北京市通州區(qū)2022-2023學年高二上學期期末質量檢測數(shù)學試卷2023年1月本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知橢圓的焦點分別為，，點P為橢圓上一點，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的定義求解.【詳解】解：因為橢圓方程為，所以2a=4，又因為橢圓的焦點分別為，，點P為橢圓上一點，所以由橢圓的定義得2a=4，故選：B2.已知雙曲線，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線方程，求解漸近線方程即可．【詳解】由于雙曲線為，所以其漸近線方程為.故選：C.3.已知數(shù)列的前5項為1，，，，，則數(shù)列的一個通項公式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】觀察數(shù)列的規(guī)律，找出合適的通項公式即可；或可將數(shù)列的各項代入選項中的通項公式進行驗證排除.【詳解】觀察數(shù)列的各項，容易發(fā)現(xiàn)，分子均為1，分母均與項數(shù)相同，則數(shù)列的一個通項公式可以為.經(jīng)驗證，其他選項均不能滿足.故選：A.4.已知等差數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的首項和公差d分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】直接計算首項，根據(jù)等差數(shù)列的定義計算公差d.【詳解】因為等差數(shù)列的通項公式，所以首項，公差.故選：D.5.在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前5項和為（）A.40 B.80 C.121 D.242【答案】C【解析】【分析】先計算等比數(shù)列的首項和公比，再代入前n項和公式計算即可.【詳解】因為，所以公比，首項.則前n項和,所以數(shù)列的前5項和為.故選：C.6.已知圓與y軸相切，則（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求解即可.【詳解】因為圓與y軸相切，所以圓心到直線的距離等于半徑即，故選：C.7.如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設，,，利用為線段的中點，得到點坐標與動點坐標之間的關系，將點坐標用點坐標表示，然后代入圓的方程即可得到動點的軌跡方程；【詳解】設，,，則,．為線段的中點，，即，．又點在圓上，，即．故點的軌跡方程為．故選：A8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，點E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，則點C到平面AEF的距離為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】易證平面AEF，得到PF為點P到平面AEF的距離，再根據(jù)E是PC的中點，得到點C與點P到平面AEF的距離相等求解.【詳解】解：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，所以，，又，所以平面PAD，又平面PAD，所以，因為點E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，所以，所以，又，則，且，所以平面AEF，所以PF為點P到平面AEF的距離，又因為E是PC的中點，所以點C與點P到平面AEF的距離相等，即，所以點C到平面AEF的距離為，故選：B9.已知拋物線與直線相交于A，B兩點，則線段AB的長為（）A B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式即可求解.【詳解】設，，聯(lián)立方程組整理可得：，則有，由弦長公式可得：，故選：.10.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若對任意恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用裂項相消法求出，將不等式進行等價轉化，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，因為對任意恒成立，也即對任意恒成立，因為（當且僅當，也即時等號成立）所以，故選：.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.點到直線的距離為___________．【答案】【解析】【分析】代入點到直線的距離公式即可求解.【詳解】設點到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得：，故答案為：.12.已知拋物線經(jīng)過點，則該拋物線的方程為___________；準線方程為___________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點，代入求得p即可.【詳解】解：因為拋物線經(jīng)過點，所以，解得，所以該拋物線的方程為；準線方程為，故答案為：，13.如圖，點M為四面體OABC的棱BC的中點，用，，表示，則___________．【答案】【解析】【分析】由向量減法可得：，再利用為的中線即可求解.【詳解】連接，所以，又因為為的中點，所以，所以，故答案為：.14.已知有窮數(shù)列的各項均不相等，將數(shù)列的項從大到小重新排序后相應的項數(shù)構成新數(shù)列，稱數(shù)列為數(shù)列的“序數(shù)列”．例如，數(shù)列，，滿足，則其“序數(shù)列”為1，3，2．設各項均不相等的數(shù)列2，，，5（）為數(shù)列Ω．①若，則數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為___________；②若數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為3，4，1，2，則t的取值范圍為___________．【答案】①.，，，.②.【解析】【分析】根據(jù)“序數(shù)列”定義直接求解即可.【詳解】①因為，所以數(shù)列Ω為：，由“序數(shù)列”定義可得：時，數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為，，，.②因為數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為3，4，1，2，而數(shù)列Ω為2，，，5，由“序數(shù)列”定義可得：，解得：，所以的取值范圍為，故答案為：，，，；.15.已知曲線E的方程為，給出下列四個結論：①若點是曲線E上的點，則，；②曲線E關于x軸對稱，且關于原點對稱；③曲線E與x軸，y軸共有4個交點；④曲線E與直線只有1個交點．其中所有正確結論的序號是___________．【答案】①④【解析】【分析】①由，分別得到，求解判斷；②設點是曲線E上的點，分別得到點關于x軸對稱和原點對稱的對稱點，代入方程驗證判斷；③由，分別令，求解判斷；④分和，曲線方程與直線方程聯(lián)立求解判斷.【詳解】①若點是曲線E上的點，由，得，即，當時，，當時，成立，綜上，而，則，故正確；②設點是曲線E上的點，點關于x軸對稱的對稱點為，因為，所以曲線E關于x軸對稱，點關于原點對稱的對稱點為，因為，所以曲線E不關于原點對稱，故錯誤；③由，令，得，解得，曲線E與y軸的交點為，令，得，解得，曲線E與x軸的交點為，所以曲線E與x軸，y軸共有3個交點，故錯誤；④當時，由，解得，所以曲線E與直線曲線E與直線的交點為；當時，方程組無解，則曲線E與直線無交點，所以曲線E與直線只有1個交點，故正確，故答案為：①④三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知兩點，，直線l：．（1）若直線經(jīng)過點A，且，求直線的方程；（2）若圓心為C的圓經(jīng)過A，B兩點，且圓心C在直線l上，求該圓的標準方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)直線，設直線的方程為：，再利用直線過點，將點的坐標代入即可求出結果；(2)根據(jù)圓的性質可知：圓心必在弦的垂直平分線上，又因為圓心C在直線l上，聯(lián)立兩直線方程求出圓心坐標，再利用圓心到圓上一點的距離等于半徑即可求出半徑長，進而求得圓的標準方程.小問1詳解】因為直線，直線l：，設直線的方程為：，因為直線經(jīng)過點，所以，解得：，所以直線的方程為：.【小問2詳解】因為，，所以的中點，則的中垂線方程為：，由圓的性質可得：圓心在的中垂線上，又因為圓心C在直線l上，所以聯(lián)立方程組：，解得：，圓的半徑，所以所求圓的標準方程為：.17.已知雙曲線的頂點在x軸上，兩頂點間的距離是2，離心率．（1）求雙曲線的標準方程；（2）若拋物線的焦點F與該雙曲線的一個焦點相同，點M為拋物線上一點，且，求點M的坐標．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可知：，結合離心率得到，進而求出即可求解；(2)結合（1）的結論，求出拋物線方程，利用拋物線的定義即可求解點M的坐標.【小問1詳解】由題意可知：，則，又離心率，所以，則，因為雙曲線的頂點在x軸上，也即焦點在x軸上，所以雙曲線方程為.【小問2詳解】因為拋物線的焦點，且拋物線的焦點F與該雙曲線的一個焦點相同，所以，則，所以拋物線方程為，設點，由拋物線的定義可知：，所以，又因為，所以，故點的坐標為或.18.在等比數(shù)列中，，公比，設．（1）求的值；（2）若m是和的等差中項，求m的值；（3）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）4（2）11（3）【解析】【分析】（1）先求通項公式，再求的值；（2）先求的通項公式，可得和的值，從而可求m的值；（3）利用分租求和的方法，結合等差數(shù)列等比數(shù)列的求和公式求解即可.【小問1詳解】因為等比數(shù)列中，，公比，所以；【小問2詳解】因為，所以，又因為，所以和的等差中項；【小問3詳解】因為，所以19.如圖，在長方體中，，，點E為的中點．（1）求證：AE⊥平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明一條直線垂直于平面只需證明該直線垂直于平面內兩條相交的直線即可；（2）建立空間直角坐標系，用空間向量數(shù)量積計算夾角的余弦值.【小問1詳解】在中，；同理可證，平面，平面，，平面；【小問2詳解】以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系如下圖：則有，由（1）的結論可知是平面的一個法向量，，顯然是平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則；綜上，平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知橢圓C：的焦距為，點在橢圓C上，點B的坐標為，點O為坐標原點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過的直線l交橢圓C于，兩點，判斷和的大小，并說明理由．【答案】（1）（2），證明過程見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關于a，b，c的方程組求解，即可得到橢圓的方程；（2）顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程，再聯(lián)立橢圓C的方程，即可得到關于x的一元二次方程，再根據(jù)韋達定理求得，，再根據(jù)題意將比較和的大小轉化為比較和的大小(為直線的斜率，為直線的斜率)，再用作差法得出與0的符號關系即可得出結論．小問1詳解】依題意有，解得，所以橢圓C的標準方程為；【小問2詳解】如圖，顯然直線l斜率存在，則可設直線l的方程為，聯(lián)立，消y整理得，則，，設直線的斜率為，直線的斜率為，則比較和的大小，比較直線的傾斜角的補角和直線的傾斜角的大小，比較和的大小，則，所以，即．【點睛】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：①設出直線方程，設交點為，；②聯(lián)立直線與曲線的方程，得到關于x（或y）的一元二次方程；③寫出韋達定理；④將所求問題轉化為，（或，）的形式；⑤代入韋達定理求解．21.已知等差數(shù)列的第2項為4，前6項的和為42，數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通