīng)用第五章指出:當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)有事件發(fā)生的概率事件發(fā)生的頻率根據(jù)如下百年統(tǒng)計(jì)資料可得世界每年發(fā)生大地震的概率近百年世界重大地震1905.04.04克什米爾地區(qū)8.088萬1906.08.17智利瓦爾帕萊索港地區(qū)

8.4

2萬

1920.12.16中國甘肅8.610萬1923.09.01日本關(guān)東地區(qū)7.914.2萬1935.05.30巴基斯坦基達(dá)地區(qū)7.55萬1948.06.28

日本福井地區(qū)

7.30.51萬

時(shí)間地點(diǎn)級別死亡“重大”的標(biāo)準(zhǔn)①震級7級左右②

死亡5000人以上

時(shí)間地點(diǎn)級別死亡1970.01.05中國云南7.71萬1976.07.28中國河北省唐山7.824.2萬

1978.09.16伊朗塔巴斯鎮(zhèn)地區(qū)7.9

1.5萬

1995.01.17日本阪神工業(yè)區(qū)7.20.6萬1999.08.17土耳其伊茲米特市7.41.7萬2003.12.26伊朗克爾曼省6.83萬2004.12.26印尼蘇門答臘島附近海域

9.115萬2008.05.12中國四川汶川8.06.9萬2010.01.12海地7.322.26萬世界每年發(fā)生大地震概率約為15%概率的統(tǒng)計(jì)定義如果在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的n

次試驗(yàn)中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng),

且隨n越大擺動(dòng)幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).對本定義的評價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀易懂缺點(diǎn)：粗糙模糊不便使用③公理化定義②統(tǒng)計(jì)定義①古典定義概率的最初定義基于頻率的定義歷史上概率的三次定義

概率的公理化理論由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫

哥洛夫(A.H.Колмогоров)于1933年建立.

柯爾莫哥洛夫

(A.H.Колмогоров1903-1987)

1939年任蘇聯(lián)科學(xué)院院士.先后當(dāng)選美,法,意,荷,英,德等國的外籍院士及皇家學(xué)會會員.為20世紀(jì)最有影響的俄國數(shù)學(xué)家.俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫

設(shè)

是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，對于E

的每一事件

A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A),稱之為事件A的概率，這種賦值滿足下面的三條公理：

非負(fù)性：

歸一性：

可列可加性：其中為兩兩互斥事件.

概率的公理化定義概率的性質(zhì)

有限可加性:設(shè)

兩兩互斥

若

對任意兩個(gè)事件A,B,有

BAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–A)

B-ABAB

加法公式：對任意兩個(gè)事件A,B,有推廣：一般：右端共有項(xiàng).例1小王參加“智力大沖浪”游戲,他能答出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2,兩類問題都能答出的概率為0.1.求小王解事件A,B分別表示“能答出甲/乙類問題”(1)(1)答出甲類而答不出乙類問題的概率；(2)至少有一類問題能答出的概率；(3)兩類問題都答不出的概率。(2)(3)例1例2設(shè)A,B滿足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

在何條件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在時(shí)取得

——最小值——最大值最大值在時(shí)取得

例2解設(shè)A

表示事件“n

次取到的數(shù)字的乘積能被10整除”設(shè)A1

表示事件“n

次取到的數(shù)字中有偶數(shù)”

A2表示事件“n

次取到的數(shù)字中有5”A=A1A2例3

在1,2,3,,9中可重復(fù)地任取

n()個(gè)數(shù),求

n

個(gè)數(shù)字的乘積能被10整除的概率.例7例4

把標(biāo)有1,2,3,4的4個(gè)球隨機(jī)地放入標(biāo)有1,2,3,4的4個(gè)盒子中，每盒放一球，求至少有一個(gè)盒子的號碼與放入的球的號碼一致的概率.解

設(shè)A

為所求的事件設(shè)Ai

表示i號球入

i號盒，

i=1,2,3,4則由廣義加法公式

問題每周一題已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,