廣東省東莞市市萬江大汾中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知離散型隨機(jī)變量的分布列為

則的數(shù)學(xué)期望(

)A.

B．

C．

D．參考答案：A,故選A．2.在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù),且.若在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則（

）

A.在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)

B.在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

C.在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)

D.在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)參考答案：C3.數(shù)列的首項為3，為等差數(shù)列且，若，則（

）A．0

B．3

C．8

D．11參考答案：B略4.在命題p的四種形式（原命題、逆命題、否命題、逆否命題）中，正確命題的個數(shù)記為，已知命題p：“若兩條直線，平行，則”．那么=Ａ．1個

Ｂ．2個

Ｃ．3個

Ｄ．4個

參考答案：B略5.光線從點射到軸上的點后，被軸反射，這時反射光線恰好過點，則光線所在直線的傾斜角為A. B. C. D.參考答案：B略6.若，則下列不等式中，正確的不等式有

(

)

①

②

③

④A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：B7.一個幾何體的三視圖如圖，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D8.一個體積為12的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的側(cè)視圖的面積為（）A．6B．8C．8D．12參考答案：A略9.復(fù)數(shù)滿足，則=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2，Sn，，成等差數(shù)列，則的值是A.-81 B.-80 C.-64 D.-63參考答案：B【分析】由題意首先確定數(shù)列為等比數(shù)列，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式可得的值.【詳解】據(jù)題意得，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，由可得，兩式相減得，即，即．所以數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，所以，選B．【點睛】本題主要考查由遞推關(guān)系確定數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在直角三角形中，，過作邊的高，有下列結(jié)論。請利用上述結(jié)論，類似地推出在空間四面體中，若，點到平面的高為，則

.參考答案：12.對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”。某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心。若，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求解下列問題：（1）函數(shù)的對稱中心為

;（2）計算：

．參考答案：【知識點】函數(shù)的值；函數(shù)的零點；導(dǎo)數(shù)的運算．B1B9B11（1）

（2）2012

解析：（1）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴f′（x）=x2﹣x+3，f''（x）=2x﹣1，令f''（x）=2x﹣1=0，得x=，∵f（）=+3×=1，∴f（x）=x3﹣x2+3x﹣的對稱中心為，（2）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣的對稱中心為，∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012．故答案為：，2012．【思路點撥】（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)的對稱中心．（2）由的對稱中心為，知f（x）+f（1﹣x）=2，由此能夠求出．13.已知上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足：，且則不等式的解是___________.參考答案：略14.已知函數(shù)，則(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B略15.已知定義在R上的函數(shù)滿足：①函數(shù)的圖像關(guān)于點(－1,0)對稱；②對任意的，都有成立；③當(dāng)時，，則

.參考答案：-216.已知是奇函數(shù),且,若,則

.參考答案：-217.如圖所示，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，I為DE的中點，G、H分別在FC、EC上，且，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐后，異面直線GH與BI所成的角的余弦值為__________

參考答案：答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)，已知過點P(－2，－4)的直線l的參數(shù)方程為，直線l與曲線C分別交于M，N兩點.(1)寫出曲線C和直線l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值.參考答案：(1)由C：ρsin2θ＝2acosθ，得(ρsinθ)2＝2aρcosθ，所以曲線的普通方程為y2＝2ax.由直線l的參數(shù)方程，消去參數(shù)t，得x－y－2＝0.……5分(2)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入y2＝2ax,得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，則有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a).因為|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2.解得a＝1.………10分19.（本小題滿分12分）已知點A（1，1）是橢圓上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩焦點，且滿足

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）求過A(1,1)與橢圓相切的直線方程；

（III）設(shè)點C、D是橢圓上兩點，直線AC、AD的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由。參考答案：解：（I）由橢圓定義知：，把（1，1）代入得，則橢圓方程為.

……………(3分)（II）解法一：因為過A與軸垂直的直線與橢圓不相切，設(shè)過A(1,1)的直線方程，由，消去得關(guān)于的方程：令，解得，

故，切線方程為：.

…………（5分）解法二：過A(1,1)點與橢圓相切的切線方程為：

，

…………（4分）即切線方程為：

…………（5分）

（III）設(shè)AC方程為：∵點A（1，1）在橢圓上,方程有一個根為

………………（9分）∵直線AC、AD傾斜角互補(bǔ)∴AD的方程為同理

………………（10分）即直線CD的斜率為定值

……………（12分）略20.（2015?大連模擬）已知x，y是兩個不相等正實數(shù)，求證：（x2y+x+y2）（xy2+y+x2）＞9x2y2．參考答案：考點：不等式的證明．

專題：推理和證明．分析：利用綜合法以及基本不等式整理不等式的左側(cè)，即可證得結(jié)論成立．解答：證明：∵x，y是兩個不相等正實數(shù)，∴x2y+x+y2＞=3xy．xy2+y+x2＞=3xy．∴（x2y+x+y2）（xy2+y+x2）＞3xy?3xy=9x2y2．不等式恒成立．點評：本題考查不等式的證明，綜合法以及均值不等式的應(yīng)用，考查推理能力．21.（本小題滿分12分）某高中社團(tuán)進(jìn)行社會實踐，對[25，55]歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次是否開通“微博”的調(diào)查，若開通“微博”的稱為“時尚族”，否則稱為“非時尚族”，通過調(diào)查分別得到如圖所示統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

完成以下問題：

（I）補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n、a、p的值：

（II）從[40．50）歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取18人參加網(wǎng)絡(luò)時尚達(dá)人大賽，其中選取3人作為領(lǐng)隊，記選取的3名領(lǐng)隊中