環(huán)境系統(tǒng)分析大連民族學院環(huán)境工程系Office:634Email:ouxiaoxia@

歐曉霞數(shù)學模型概述2.1數(shù)學模型的定義和分類2.2數(shù)學模型的建立2.2.1建立數(shù)學模型的過程2.2.2對模型的基本要求2.2.3數(shù)學模型的驗證和誤差分析2.3Excel在建立數(shù)學模型的應用2.3.1污水處理的線性回歸分析2.3.2結構分析和曲線擬合2.3.3用Excel進行參數(shù)估計1數(shù)學模型的定義和分類1.定義:根據(jù)所觀察到的現(xiàn)象，歸結成一套反映其數(shù)量關系的數(shù)學關系式與算法，用以描述對象的運動規(guī)律，這套公式和算法稱為數(shù)學模型。廣義定義:數(shù)學公式+計算方法和計算過程特征:抽象性(數(shù)學規(guī)律→突破約束→反應本質)2.數(shù)學模型的優(yōu)點多變量模擬；可以任意改變模型參數(shù)和結構，有利于發(fā)現(xiàn)事物的本質特征；不需要實驗設備和空間，速度快，費用低；具有描述目標系統(tǒng)的狀態(tài)外，具有分析能力。3.模型的分類模型抽象模型具體模型數(shù)學模型:方程式,函數(shù),邏輯式圖象模型:流程圖,方向圖,框圖；計算機程序:計算程序,模擬程序相似模型:(實物放大縮小)建筑模型，風洞實驗模型模擬模型:電模擬模型3.模型的分類動態(tài)模型/靜態(tài)模型線形模型/非線模型確定性模型/隨機模型模擬模型/管理模型集中參數(shù)模型/分布參數(shù)模型通常環(huán)境系統(tǒng)分析模型——動態(tài)模型/非線模型/隨機模型/分布參數(shù)模型討論題用建立數(shù)學模型的方法討論，用一盆水清洗衣服和將該盆水分成兩個半盆水來洗衣服，哪個效果好。

定義：M中包含有一些元素(分量)，每個元素(分量)分別對應和代表S中的一個元素(分量)；M中的上述分量之間應存在一定的關系，這種個關系可以用于與S的分量間關系進行類比。

設，一盆水水量L，衣服中污染物質量M，余水量L1，殘余物比較；物理簡化法；數(shù)學簡化法。2.2數(shù)學模型的建立2.2.1對模型的基本要求2.2.2建立數(shù)學模型的過程2.2.3數(shù)學模型的驗證和誤差分析2.2.1對模型的基本要求利用對客觀系統(tǒng)的結構和運動規(guī)律的認識和理解建立模型-演繹法-機理模型-白箱模型利用對系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)的觀察建立模型-歸納法-經(jīng)驗或統(tǒng)計模型-黑箱模型灰箱模型：介于機理和經(jīng)驗之間1.根據(jù)模型結構分類2.對模型的基本要求依據(jù)充分；足夠的精確度；可操作、實用2.2.2建模過程

數(shù)據(jù)的收集與分析

實測數(shù)據(jù)/歷史數(shù)據(jù)變量/變量；變量/時間；變量/空間模型結構的選擇與確定模型參數(shù)估值模型驗證與修正模型的應用和反饋建立數(shù)學模型的步驟觀測數(shù)據(jù)組Ⅰ模型結構選擇模型應用觀測數(shù)據(jù)組Ⅱ參數(shù)估計檢驗與驗證圖2-4模型的建立過程模型的結構選擇(1)白箱模型根據(jù)對系統(tǒng)的結構和性質的了解,以客觀事物變化遵循的物理化學定律為基礎，經(jīng)邏輯演繹而建立起的模型是機理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。機理模型具有唯一性。(2)灰箱模型即半機理模型。在建立環(huán)境數(shù)學模型的過程中,幾乎每個模型都包含一個或多個待定參數(shù),這些待定參數(shù)一般無法由過程機理來確定。通常要借助于觀測數(shù)據(jù)或實驗結果。(3)黑箱模型即輸入-輸出模型。需要大量的輸入,輸出數(shù)據(jù)以獲得經(jīng)驗模型。它們可在日常例行觀察中積累,也可由專門實驗獲得。根據(jù)對系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀測,在數(shù)理統(tǒng)計基礎上建立起經(jīng)驗模型的方法又叫歸納法。經(jīng)驗模型不具有唯一性。2.3Excel在建立數(shù)學模型的應用2.3.1污水處理的線性回歸分析2.3.2結構分析和曲線擬合2.3.3用Excel進行參數(shù)估計污水處理的線性回歸分析例2-2某污水處理廠提供的3、4月份的日常監(jiān)測臺帳如表2-4所示，試根據(jù)3月份的數(shù)據(jù)建立其出水COD對應入水COD的線性回歸模型，然后用4月份的數(shù)據(jù)進行驗證。

表2-5

出水COD對應入水COD回歸統(tǒng)計結果MultipleR0.630237Intercept43.25682XVariable10.136996標準誤差26.22009觀測值24因此，出水COD對應入水COD的線性回歸的模型形式是：

Y=0.137X+43.257結構分析和曲線擬合例2-3十二胺降解實驗數(shù)據(jù)如表2-7所示，使用Excel工作表進行曲線擬合。

表2-7十二胺降解實驗數(shù)據(jù)從獲得的三個數(shù)學模型來看，指數(shù)模型R2

與實驗數(shù)據(jù)擬合的相關系數(shù)高達98.6%（R2=0.9726）,應是較好的選擇。2.3.3用Excel進行參數(shù)估計用Copy計算式結合多元線性回歸進行復雜模型參數(shù)估值

例2-4根據(jù)對某一種反應的分析，獲得灰箱模型為：試根據(jù)表2-8所示的一組實驗觀測值，進行灰箱模型的參數(shù)估值，并討論其是否可信。解：首先建立Excel的工作表，輸入已知的實驗數(shù)據(jù)，在新的兩列中分別通過輸入計算式和用Copy命令求得對應的x10.5和ln(x2)，該反應測定的原始實驗數(shù)據(jù)和兩列中間計算結果均列入表2-8。

用最優(yōu)化方法進行復雜模型的參數(shù)估值使用Excel電子表格，對于因變量y相應于自變量X（可以是包含多個元素的向量）的試驗或觀測數(shù)據(jù)，由經(jīng)驗給定參數(shù)的初值開始，計算計算值與觀測值之間的誤差，用最優(yōu)化方法進行參數(shù)估值，使該參數(shù)取值條件下誤差的平方和最小。

例2-5已知河流平均流速為4.0km／h，飽和溶解氧(DO)為lO.Omg／L，河流起點的BOD(L0)濃度為20mg／L，沿程的溶解氧(ＤＯ)的測定數(shù)據(jù)如下：第二章數(shù)學模型概述學習難點的闡述通過例題例2-2學習，進一步闡述該學習難點，用具體計算和圖形展示誤差的取值、累積頻率曲線；認識中值誤差(累積頻率為50％)的概念和采用來作為衡量模型精確度的度量。掌握數(shù)學建模方法。第二章數(shù)學模型概述學習要點為：(1)

滿足模型條件的數(shù)學表達式和算法叫做數(shù)學模型，它具有高度的抽象性和經(jīng)濟性。環(huán)境系統(tǒng)工程中的數(shù)學模型是應用數(shù)學語言和方法來描述環(huán)境污染過程中的物理、化學、生物化學、生物生態(tài)以及社會等方面的內在規(guī)律和相互關系的數(shù)學方程。(2)

數(shù)學模型的建立過程包括：數(shù)據(jù)的搜集和初步分析、模型的結構選擇、估計模型的參數(shù)以及模型的檢驗和修正等。(3)

MicrosoftExcel提供了一組數(shù)據(jù)分析工具，要使用分析工具庫進行數(shù)學模型的驗證和誤差分析，必須對所提供的分析函數(shù)定義和在統(tǒng)計、誤差分析中的作用有相應的了解。(4)

練習掌握用Excel解決環(huán)境問題的線性回歸分析、曲線擬合及參數(shù)估計等數(shù)學建模問題。難點重點作業(yè)已知一組實驗數(shù)據(jù),就下列模型進行參數(shù)估計并說明哪種模型結構更適合實驗數(shù)據(jù)。(1)y=abx；(2)y=axbx12