問題引入某地區(qū)最近17年來年度平均降雨量數(shù)據(jù)（單位：mm）序列為X=(390.6,412.0,320.0,559.2,380.8,542.4,553.0,310.0,561.0,300.0,632.0,540.0,406.2,313.8,576.0,586.6,318.5)如果將年平均降雨量低于320mm時認為旱災發(fā)生，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)預測下一次旱災發(fā)生在幾年后？灰色系統(tǒng)理論講稿理學院：翟藝書主要內(nèi)容（1）什么是灰色系統(tǒng)？（2）灰色系統(tǒng)理論的應用范疇？（3）灰色系統(tǒng)的分析方法？（4）如何建立灰色系統(tǒng)GM（1，1）模型？（5）如何利用灰色系統(tǒng)實現(xiàn)預測？（6）灰色人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型？（7）作業(yè)1什么是灰色系統(tǒng)？客觀世界中很多實際問題，其內(nèi)部的結構、參數(shù)以及特征并未全部被人們了解，人們不可能象研究白箱問題那樣將其內(nèi)部機理研究清楚，只能依據(jù)某種思維邏輯與推斷來構造模型。對這類部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，我們稱之為灰色系統(tǒng)。灰色系統(tǒng)理論就是研究在信息大量缺乏或紊亂的情況下，如何對實際問題進行分析和解決。該理論以“部分信息已知，部分信息未知”的小樣本、貧信息不確定性系統(tǒng)為研究對象，主要通過對“部分”已知信息的生成、開發(fā)，提取出有價值的信息，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控。目前，灰色系統(tǒng)理論應用范圍已拓展到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟、能源、地質(zhì)、石油等眾多科學領域，成功地解決了生產(chǎn)、生活和科學研究中的大量實際問題，取得了顯著成果。

2灰色系統(tǒng)理論的應用范疇？

灰色系統(tǒng)的應用范疇大致分為以下幾方面：（1）灰色關聯(lián)分析；（2）灰色預測：人口預測；初霜預測；災變預測….等等；（3）灰色決策；（4）灰色預測控制。3灰色系統(tǒng)的分析方法？

-進行關聯(lián)分析客觀世界中的事物往往現(xiàn)象復雜，因素繁多。我們往往需要對系統(tǒng)進行因素分析，這些因素中哪些對系統(tǒng)來講是主要的，哪些是次要的，哪些需要發(fā)展，哪些需要抑制，哪些是潛在的，哪些是明顯的。一般來講，這些都是我們極為關心的問題。事實上，因素間關聯(lián)性如何、關聯(lián)程度如何量化等問題是系統(tǒng)分析的關鍵和起點。因素分析的基本方法過去主要采取回歸分析等辦法，但是這種方法需要大量數(shù)據(jù)作為基礎，計算量大。而灰色系統(tǒng)理論采用的關聯(lián)分析方法可以克服這個弊端。灰色系統(tǒng)理論進行關聯(lián)分析的兩種方法：一根據(jù)數(shù)據(jù)的幾何關系分析法；二利用關聯(lián)公式分析法例如，某地區(qū)1977～1983年總收入與養(yǎng)豬、養(yǎng)兔收入資料見表1。

很顯然，幾何形狀越接近，關聯(lián)程度也就越大。當然，直觀分析對于稍微復雜些的問題則顯得難于進行。因此，需要給出一種計算方法來衡量因素間關聯(lián)程度的大小。（1）數(shù)據(jù)變換技術預處理為保證建模的質(zhì)量與系統(tǒng)分析的正確結果，對收集來的原始數(shù)據(jù)必須進行數(shù)據(jù)變換和處理，使其消除量綱和具有可比性。（2）進行關聯(lián)度量化計算4如何建立灰色系統(tǒng)

GM（1，1）模型？

1.GM(1,1)模型G表示grey（灰色），M表示model（模型），GM（1，1）表示1階的、1個變量的模型。設

其中則稱為GM(1,1)模型的基本形式。定義1.1定理1.1

設有非負序列：為的1-AGO（即一次累加）序列：

其中；為的緊鄰均

值生成序列：

其中若為參數(shù)列，

且

則GM(1,1)模型的最小二乘估計參數(shù)列滿足

定義1.2設為非負序列，為的1-AGO（即一次累加）序列，為的緊鄰均值生成序列，則稱微分方程為ＧＭ（１，１）模型（灰色方程）的

白化方程，也叫影子方程。定理１.2設如定理1.1中所述，其中,則１.白化方程的解（也稱時間響應函數(shù)）為２.GM(1,1)模型的時間響應序列為３.還原值2例題設有原始數(shù)據(jù)序列

X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5))=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

試用GM(1,1)模型對X0進行模擬第一步：對X0作1-AGO，得X1=(X1(1),X1(2),X1(3),X1(4),X1(5))=(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步：對X1作緊鄰均值生成。令得Z1=(Z1(2),Z1(3),Z1(4),Z1(5))=(4.513,7.820,11.184,14.718)可得B,Y第3步：對參數(shù)列進行最小二乘估計，得=[-0.03723.06536]第4步：確定模型為時間響應式為第5步：求X1的模擬值第6步：還原出的模擬值，由得對比原數(shù)據(jù)X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5))=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

5如何利用灰色系統(tǒng)實現(xiàn)預測？灰色預測是指利用GM模型對系統(tǒng)行為特征的發(fā)展變化規(guī)律進行估計預測，同時也可以對行為特征的異常情況發(fā)生的時刻進行估計計算，以及對在特定時區(qū)內(nèi)發(fā)生事件的未來時間分布情況做出研究等等。這些工作實質(zhì)上是將“隨機過程”當作“灰色過程”，“隨機變量”當作“灰變量”，并主要以灰色系統(tǒng)理論中的GM(1,1)模型來進行處理?；疑A測在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)等經(jīng)濟領域，以及環(huán)境、社會和軍事等領域中都有廣泛的應用。特別是依據(jù)目前已有的數(shù)據(jù)對未來的發(fā)展趨勢做出預測分析?；疑A測方法灰色預測的步驟數(shù)據(jù)的檢驗與處理首先，為了保證建模方法的可行性，需要對已知數(shù)據(jù)序列做必要的檢驗處理。建立模型按照上節(jié)的方法建立灰色模型GM(1,1),則可以得到預測值3．檢驗預測值4．預測預報由模型GM(1,1)所得到的指定時區(qū)內(nèi)的預測值，根據(jù)實際問題的需要，給出相應的預測預報。定義

設原始數(shù)據(jù)序列相應的預測模型模擬序列:

殘差序列:

相對誤差序列:灰色災害預測應用灰色災害預測實質(zhì)上是異常值預測，什么樣的值算作異常值，往往是人們憑經(jīng)驗主觀確定。灰色災害預測的任務是給出下一個或幾個異常值出現(xiàn)的時刻，以便人們提前準備，采取對策。定義：設原始序列X=(x(1),x(2),…,x(n))，給定上限異常值（災變值）a,稱X的子序列Xa(x(q(1)),x(q(2)),……x(q(m)))={x(q(i))>=a,i=1,2,…,m}為上災變序列。同理，可定義下災變序列。二者統(tǒng)一稱為災變序列。定義：設X為原始序列，稱Q0=(q(1),q(2),……q(m))為災變?nèi)掌谛蛄小淖冾A測就是要通過對災變?nèi)掌谛蛄械难芯?，尋找其?guī)律性，預測以后若干次災變發(fā)生的日期，灰色系統(tǒng)的災變預測是通過對災變?nèi)掌谛蛄薪M(1,1)模型實現(xiàn)的。例某地區(qū)最近17年來的年度平均降雨量數(shù)據(jù)（單位：mm）序列為X=(390.6,412.0,320.0,559.2,380.8,542.4,553.0,310.0,561.0,300.0,632.0,540.0,406.2,313.8,576.0,586.6,318.5)如果將年平均降雨量低于320mm時認為旱災發(fā)生，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)預測下一次旱災發(fā)生在幾年后？解：取災變值為a=320,得下限災變序列為Xa=(x(3),x(8),x(10),x(14),x(17))=(320.0,310.0,300.0,313.8,318.5)與之對應的災變?nèi)掌谛蛄袨镼0=(q(1),q(2),q(3),q(4),q(5))=(3,8,10,14,17)其1-AGO序列為Q1=(3,11,21,35,52)的緊鄰均值生成序列為Z1=(7,16,28,43.5)設q(k)+az1(k)=b,易知B,Y,由最小二乘法得[a,b]=[-0.2536616.258339]故災變?nèi)掌谛蛄械腉M(1,1)序號響應式為即由此可得Q0的模擬序列為由得殘差序列為再由相對誤差序列由此可計算出平均相對誤差為平均相對精度為1-=97.81%，故可用進行預測，即從最近一次旱災發(fā)生的日期算起，5年以后，可能發(fā)生旱災。為了提高預測的可靠程度，可以取若干個不同的異常值，建立多個模型進行預測。計算的MATLAB程序如下：clc,cleara=[390.6,412,320,559.2,380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5]';t0=find(a<=320);t1=cumsum(t0);n=length(t1);B=[-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end)),ones(n-1,1)];Y=t0(2:end);r=B\Yy=dsolve('Dy+a*y=b','y(0)=y0');y=subs(y,{'a','b','y0'},{r(1),r(2),t1(1)});yuce1=subs(y,'t',[0:n+1])digits(6),y=vpa(y)%為提高預測精度，先計算預測值，再顯示微分方程的解yuce=diff(yuce1);yuce=[t0(1),yuce]例北方某城市1986～1992年道路交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)見表6

表6市近年來交通噪聲數(shù)據(jù)[dB(A)]經(jīng)驗證，該模型的精度較高，可進行預測和預報。計算的MATLAB程序如下：clc,clearx0=[71.172.472.472.171.472.071.6];n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda)x1=cumsum(x0)fori=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));endB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];Y=x0(2:n)';u=B\Yx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);digits(6),y=vpa(x)%為提高預測精度，先計算預測值，再顯示微分方程的解yuce=[x0(1),diff(yuce1)]epsilon=x0-yuce%計算殘差delta=abs(epsilon./x0)%計算相對誤差rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda%計算級比偏差值6灰色人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型？灰色GM（1，1）模型利用累加生成后的新數(shù)據(jù)建模，在一定程度上弱化了原始數(shù)據(jù)的隨機性，容易找出數(shù)據(jù)變換規(guī)律，且具有建模所需樣本少的優(yōu)點。而人工神經(jīng)網(wǎng)絡具有很強的魯棒性和容錯性,同時由于結構上的并行性,使得它有很強大的并行處理能力、自學習、自組織、自適應能力,可以充分逼近任意復雜的非線性關系?；疑窠?jīng)網(wǎng)絡的提出正是結合了二者的優(yōu)點。灰色BP網(wǎng)絡建模原理及方法設有時間序列{x0(i)},i=1,2,…,n,利用GM(1,1)模型可得模擬值定義：時刻L的原始數(shù)據(jù)x0(L)與GM(1,1)模型模擬值之差，記為,即1)建立殘差序列{}的BP網(wǎng)絡模型設{}為殘差序列，i=1,2,…,n,若預測階數(shù)為S,即用的信息來預測i時刻的值，將作為BP網(wǎng)絡訓