第十一章數(shù)制、編碼與邏輯代數(shù)11.1數(shù)制與數(shù)制轉(zhuǎn)換11.1.1數(shù)制11.1.2數(shù)制間的轉(zhuǎn)換11.2二進(jìn)制數(shù)的編碼11.2.1二—十進(jìn)制編碼(BCD碼)11.2.2字符編碼11.2.3奇偶校驗(yàn)碼11.3邏輯代數(shù)11.3.1基本邏輯11.3.2基本邏輯運(yùn)算11.3.3邏輯函數(shù)與真值表11.3.4邏輯函數(shù)的基本定理11.3.5三個(gè)規(guī)則11.3.6常用公式11.3.7邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式11.4邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)11.4.1代數(shù)化簡(jiǎn)法11.4.2圖解法(卡諾圖法)11.4.3卡諾圖法化簡(jiǎn)11.4.4具有約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)本節(jié)要求：會(huì)用邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算法則及卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)第三節(jié)邏輯代數(shù)

邏輯代數(shù)（又稱(chēng)布爾代數(shù)），它是分析設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。雖然它和普通代數(shù)一樣也用字母表示變量，但變量的取值只有“0”，“1”兩種，分別稱(chēng)為邏輯“0”和邏輯“1”。這里“0”和“1”并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種相互對(duì)立的邏輯狀態(tài)。

邏輯代數(shù)所表示的是邏輯關(guān)系，而不是數(shù)量關(guān)系。這是它與普通代數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。1.基本邏輯三種基本邏輯：“與”、“或”、“非”①“與”邏輯

S1

S2電源燈亮合合111滅斷合001滅合斷010滅斷斷000燈開(kāi)關(guān)S2開(kāi)關(guān)S1PBAAPB&APBAPB

S1

S2電源燈

S1

S2電源燈②“或”邏輯亮合合111亮斷合101亮合斷110滅斷斷000燈開(kāi)關(guān)S2開(kāi)關(guān)S1PBA③“非”邏輯

R電源S

燈合1滅0亮1斷0燈開(kāi)關(guān)SPA

S1

S2電源燈

S1

S2電源燈≥1+APBAPBAPB1APAPAP2.基本邏輯運(yùn)算三種基本邏輯：邏輯加、邏輯乘、邏輯非①邏輯加（“或”—“OR”運(yùn)算）②邏輯乘（“與”—“AND”運(yùn)算）③邏輯非（“非”—“NOT”運(yùn)算）2.復(fù)合邏輯運(yùn)算由基本邏輯運(yùn)算構(gòu)成的邏輯運(yùn)算。①邏輯與非（“與非”—“NAND”運(yùn)算）邏輯與非就是“與”邏輯運(yùn)算和“非”邏輯運(yùn)算的復(fù)合。它是先將輸入變量進(jìn)行“與”運(yùn)算，然后進(jìn)行“非”運(yùn)算。ABP001011101110ABP001010100110②邏輯或非（“或非”—“NOR”運(yùn)算）邏輯或非就是“或”邏輯運(yùn)算和“非”邏輯運(yùn)算的復(fù)合。它是先將輸入變量進(jìn)行“或”運(yùn)算，然后進(jìn)行“非”運(yùn)算。③邏輯與或非（“與或非”—“AND-OR-INVERT”運(yùn)算）邏輯與或非就是“與”和“或非”邏輯運(yùn)算的復(fù)合。先將輸入變量進(jìn)行邏輯“與”運(yùn)算，然后進(jìn)行“或非”運(yùn)算。ABCDP00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110④邏輯異或和邏輯同或邏輯“異或”和邏輯“同或”是只有兩個(gè)輸入變量的邏輯函數(shù)。“異或”指當(dāng)兩個(gè)輸入變量取值相異時(shí)，輸出為“1”，否則為“0”。記為：“同或”是“異或”的反函數(shù)，即當(dāng)兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)，輸出為“1”，否則為“0”。記為：ABP000011101110ABP001010100111（1）常量與變量的關(guān)系1.邏輯代數(shù)運(yùn)算法則（2）邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算法則自等律0-1律重疊律還原律互補(bǔ)律交換律普通代數(shù)不適用！證:結(jié)合律分配律

A+1=1

AA=A.110011111100反演律列狀態(tài)表證明：AB00011011111001000000方程兩邊的結(jié)果一樣，等式成立吸收律A+AB=AA(A+B)=A對(duì)偶式對(duì)偶關(guān)系：

將某邏輯表達(dá)式中的與(?)換成或

(+)，或(+)換成與(?)，得到一個(gè)新的邏輯表達(dá)式，即為原邏輯式的對(duì)偶式。若原邏輯恒等式成立，則其對(duì)偶式也成立。證明：A+AB=A對(duì)偶式對(duì)偶式2.邏輯函數(shù)的表示方法表示方法邏輯式邏輯狀態(tài)（真值）表邏輯圖卡諾圖下面舉例說(shuō)明前三種表示方法。例1：有一T形走廊，在相會(huì)處有一路燈，在進(jìn)入走廊的A、B、C三地各有控制開(kāi)關(guān)，都能獨(dú)立進(jìn)行控制。任意閉合一個(gè)開(kāi)關(guān)，燈亮；任意閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)，燈滅；三個(gè)開(kāi)關(guān)同時(shí)閉合，燈亮。設(shè)A、B、C代表三個(gè)開(kāi)關(guān)（輸入變量）；Y代表燈（輸出變量）。設(shè)：開(kāi)關(guān)閉合其狀態(tài)為“1”，斷開(kāi)為“0”；燈亮狀態(tài)為“1”，燈滅為“0”。解：

方法1：列邏輯狀態(tài)（真值）表用輸入、輸出變量的邏輯狀態(tài)（“1”或“0”）以表格形式來(lái)表示邏輯函數(shù)。三輸入變量有八種組合狀態(tài)n輸入變量有2n種組合狀態(tài)

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111方法2：邏輯式取Y=“1”(或Y=“0”)列邏輯式取Y=“1”用“與”“或”“非”等運(yùn)算來(lái)表達(dá)邏輯函數(shù)的表達(dá)式。由邏輯狀態(tài)表寫(xiě)出邏輯式對(duì)應(yīng)于Y=1，若輸入變量為“1”，則取輸入變量本身；若輸入變量為“0”則取其反變量。一種組合中，輸入變量之間是“與”關(guān)系，

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111各組合之間是“或”關(guān)系

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111方法3：邏輯圖YCBA&&&&&&&>1CBA

由邏輯狀態(tài)表直接寫(xiě)出的邏輯式及由此畫(huà)出的邏輯圖，一般比較復(fù)雜；若經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化，則可使用較少的邏輯門(mén)實(shí)現(xiàn)同樣的邏輯功能。從而可節(jié)省器件，降低成本，提高電路工作的可靠性。利用邏輯代數(shù)變換，可用不同的門(mén)電路實(shí)現(xiàn)相同的邏輯功能?；?jiǎn)方法公式法卡諾圖法3.邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)（1）用“與非”門(mén)構(gòu)成基本門(mén)電路①應(yīng)用“與非”門(mén)構(gòu)成“與”門(mén)電路AY&B&由邏輯代數(shù)運(yùn)算法則：②應(yīng)用“與非”門(mén)構(gòu)成“或”門(mén)電路BAY&&&由邏輯代數(shù)運(yùn)算法則：&YA③應(yīng)用“與非”門(mén)構(gòu)成“非”門(mén)電路④用“與非”門(mén)構(gòu)成“或非”門(mén)YBA&&&&由邏輯代數(shù)運(yùn)算法則：（2）應(yīng)用邏輯代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)①并項(xiàng)法例2：化簡(jiǎn)解：②配項(xiàng)法例3：化簡(jiǎn)解：③加項(xiàng)法例4：化簡(jiǎn)解：④吸收法吸收例5：化簡(jiǎn)解：（3）應(yīng)用卡諾圖化簡(jiǎn)卡諾圖:是與變量的最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的按一定規(guī)則排列的方格圖，每一小方格填入一個(gè)最小項(xiàng)。

①最小項(xiàng)：對(duì)于n輸入變量有2n種組合,其相應(yīng)的乘積項(xiàng)也有2n個(gè)，則每一個(gè)乘積項(xiàng)就稱(chēng)為一個(gè)最小項(xiàng)。其特點(diǎn)是每個(gè)輸入變量均在其中以原變量和反變量形式出現(xiàn)一次，且僅一次。三個(gè)變量，有8種組合，最小項(xiàng)就是8個(gè)，卡諾圖也相應(yīng)有8個(gè)小方格。如：三個(gè)變量時(shí)，、、、是最小項(xiàng)；而、不是最小項(xiàng)。

②卡諾圖BA0101二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)編號(hào)2個(gè)變量時(shí)BA0101BA010100011011

②卡諾圖3個(gè)變量時(shí)BCA0010011110BCA0010011110BCA0010011110000001011010100101111110注意其布置

②卡諾圖AB00011110CD00011110注意：AB、CD的排列4個(gè)變量時(shí)

②卡諾圖5個(gè)及以上變量的邏輯函數(shù)式用卡諾圖化簡(jiǎn)沒(méi)有太多的優(yōu)勢(shì)5個(gè)變量時(shí)卡諾圖中的相鄰項(xiàng)BA0101

2個(gè)相鄰項(xiàng)的特點(diǎn)：

只有一個(gè)變量不同，且互為相反。這樣通過(guò)提取公因式后，可消除該變量。例:

相鄰項(xiàng)：①物理位置相鄰的項(xiàng)；②虛線對(duì)折后的重疊項(xiàng)。BCA0010011110相鄰項(xiàng)：①物理位置相鄰的項(xiàng)；②虛線對(duì)折后的重疊項(xiàng)。相鄰項(xiàng)卡諾圖中的相鄰項(xiàng)相鄰項(xiàng)相鄰項(xiàng)相鄰項(xiàng)：①物理位置相鄰的項(xiàng)；②虛線對(duì)折后的重疊項(xiàng)?？ㄖZ圖中的相鄰項(xiàng)AB00011110CD00011110③卡諾圖的畫(huà)法（a）根據(jù)狀態(tài)表畫(huà)出卡諾圖ABC00100111101111將輸出變量為“1”的填入對(duì)應(yīng)的小方格,為“0”的可不填。

0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111例如：（b）根據(jù)邏輯式畫(huà)出卡諾圖ABC00100111101111如:注意：如果邏輯式不是由最小項(xiàng)構(gòu)成，一般應(yīng)先化為最小項(xiàng)，或按例8方法填寫(xiě)（詳后）。③卡諾圖的畫(huà)法將邏輯式中的最小項(xiàng)分別用“1”填入對(duì)應(yīng)的小方格。④應(yīng)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)步驟（a）卡諾圖（b）合并最小項(xiàng)（c）寫(xiě)出最簡(jiǎn)“與或”邏輯式應(yīng)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟ABC00100111101111例6：用卡諾圖表示并化簡(jiǎn)下式。將取值為“1”的相鄰小方格圈成圈。所圈取值為“1”的相鄰小方格的個(gè)數(shù)應(yīng)為2n，(n=0,1,2…)，即2個(gè)、4個(gè)、8個(gè)、等。解：（a）畫(huà)出卡諾圖（b）合并最小項(xiàng)ABC001001111011113個(gè)圈最小項(xiàng)分別為：合并最小項(xiàng)的過(guò)程如下：（c）寫(xiě)出簡(jiǎn)化邏輯式卡諾圖化簡(jiǎn)法：保留一個(gè)圈內(nèi)最小項(xiàng)的相同變量，而消去相反變量。00ABC100111101111解（1）：寫(xiě)出簡(jiǎn)化邏輯式多余例7：應(yīng)用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)（1）（2）每畫(huà)1個(gè)圈必須有新元素解（2）：寫(xiě)出簡(jiǎn)化邏輯式AB00011110CD000111101111相鄰（2）解：寫(xiě)出簡(jiǎn)化邏輯式AB00011110CD0001111011111111注意：

①圈的個(gè)數(shù)應(yīng)最少；

②每個(gè)“圈”要最大；

③每個(gè)“圈”至少要包含一